基于反雙曲正切函數的變步長LMS 算法

火元蓮，安婭琦，鞏琪，連培君

（西北師范大學 物理與電子工程學院，甘肅，蘭州 730070）

隨著信息處理技術的快速發(fā)展，自適應濾波器作為一種有效的信號處理工具[1]，能夠在沒有任何相關統計知識的情況下通過某種遞歸算法對參數進行自適應調整[2-3]，使得系統達到最優(yōu)性能.

最小均方算法(least mean square，LMS)最早是由WIDROW 和HOFF 在1959 年提出的[4]. 由于該算法原理簡單、參數少、收斂速度較快且易于實現，因此被廣泛的應用在波束形成[5-6]、回波消除[7]和系統辨識[8]等方面. 為了解決傳統LMS 算法中快收斂速度和低穩(wěn)態(tài)誤差這一矛盾，提出了變步長LMS 算法.其主要思想就是讓步長u(n)隨著算法自適應調整，以確保步長變化符合算法收斂要求.

對于步長改進的方法，其中最主要的就是利用函數來建立誤差和步長之間的非線性關系，如對數函數[9]，雙曲正切函數[10-12]，反正切函數[13-14]和箕舌線函數[15-16]等. 除此之外，許多學者還根據步長函數應具有的函數特性，通過對常見函數進行改進來塑造新的表達式，以此建立誤差和步長之間的關系. 陳康[17]提出了基于反雙曲正弦函數的變步長LMS 自適應均衡算法，使得步長因子u(n)能夠跟隨誤差信號e(n)動態(tài)變化，但其收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差有待進一步優(yōu)化. 仝喜峰等[18]和吳瑤等[19]是在Sigmoid 函數基礎上改進的，仝喜峰等[18]是通過對Sigmoid 函數進行變換且引入參數調節(jié)所得的函數式構建u(n)和e(n)的非線性函數關系，克服了SVSLMS 算法在收斂階段步長變化過快的弊端. 吳瑤等[19]是以sigmoid 函數為原型設計了一個調節(jié)函數，并與基于Sigmoid 函數的變步長最小均方算法相乘得到非線性函數關系式，該算法進一步兼顧了收斂性和穩(wěn)態(tài)性. 張繼榮等[20]結合基于對數函數和基于正態(tài)分布函數的變步長LMS 算法的優(yōu)點，提出新的步長參數調整公式，該算法相比前兩者能夠達到更快的收斂速度和更高的收斂精度，但在系統發(fā)生時變時，算法性能會被影響.

基于變步長算法的主要思想，并結合反雙曲正切函數曲線的變化特性. 本文提出了一種新的變步長LMS 算法，基于反雙曲正切函數來構造步長與誤差之間的非線性關系式. 最后在系統辨識、信號去噪和信號預測方面對本文算法的性能進行了評估.

1 LMS 算法基本原理

自適應濾波器原理如圖1 所示. 其中，x(n)代表n時刻的輸入信號，y(n)代表自適應濾波器n時刻的輸出信號，d(n)代表n時刻的期望信號. 通過期望信號d(n)與濾波器輸出信號y(n)的差值e(n)來自適應的調節(jié)濾波器的參數，使下一時刻的輸出y(n+1)能夠更加接近期望信號.w(n)代表n時刻自適應算法得到的濾波器加權系數.

圖1 自適應濾波器原理圖Fig. 1 Schematic diagram of adaptive filter

LMS 算法的具體步驟如表1.

表1 LMS 算法步驟Tab. 1 LMS algorithm steps

其中X(n)=[x(n),x(n-1),···,x(n-L+1)]，W(n)=[w(n),w(n-1),···,w(n-L+1)]分別是實際輸入向量和濾波器權系數向量，L表示濾波器長度，u表示固定步長.

算法收斂的條件為步長因子u滿足：

其中，λmax為自適應濾波器輸入信號自相關矩陣的最大特征值.

2 改進的變步長LMS 算法

2.1 算法原理

為了滿足算法設計的關鍵，兼顧收斂速度、穩(wěn)態(tài)誤差和跟蹤性能，本文以反雙曲正切函數的特性以及其曲線圖為基礎，通過對該函數的分析以及操作處理，使其函數曲線變化符合自適應濾波算法步長因子的調整原則. 反雙曲正切函數表達式為

該函數的定義域為(-1,1)，它是奇函數，在區(qū)間(-1,1)內單調增加. 其圖像如圖2 中曲線1 所示.

圖2 反雙曲正切函數及調整過程中的非線性函數曲線Fig. 2 Inverse hyperbolic tangent function and nonlinear function curve during adjustment

對式(2)中的自變量取絕對值，所得函數式為

式(3)的函數圖像為圖2 中的曲線2，由圖可知，該曲線符合算法步長的調整機制，其斜率隨著自變量的增大逐漸減小，意味著步長在收斂初期取值較大，在收斂完成期間取值較小，并在誤差接近零時緩慢調整. 因此利用式(3)建立步長與誤差之間的關系式為

為了更好地控制函數形狀，在式(4)中引入參數α ， β 和 γ，得到新的步長函數表達式為

式中： α 和 β為控制函數幅值的參數； γ為控制函數曲線形狀的參數.

因此，本文算法的迭代公式為

2.2 參數選擇

為了明確新的步長函數式中參數 α 、 β 和 γ對算法收斂性、穩(wěn)定性和抗干擾能力的影響，下面分別討論各參數的取值對算法性能的影響，以此選擇最優(yōu)參數. 仿真軟件采用Matlab2018，仿真條件參照文獻[14]設定：1)自適應濾波器為二階線性濾波器；2)未知系統的濾波器初始權值為W=[ 0.8 0.5 ]T，在第500 個采樣點時刻變?yōu)閃=[ 0.4 0.2 ]T；3)自適應濾波器輸入信號X(n)為均值為0、方差為1 的高斯白噪聲；4)干擾噪聲v(n)為均值為0、方差為0.000 1 的高斯白噪聲；5)輸入信號X(n)和干擾噪聲v(n)互不相關. 令采樣點數為1 000，進行200 次仿真實驗，統計其平均值畫出學習曲線.

圖3 為當 α=0.02， γ=0.1 時， β分別取0.1，1，3，5時的步長u(n)和誤差e(n)以及迭代次數n和均方誤差MSE 之間的關系曲線圖. 由圖3(a)可知，當誤差e(n)相同時，隨著 β取值的增大，曲線在收斂初期的斜率增大，即算法的收斂速度加快，但超過一定的值后，雖然算法收斂速度仍有顯著提升，但收斂后步長的調整變化也會增大，這會降低算法的穩(wěn)定性. 參考圖3(b)，當 β取0.1 時，算法在迭代500 次時還未收斂. 當 β取值大于1 時，雖然最終收斂的穩(wěn)態(tài)誤差相同，但收斂速度有所不同：當 β取1 時，算法在迭代100 次左右時達到收斂；而當 β取3 或5 時，在迭代次數為30 左右的時候，算法就已經達到收斂狀態(tài). 因此，綜合考慮各方面因素，最終選擇 β=4.

圖3 參數 β變化時步長和誤差以及迭代次數和均方誤差曲線Fig. 3 The step length and error, the number of iterations and the mean square error curve when the parameter β changes

圖4 為 β=4， γ=0.1 時，參數 α變化時的步長u(n)和誤差e(n)以及迭代次數n和均方誤差MSE 之間的關系曲線圖， α分別取0.01，0.02，0.03，0.05. 由圖4(a)可知，在相同誤差下， α取值越大，算法收斂速度越快，但當 α取值超過某一定值時，算法收斂速度的增加是以犧牲穩(wěn)定性為代價. 因此，對 α的取值還需要參考圖4(b)， α取值為0.01 時，算法在迭代60 次左右時才完成收斂；而當 α取0.02，0.03 和0.05 時，算法都是在迭代次數為30 左右的時候，達到收斂狀態(tài)，但隨著α取值的增大，算法的穩(wěn)態(tài)誤差也會增大，且當 α取值大于0.05 時，該算法發(fā)散不收斂. 綜合考慮圖4(a)，最終選擇 α=0.02.

圖4 參數α 變化時步長和誤差以及迭代次數和均方誤差曲線Fig. 4 The step length and error, the number of iterations and the mean square error curve with the change of parameter αchanges

固定 α=0.02， β=4，取 γ分別為0.01，0.1，0.4，0.7 時的步長u(n)和誤差e(n)以及迭代次數n和均方誤差MSE 之間的關系曲線圖如圖5 所示. 分析圖5(a)可知， γ取值越大，步長會在誤差較大時下降到一個較小的值，進而會導致系統的收斂速度變慢；當 γ越小時，步長調整變化越小，這個特性會使算法在收斂階段的穩(wěn)定性增強，但較小的 γ卻不能為算法在收斂初期提供較大的步長來使算法的收斂速度加快. 由圖5(b)可知，當 γ取0.01 和0.1 時，學習曲線幾乎重疊，但隨著 γ的持續(xù)增加，收斂速度會下降且穩(wěn)態(tài)誤差增加.因此，綜合考慮選擇 γ=0.1.

圖5 參數 γ變化時步長和誤差以及迭代次數和均方誤差曲線Fig. 5 The step length and error, the number of iterations and the mean square error curve with the change of parameter γchanges

綜上，新的步長調整函數式(7)中的參數 α 和 β是控制步長取值范圍的參數， γ是在步長接近0 時，控制穩(wěn)態(tài)均方誤差范圍的參數. 最終，文中取參數 α=0.02， β=4， γ=0.1.

2.3 算法抗干擾性分析

噪聲和干擾都會對LMS 算法的穩(wěn)定性產生影響，因此衡量算法性能的好壞時，抗干擾性和穩(wěn)定性也應該被考慮到. 由式(6)可得

期望信號d(n)也可以表示為另一種形式.

其中，v(n)為干擾噪聲，一般是與輸入信號無關的均值為零的白噪聲；Wopt為最優(yōu)權系數向量；令ΔW=Wopt-W(n)，可由式(9)和式(10)得

對式(11)兩邊求平方可得.

對式(11)和式(12)兩邊取期望, 并利用v(n)與輸入信號無關且均值為0 的特性，化簡整理可得

由式(13)可知，誤差e(n)的均值不受干擾噪聲v(n)的影響，只與輸入信號相關，而誤差e(n)平方的期望與干擾噪聲相關，在干擾較大的時候，會嚴重的影響到算法的穩(wěn)定性. 因此本文算法的步長函數與干擾噪聲v(n)無關，即具有一定的抗干擾能力.

3 仿真實驗

3.1 各變步長算法在系統辨識中的性能對比

為了檢驗本文所提算法的性能，將其與幾個較新的變步長LMS 算法進行比較，其中各比較算法的步長函數如下.

文獻[17]提出的基于反雙曲正弦函數的變步長函數為

文獻[18]提出的基于改進Sigmoid 函數的變步長函數為

文獻[19]提出的在Sigmoid 函數基礎上添加調節(jié)函數的表達式為

文獻[20]提出的基于改進對數函數的變步長表達式為

實驗仿真環(huán)境設置同3.2 節(jié)參數選擇中的一致：自適應濾波器為二階線性濾波器，未知系統的濾波器初始權值為W=[ 0.8 0.5 ]T，在第500 個采樣點時刻變?yōu)閃=[ 0.4 0.2 ]T，自適應濾波器輸入信號X(n)為均值為0、方差為1 的高斯白噪聲，干擾噪聲v(n)為均值為0、方差為0.000 1 的高斯白噪聲；輸入信號X(n)和干擾噪聲v(n)互不相關. 令采樣點數為1 000，做200 次仿真實驗，對比各算法的性能.

在該仿真環(huán)境下，通過相同的實驗得到上述各個算法的最優(yōu)參數，如表2 所示，各算法的對比學習曲線如圖6 所示.

表2 干擾噪聲方差為0.000 1 時各算法參數選擇Tab. 2 Selection of algorithm parameters when the variance of interference noise is 0.000 1

圖6 干擾噪聲方差為0.000 1 時各算法性能比較Fig. 6 Performance comparison of different algorithm in 0.000 1 interference noise variance

分析圖6 可知，本文算法在迭代30 次左右時達到收斂，且收斂后的穩(wěn)態(tài)誤差在0.006 左右. 相較于文獻[17]中的算法在迭代300 次左右時穩(wěn)態(tài)誤差為0.016，無論是在收斂速度還是穩(wěn)態(tài)誤差方面，本文算法的效果都明顯優(yōu)于文獻[17]；而文獻[18]、文獻[19]和文獻[20]的算法幾乎都是在迭代300 次左右時達到0.016 的穩(wěn)態(tài)誤差，雖然與本文算法穩(wěn)定收斂后的穩(wěn)態(tài)誤差比較相近，但收斂速度卻較慢.

將噪聲v(n)變?yōu)榫禐?，方差為0.04 的高斯白噪聲，此時，各算法的最優(yōu)參數選擇如表3 所示，學習曲線如圖7 所示.

表3 干擾噪聲方差為0.04 時各算法參數選擇Tab. 3 Selection of algorithm parameters when the variance of interference noise is 0.04

圖7 干擾噪聲方差為0.04 時各算法性能比較Fig. 7 Performance comparison of different algorithm in 0.04 interference noise variance

觀察圖7 可知，在本文算法和文獻[17-20]所提出的算法穩(wěn)定收斂后，所達到的穩(wěn)態(tài)誤差結果很相近，幾乎都在0.032 左右；但本文算法具有較快的收斂速度，相比于它們在迭代50 次左右達到收斂，本文提出的算法在迭代30 次左右就已經完成穩(wěn)定收斂.

綜上所述，在系統辨識環(huán)境中，無論加入干擾噪聲的方差為0.000 1 還是0.04，本文算法都能得到較好的效果.

3.2 正弦信號去噪

為了分析本文算法的濾波去噪能力，選擇輸入信號為s=15 sin(0.15 πt)，其采樣頻率fs=1 000，加入信噪比為15 dB 的正態(tài)隨機噪聲，利用本文算法對其進行去噪處理，通過多次實驗選擇各參數的最優(yōu)值，實驗結果如圖8 和圖9 所示.

圖8 正弦信號去噪結果圖Fig. 8 The result of denoising sinusoidal signal

圖9 帶噪正弦、原始信號和濾波結果的對比圖Fig. 9 Comparison of noisy sine, original signal and filtered result

由圖8 可知，本文提出算法可用于正弦信號去噪，且通過圖9 觀察帶噪信號、濾波結果和原始信號的對比，發(fā)現本文算法對于正弦信號去噪具有良好的效果.

3.3 自適應線性預測

由二階AR 模型產生自適應濾波器的輸入信號x(n)，定義如下：

其中，a1=-1.6，a2=0.8，v(n)為零均值的高斯白噪聲，二階AR 模型如圖10 所示.

圖10 二階AR 模型圖Fig. 10 Second-order AR model diagram

得到輸入信號x(n)后，通過二階線性預測濾波器進行自適應線性預測，其框圖如圖11 所示.

圖11 自適應線性預測圖Fig. 11 Adaptive linear prediction diagram

圖11 中的自適應算法選用本文算法，各參數選擇如下： α=0.03， β=2， γ=0.1；設第n次預測的權值向量為W(n)=[w1(n),w2(n)]H，數據長度N為600. 預測結果用權值w1(n)，w2(n)的變化曲線以及誤差的平方e2(n)的變化曲線表示，權值曲線取20 次預測結果的平均值，觀察算法的收斂情況. 其結果如圖12 所示.

由圖12 可知，兩個初始權值向量w1(n)和w2(n)分別從0 出發(fā)，經過200 次左右的迭代，兩條收斂曲線都到達了最優(yōu)值附近，而這時所產生的誤差來源于輸入信號中的v(n). 因此，考慮到輸入信號的隨機性，使用本文算法進行一定次數的迭代，無論初始權值向量從哪里開始取值，迭代后權值一定會收斂到最優(yōu)權向量附近.

圖12 自適應線性預測結果圖Fig. 12 The result of adaptive linear prediction

4 結 論

針對定步長LMS 算法的局限性，本文以反雙曲正切函數為基礎建立步長與誤差之間的非線性關系代替?zhèn)鹘yLMS 算法中的固定步長，實現了對步長因子的動態(tài)調整. 最后在系統辨識、正弦信號去噪和線性預測方面對該算法的性能進行了驗證. 仿真結果表明，本文算法很好地兼顧了收斂速度、穩(wěn)態(tài)誤差和跟蹤性能，在系統辨識方面比文獻[17-20]的算法具有更優(yōu)的性能，同時，在正弦信號去噪和線性預測方面的應用也說明了本文算法的有效性和適用性.