高中數(shù)學(xué)中的“隱形圓”問題*

周思宇 陳友明

(湖南省長沙市周南中學(xué)，410201)

隱形圓問題是高中數(shù)學(xué)?？嫉膯栴},深受命題者青睞.該類問題題干中往往沒有明確給出圓的相關(guān)信息,而是將信息隱含在題目中,解題時必須深入挖掘題干中的條件,抽象出隱含的圓,進而利用圓的性質(zhì)解決相關(guān)問題.試題的難度以中高檔為主,注重考查學(xué)生的綜合能力,常涉及平面向量、解三角形和解析幾何等內(nèi)容.

一、以圓的定義為背景模型

此類問題往往利用圓的定義或圓的幾何性質(zhì)確定隱形圓.

例1已知點A(-5,-5)在動直線mx+ny-m-3n=0上的射影點為B,若點C(5,-1),那么|BC|的最大值為______.

解動直線方程可化為m(x-1)+n(y-3)=0,故動直線恒過定點Q(1,3).

又因為|MC|=7>r,所以點C在圓M外,故|BC|的最大值為|MC|+r=12.

評注求出動點B的軌跡是解決本題的關(guān)鍵.題中A,Q為定點,且∠ABQ=90°,顯然點B的軌跡是圓,故可利用圓的性質(zhì)求解.

二、以三角形外接圓為背景模型

此類問題往往已知三角形的對邊對角,結(jié)合正弦定理確定隱形圓.

例2(2014年全國高考題)已知a,b,c分別為?ABC的三個內(nèi)角A,B,C的對邊,a=2,且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,則?ABC面積的最大值為______.

評注利用對邊對角確定三角形的外接圓是本題求解的切入口,解題的關(guān)鍵是確定動點A的位置,進而借助圓的幾何性質(zhì)使問題得解.

三、以阿波羅尼斯圓為背景模型

1.代數(shù)證明

以AB的中點為原點,直線AB為x軸建立平面直角坐標系,設(shè)AB=2m(m>0),則點A(-m，0),B(m,0).

2.幾何證明

先給出如下兩個引理.

現(xiàn)利用引理1和引理2證明阿氏圓.

解以AB的中點O為原點、直線AB為x軸建立平面直角坐標系如圖5,則點A(-1,0),B(1,0).

四、以距離平方圓為背景模型

1.代數(shù)證明

以AB的中點為原點、直線AB為x軸建立平面直角坐標系,設(shè)AB=2m(m>0)，則點A(-m.0),B(m,0).

2.幾何證明

例4在平面直角坐標系xOy中,已知圓C:(x-a)2+(y-a+2)2=1,點A(0,2),若圓C上存在點M,滿足MA2+MO2=10,則實數(shù)a的取值范圍是______.

解設(shè)點M(x,y),由MA2+MO2=10,得x2+(y-2)2+x2+y2=10,化簡得x2+(y-1)2=4,即點M在圓x2+(y-1)2=4上.

又點M在圓C上,故圓x2+(y-1)2=4與圓(x-a)2+(y-a+2)2=1相交或相切時滿足題意.

評注借助數(shù)量關(guān)系MA2+MO2=10確定隱形圓,為進一步利用兩圓位置關(guān)系來確定參數(shù)的取值范圍提供便利條件.

五、以數(shù)量積定值圓為背景模型

1.代數(shù)證明

以AB中點為原點、直線AB為x軸建立平面直角坐標系,設(shè)AB=2m(m>0),則點A(-m,0),B(m,0).

2.幾何證明