一道中考壓軸題的探索與變式

?湖北省宜昌市第六中學 李 玲

1 引言

解答一道復(fù)雜的數(shù)學題，以特殊情形為起點，往往能抓住數(shù)學問題的本質(zhì).現(xiàn)以2021年浙江省衢州市中考數(shù)學第24題解答探索及變式研究為例，探討如何就題變式、就題借力，追尋解題教學初心，有效發(fā)展學生思維能力，力求解題教學效能最優(yōu).

2 試題呈現(xiàn)

推理:

如圖1，在正方形ABCD中，點E是CD上一動點，將正方形沿著BE折疊，點C落在點F處，連結(jié)BE，CF，延長CF交AD于點G.

(1)求證：△BCE≌△CDG.

運用：

圖2

拓展:

3 解答研討

3.1 “兩等兩線”看折疊，洞察結(jié)構(gòu)得思路

思路分析：第(1)問，識別折疊具有軸對稱的本質(zhì)，洞察到“兩等兩線”結(jié)構(gòu)：折痕BE所在直線既是∠FBC的平分線、也是對應(yīng)點連線段CF的垂直平分線；還有全等三角形及等腰△BCF，△ECF這樣的基本圖形.執(zhí)果索因，容易得到△BCE≌△CDG.

3.2 給定比值求線段，聯(lián)想構(gòu)造妙轉(zhuǎn)化

第(2)問，在推理的基礎(chǔ)上添加了線段比及一條線段長兩個條件，緊扣“兩等兩線”如何去找關(guān)聯(lián)？結(jié)合條件及圖形分析，直接求解；或構(gòu)建方程模型整體求解；或搜索關(guān)聯(lián)相似三角形進行轉(zhuǎn)化；或從直角入手建立坐標系，借助點的坐標去求線段長；或面積法入手建立方程等.

圖3

思路一：由條件易求出EF,HF,HD的長度，從正方形內(nèi)折疊的圖形結(jié)構(gòu)聯(lián)想轉(zhuǎn)化，想到雙勾股法.

思路二：由圖3中的對頂角和平行線，易得GH=FH=5，HD=4，再結(jié)合AB=BF=BC這個條件，在Rt△ABH中用勾股定理，先求出正方形的邊長，再利用線段和差關(guān)系間接求DE的長.

解法2是從條件出發(fā)，順思聯(lián)想，從前一問找思路.這樣的解答似乎還少了從設(shè)問間找關(guān)聯(lián)，從結(jié)論出發(fā)逆推的思路.第(2)問還可以看透圖形結(jié)構(gòu)，求DE的長，由(1)易得GD=CE=EF,加上正方形易捕捉到AG=DE,從而在轉(zhuǎn)化思想下，不妨直接設(shè)AG=DE=x，“由因?qū)Ч?、?zhí)果索因”，直取目標，計算上會優(yōu)于解法2.

思路三：如圖4,分別延長BH，CD交于點I,構(gòu)造和DE有關(guān)的相似三角形，即△IDH∽△IFE，求出ID與IE的長.

圖4

構(gòu)造和DE有關(guān)的相似三角形有多種方法.結(jié)合圖4，如，反“A”型△IDH∽△IFE，“A”型△IDH∽△ICB，“X”型△IDH∽△BAH，都可以求出DE的長，但在求解的過程中又引進了新的未知量，且計算的過程中同一個三角形三條邊都需要用到，并涉及勾股定理，總的來說相似法計算難度較大.

思路四：建系，利用一次函數(shù)求出D，E的坐標.

圖5

利用兩點間的距離公式及FH=5找等量關(guān)系，理論上可求出t的值，但因為計算量大，在此處不追求解法的數(shù)量，僅供了解.

思路五：當圖形中出現(xiàn)多處垂直，可以由垂直聯(lián)想到高，進而聯(lián)想到面積，用不同方法求同一個圖形的面積就可以得到等量關(guān)系，常稱作面積法.相較于前面4種解法，等量關(guān)系表面復(fù)雜，但計算并不復(fù)雜，計算難度較低，能順利得到結(jié)果.

解法5：由給定條件易得DG=9，HD=4.如圖3，設(shè)DE=x，由S梯HDCB=S△HDE+S△HEB+S△EBC，得

以上5種解法，學生最容易想到的思路是雙勾股法、勾股、相似、建系，計算上最為簡便的是解法1的雙勾股法和解法5的面積法.筆者尤其要提到面積法難想易算這一點，啟示我們無論做什么題，潛意識里不要見題就算，要先宏觀選擇方向，再微觀確定方法.

3.3 形變質(zhì)不變，類比遷移可得法

第(3)問，當“正方形”的條件換為“矩形”，比值的條件不變時，聯(lián)系第(2)問的運用，發(fā)現(xiàn)問題表面上雖有變化，但在求解第(3)問時仍可沿用第(2)問的方法及思路.反過來，當把第(3)問的結(jié)果求出時，令k=1，利用第(2)問的結(jié)果來驗證計算過程是否正確.沿用(2)的解題思路及方法，字母代替數(shù)，比值代替相等，體現(xiàn)了變化中的不變性.因此，從特殊到一般，可以幫助我們厘清思路，找到解題方法及問題的本質(zhì).

圖6

因為運算量大,勾股法在第(3)問中不適用，所以不做詳細解答.同樣，對于沿用第(2)問中的相似法、建系法，實際計算過程繁雜，都不適用于第(3)問.

點H在點D的右側(cè)時，如圖8，連接CH,仍設(shè)EC=x，則DG=kx.

圖8

面積法的算式看起來非常復(fù)雜，但是化簡計算過程非常簡單.

4 變式拓展

結(jié)合以上解答探索，發(fā)現(xiàn)此題以正方形到矩形的折疊問題為探究背景，融入初中數(shù)學核心知識，滲透特殊到一般、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、分類討論等核心數(shù)學思想方法.若對試題相關(guān)的命題素材進行變式，將會引導(dǎo)學生注重知識體驗的過程，優(yōu)化學生思維方式，強化基本數(shù)學思想方法的感悟與內(nèi)化，從而充分發(fā)揮此題的教學價值.基于此，筆者從以下三點進行了相關(guān)的變式思考.

4.1 第(1)問，還可以怎樣設(shè)問？

能設(shè)問GD=EC嗎？事實上，這種設(shè)問是可以的，而且比原題第(1)問證明△BCE≌△CDG的方法更多，例如三角函數(shù)法，也為第(2)問的解答提供更多線索和思路，這樣的變式是可行的.

4.2 第(2)問，條件能更改嗎？

4.3 第(3)問，k值是任意的嗎？

圖9

圖10

圖11

圖12

圖13

圖14

結(jié)合以上研題分析，給出這道題的完整變式，以進一步發(fā)展學生的思維，更好地落實本題的解題教學價值.

變式推理：

如圖1，在正方形ABCD中，點E是CD上一動點，將正方形沿著BE折疊，點C落在點F處，連接BE，CF，延長CF交AD于點G.

(1)求證：GD=EC.

運用：

拓展：