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    一類線性權(quán)互補問題的修正全牛頓步可行內(nèi)點算法

    2022-10-26 04:45:08吳昕陽張睿婕遲曉妮王博妲
    關(guān)鍵詞:內(nèi)點方程組牛頓

    吳昕陽, 張睿婕, 遲曉妮, 王博妲

    (桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,廣西 桂林 541004)

    權(quán)互補問題(weighted complementarity problem, 簡稱WCP)是一類新的優(yōu)化問題,目前關(guān)于權(quán)互補問題的理論和算法研究較少。Potra[1]最先提出權(quán)互補的概念,即找到一對屬于一個流形與一個錐的交集的向量,使得它們在某個代數(shù)中的乘積等于一個給定的權(quán)向量。當權(quán)向量為零向量時,權(quán)互補問題退化為互補問題。Potra[1]將Fisher市場均衡問題、二次規(guī)劃與權(quán)中心問題轉(zhuǎn)化為單調(diào)線性權(quán)互補問題,并提出了求解單調(diào)線性權(quán)互補問題的2種內(nèi)點算法。之后,Potra[2]又證明了充分線性權(quán)互補問題的一些基本結(jié)論,設(shè)計了一種校正-預(yù)估內(nèi)點算法。目前,光滑牛頓法[3,9]和內(nèi)點算法[10]是求解線性優(yōu)化、互補問題[11-12]和權(quán)互補問題[13]等的有效算法,其中內(nèi)點算法由于具有多項式時間復(fù)雜度[14]而備受關(guān)注。Kojima等[4-5]給出了線性互補問題的原對偶內(nèi)點算法及其復(fù)雜度。Roos等[6]首次提出了線性規(guī)劃的全牛頓步可行內(nèi)點算法。隨后,Zhang等[7]基于修正牛頓方向提出了新的全牛頓步可行內(nèi)點算法。Xu[8]給出了線性規(guī)劃的基于修正全牛頓方向的不可行內(nèi)點算法,并證明了該算法在適當條件下具有良好的復(fù)雜度上界。Asadi 等[15]提出了求解單調(diào)線性權(quán)互補問題的全牛頓步可行內(nèi)點算法。

    鑒于此,基于Xu[8]提出的修正全牛頓步,提出一種求解非負象限上線性權(quán)互補問題(LWCP)的可行內(nèi)點算法。本算法采用修正全牛頓步,避免了線性搜索,簡化了算法分析,且保證了迭代點都位于中心路徑的窄鄰域內(nèi),最后分析了算法的可行性、收斂性及復(fù)雜度。數(shù)值算例結(jié)果表明,本算法是有效的。

    1 權(quán)互補問題

    考慮Rn上的LWCP[1]:找到一向量對(x,y,s)∈Rn×Rm×Rn使得

    (1)

    定義LWCP(1)的嚴格可行域為

    1.1 中心路徑及搜索方向

    由于直接求解LWCP(1)比較困難,用xs-ω=μe代替xs-ω=0,求解方程組

    (2)

    假定A是行滿秩矩陣,即R(A)=m。若內(nèi)點條件(IPC)[6]成立,即(x,y,s)∈F0,則對任意參數(shù)μ>0,方程組(2)有唯一解(x(μ),y(μ),s(μ)),稱之為LWCP(1)的μ-中心。所有μ-中心的集合{(x(μ),y(μ),s(μ))|μ>0}稱為LWCP(1)的中心路徑。當μ→0時,中心路徑的極限點便是LWCP(1)的最優(yōu)解。當xs-ω≥0時,定義

    (3)

    當υ≥0時,易證

    xs-ω=μe?υ2=e?υ=e?υ2=υ。

    則方程組(2)可化為

    (4)

    其中,μ+=(1-θ)μ,θ∈(0,1)。因而,通過求解方程組

    (5)

    可得牛頓搜索方向(Δx,Δy,Δs)。

    定義

    (6)

    由式(3)、(6),方程組(5)可化為

    (7)

    定義鄰近測度

    (8)

    引理1[6]若u與v正交,則

    因為dx與ds正交,由引理1和式(8)可得

    (9)

    同理可得

    引理2[7]對任意υ∈Rn,有

    1-δ(υ)≤υi≤1+δ(υ),i=1,2,…,n。

    1.2 修正全牛頓步可行內(nèi)點算法

    設(shè)μ0>0,(x0,y0,s0)∈F0,選擇適當參數(shù)θ,ε,τ,使得

    δ(x0,s0,μ0)≤τ。

    在修正全牛頓步中,求解方程組(5)得牛頓搜索方向(Δx,Δy,Δs),其中μ+=(1-θ)μ,θ∈(0,1)。令新迭代點

    (10)

    滿足內(nèi)點條件,且

    δ(x+,s+;μ+)≤τ,

    當‖xs-ω‖≤ε時,算法迭代終止。

    算法1求解LWCP的修正全牛頓步可行內(nèi)點算法

    2)當‖xs-ω‖≤ε時,算法終止,否則,轉(zhuǎn)步驟3)。

    3)求解方程組(5),得搜索方向(Δx,Δy,Δs)。令

    2 算法分析

    2.1 可行性和收斂性分析

    引理3若‖dxds‖∞<(1-θ)(1-δ(υ)),則(x+,y+,s+)∈F0。

    證明令α∈[0,1],記

    x(α)=x+αΔx,y(α)=y+αΔy,s(α)=s+αΔs。

    則由式(3)、(6)和方程組(7)中第3式得

    (11)

    (12)

    又因為(1-α)υ2>0,所以由式(12)、(13)知,若

    ‖dxds‖∞<(1-θ)(1-δ(υ)),

    (13)

    則x(α)s(α)-ω>0。

    由于x(0)=x>0,s(0)=s>0,且x(α),s(α)與α呈線性關(guān)系,對α∈[0,1],有x(α),s(α)>0。相應(yīng)地,x(1),s(1)>0。證畢。

    證明由式(9)和引理3知,若

    (14)

    (15)

    證明由式(11)得

    引理6若(x+,y+,s+)∈F0,則

    證明由引理5知,

    因此,

    由引理2可得

    引理7若(x+,y+,s+)∈F0,則

    證明由引理5得

    證明由δ(υ+)的定義式(8)得

    因此,由引理6得

    由式(9)、(*)可知,

    (16)

    (17)

    (18)

    2.2 復(fù)雜度分析

    (19)

    又由引理5得

    (1-θ)nμ‖υ‖∞+nμ‖dxds‖∞。

    (20)

    則根據(jù)式(12)、(21)和引理2 可知,

    [2(1-θ)nμ]2。

    次迭代,才能得到LWCP(1)的ε-近似解。

    因此要使‖xksk-ω‖≤ε,只需

    [2(1-θ)nμk-1]2=[2(1-θ)knμ0]2。

    3 數(shù)值算例

    為檢驗算法1的有效性,運用MATLAB R2016b編程,在Intel?Core i5 CPU 2.3 GHz,8.0 GiB內(nèi)存,IOS操作系統(tǒng)的計算機上進行數(shù)值實驗。隨機生成5個不同規(guī)模的LWCP(1),對每種規(guī)模產(chǎn)生10個問題進行求解。

    任意選取參數(shù)μ0>0,起始點(x0,y0,s0)及權(quán)向量ω≥0,使得δ(x0,s0;μ0)≤τ。隨機生成行滿秩矩陣A∈Rm×n。令b=Ax0,c=ATy0+s0,即初始點滿足內(nèi)點條件。算法的終止條件為‖xs-ω‖≤ε,記Gap=‖xs-ω‖。在算法1中取參數(shù)

    表1為算法1求解不同規(guī)模的LWCP(1)的數(shù)值結(jié)果,其中數(shù)據(jù)為10次結(jié)果的平均值。

    表1 求解不同規(guī)模線性權(quán)互補問題的數(shù)值結(jié)果

    例1考慮R3上的LWCP(1),其中

    x*=(2.477,1.477,2.000)T,y*=(0.385,0.499)T,s*=(1.615,3.385,1.500)T。圖1為迭代過程中鄰近測度及Gap的值。從圖1可看出,隨著μ的減小,鄰近測度和Gap逐漸減小,并趨于0。

    圖1 迭代過程中鄰近測度及Gap的值

    4 結(jié)束語

    提出了求解一類線性權(quán)互補問題的一種修正全牛頓步內(nèi)點算法。該算法基于中心路徑的等價變換,得到搜索方向。證明了算法經(jīng)過修正全牛頓步后生成的迭代點仍嚴格可行,且具有多項式時間復(fù)雜度。數(shù)值算例表明了算法的可行性。

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