用數(shù)學(xué)思想引導(dǎo)生成課堂及簡評
——以一節(jié)“一題一課”型復(fù)習(xí)課為例

?湖北省赤壁市教學(xué)研究室 王紅華

筆者曾受邀參加咸寧市名師工作室研討活動，會上研討了一節(jié)“一題一課”型的復(fù)習(xí)課.大部分教師在討論中提出，中考前的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課難上，認(rèn)為復(fù)習(xí)課是“三無”產(chǎn)品，即“無教材、無教參、無教案”，因此許多教師往往依賴各類教輔資料搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)加重，阻礙數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升.而“一題一課”的課型就是讓學(xué)生走出題海，減負(fù)增效.這種課型以一個問題為背景材料，深度挖掘問題的條件、結(jié)論和解決問題的思路，引導(dǎo)學(xué)生多角度思考，從知識體系的高度去變式拓展，探究新的問題解決方案，并提煉其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，揭示問題的本質(zhì)，促進(jìn)思維能力的發(fā)展，進(jìn)而提升學(xué)生的關(guān)鍵能力和學(xué)科素養(yǎng).

筆者以人教版八年級上冊第十三章第4節(jié)的課題學(xué)習(xí)“最短路徑問題”的問題1為素材，討論用數(shù)學(xué)思想引導(dǎo)基于“一題一課”型復(fù)習(xí)課的生成過程并作簡要評析.

1 課本問題呈現(xiàn)

問題如圖1，牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地.牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？

圖1

2 課堂生成思路

此問題也叫將軍飲馬問題，是每年各地中考的熱點(diǎn)之一.解決本問題可以作出點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′,如圖2，連接A′B,交直線l于點(diǎn)C，即AC+BC最小.本問題通過軸對稱變換，將直線同側(cè)兩點(diǎn)中的一個點(diǎn)變換到另一側(cè)，而不改變路徑的總長度，利用“兩點(diǎn)之間線段最短”解決本問題.這其中蘊(yùn)含化歸思想，在解決問題的過程中軸對稱變換起到了橋梁作用.

圖2

此問題為解決最短徑問題提供了思考方法，下面繼續(xù)對本問題進(jìn)行思考.此問題中對象的特征是：有三個點(diǎn)，其中一個點(diǎn)在直線上，另兩個點(diǎn)實(shí)際上是兩定點(diǎn)且在直線的同側(cè).用運(yùn)動變化的觀點(diǎn)，從特殊到一般的思想去思考，能否由定點(diǎn)想到動點(diǎn)，而動點(diǎn)往往在某個幾何圖形上，由此我們可以聯(lián)想到點(diǎn)A，B在某個幾何圖形上，由靜到動多角度變式拓展，聯(lián)系前后所學(xué)數(shù)學(xué)知識，將此問題逐步推進(jìn)，提出新問題，然后分析問題，解決問題，進(jìn)而加深對知識的理解，提高綜合運(yùn)用知識解決問題的能力，同時提升思維的廣闊性和深刻性.

2.1 聯(lián)系直線型生成

上述已經(jīng)聯(lián)想到點(diǎn)A，B在某個幾何圖形上，可以用分類的思想，將初中幾何圖形簡單分為直線型、圓、一般曲線型(拋物線、雙曲線).最簡單的一種，如問題1：如圖3，直線l1與直線l2相交于點(diǎn)O，點(diǎn)B為一定點(diǎn)，若點(diǎn)A在直線l1上且與點(diǎn)B在直線l2的同側(cè)，點(diǎn)C為直線l2上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)C分別在何處時，AC+BC的值最小？

圖3

解法指引：問題1與將軍飲馬問題不同之處在于點(diǎn)A不是定點(diǎn)，但A和B都在直線l2的同側(cè)，這與將軍飲馬問題中的對象有相似性，可以將此問題歸類為將軍飲馬問題，進(jìn)而類比將軍飲馬問題的解決方法去求解.學(xué)生容易想到用以下思路一解決.

思路一：如圖4，作點(diǎn)B關(guān)于直線l2的對稱點(diǎn)B′，此時BC=B′C，求AC+BC的最小值，問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離.過點(diǎn)B′作直線l1的垂線，垂足為點(diǎn)A，連接AB′交直線l2于點(diǎn)C，即點(diǎn)A,C為所求點(diǎn).

圖4

用整體的思想繼續(xù)思考，若將直線l1看作是“定”的整體，能否通過類比將軍飲馬問題加以解決？于是指導(dǎo)學(xué)生用以下思路二加以解決.

思路二：如圖5，作直線l1關(guān)于直線l2的對稱直線l3，此時過B作BD垂直于直線l3，垂足為D，交直線l2于點(diǎn)C，作D關(guān)于直線l2的對稱點(diǎn)A，即BD為AC+BC的最小值，點(diǎn)A,C為所求點(diǎn).

圖5

兩種思路的證明也可讓學(xué)生類比將軍飲馬問題的證明，但此問題利用“垂線段最短”來說理，證明過程略.思路二中利用整體思想，使生疏的問題熟悉化，復(fù)雜的問題簡單化，從而順利解決問題.

聯(lián)系等邊三角形、菱形、正方形性質(zhì)可編寫習(xí)題.根據(jù)學(xué)情，也可讓學(xué)生自主編題.以下就是結(jié)合等邊三角形性質(zhì)編寫的例題.

例1(2020·營口中考題改編)如圖6，△ABC為等邊三角形，邊長為6，AD⊥BC，垂足為D，E和F分別是線段AD和AB上的動點(diǎn)，連接BE，EF，則BE+EF的最小值為.

圖6

分析：此題中，點(diǎn)B和點(diǎn)F在AD的同側(cè)，點(diǎn)F和點(diǎn)E分別為AB和AD上的動點(diǎn)，問題可轉(zhuǎn)化為將軍飲馬直線型拓展模型解決.本題中根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，點(diǎn)B關(guān)于AD的對稱點(diǎn)為點(diǎn)C,求BE+EF的最小值，問題可轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)C到AB的距離，如圖7.解法略.

圖7

2.2 聯(lián)系圓生成

按分類思想，繼續(xù)考慮，點(diǎn)A若在圓上呢？

問題2如圖8，點(diǎn)B為一定點(diǎn)，圓O與點(diǎn)B在直線l的同側(cè)，若點(diǎn)A為圓O上一動點(diǎn)，C點(diǎn)為直線l上一動點(diǎn)，則點(diǎn)A，C在何處時，AC+BC的值最??？

圖8

解法指引：點(diǎn)A在定圓O上且與點(diǎn)B均在直線l的同側(cè)，類比以上直線型拓展模型，也有兩種思路.

思路一：如圖9，作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B′，問題轉(zhuǎn)化為圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離的最小值.連接點(diǎn)B′和圓心O，交圓O于點(diǎn)A，交直線l于點(diǎn)C，點(diǎn)A，C即為所求點(diǎn).

圖9

思路二：直線型拓展模型將點(diǎn)A所在的直線看作“定”的整體，在這個問題中，同樣用到整體思想，我們也可把點(diǎn)A所在的圓O看作“定”的整體.類比思路一的方法，如圖10，作定圓O關(guān)于直線l的對稱圓O′，連接BO′，交圓O′于點(diǎn)A′，交直線l于點(diǎn)C，作點(diǎn)A′關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A，點(diǎn)A，C即為所求點(diǎn).此問題利用“兩點(diǎn)之間線段最短”來證明，理由從略.

圖10

進(jìn)一步用運(yùn)動變化的觀點(diǎn)，從特殊到一般的思想去思考：若點(diǎn)A，B在兩個不同圓上呢？學(xué)生作圖進(jìn)一步探究.

問題3如圖11，若點(diǎn)A為圓O1上一動點(diǎn)，點(diǎn)B為圓O2上一動點(diǎn)，圓O1與圓O2在直線l的同側(cè)，C為直線l上一動點(diǎn)，則點(diǎn)A，B，C分別在何處時，AC+BC的值最??？

圖11

圖12

例2(2013·重慶高考)已知圓C1：(x-2)2+(y-3)2=1，圓C2：(x-3)2+(y-4)2=9，M，N分別是圓C1，C2上的動點(diǎn)，P為x軸上的動點(diǎn)，則|PM|+|PN|的最小值為( ).

圖13

2.3 聯(lián)系拋物線生成

用分類的思想進(jìn)一步思考，若點(diǎn)A與點(diǎn)B分別在直線和拋物線上呢？引導(dǎo)學(xué)生探究，數(shù)形結(jié)合思想，最后拓展成如下問題.

問題4如圖14，若A為直線l:y=x+1上一點(diǎn)且在x軸上方，B為拋物線y=x2-4x+5上一動點(diǎn)，C為x軸上一動點(diǎn)，求AC+BC的最小值.

圖14

3 課例評析

3.1 點(diǎn)成線，線成體，強(qiáng)化知識間的聯(lián)系

本節(jié)“一題一課”型復(fù)習(xí)課在素材的選擇上具有重要意義，選擇具有生長力的問題，以一個問題為點(diǎn)，聯(lián)系前后知識，梳理相關(guān)知識點(diǎn)，以思想方法為線索，在逐步變式拓展推進(jìn)中，將知識點(diǎn)與思想方法融合，形成了知識結(jié)構(gòu)體系.

3.2 思想方法引導(dǎo)，課堂生成行云流水

在變式拓展過程中，用運(yùn)動變化的觀點(diǎn)，從特殊到一般，以分類思想、整體思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想為引導(dǎo)，聯(lián)系直線、圓及拋物線進(jìn)行變式拓展，層層深入，自然生成一節(jié)“一題一課”型復(fù)習(xí)課，最后解決問題的方法動中取靜，透過表象找到本質(zhì).

3.3 對比分析，學(xué)生思維得以呈現(xiàn)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)是學(xué)習(xí)思維方法、提高思維能力.在數(shù)學(xué)思想方法的引導(dǎo)下，變式拓展問題，分析對比變式拓展前后的問題對象的共同特征，思考能否將問題轉(zhuǎn)化為拓展前的問題加以解決，讓學(xué)生從思維的角度找到解決問題的切入點(diǎn).如，本文中讓學(xué)生分析變式拓展前后問題對象具有的共同特征，某兩個對象都在直線的同側(cè)，都是求最值的問題.讓學(xué)生經(jīng)歷對問題的思考、拓展、對比分析、探索、提煉的過程，發(fā)展學(xué)生思維.

4 結(jié)束語

由于篇幅所限，本文只闡述了用數(shù)學(xué)思想引導(dǎo)生成一節(jié)“一題一課”型復(fù)習(xí)課的過程及簡要評析，在具體教學(xué)實(shí)施過程中，可根據(jù)學(xué)情，創(chuàng)造性地變式拓展提問，合理有序地組織學(xué)生進(jìn)行復(fù)習(xí)探究活動，讓學(xué)生在活動的過程中，數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)技巧和數(shù)學(xué)方法得到有效演繹，從而幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)解題方法和規(guī)律，提升數(shù)學(xué)思維能力.