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    兩參數(shù)布朗運(yùn)動(dòng)增量的一個(gè)泛函對(duì)數(shù)律

    2022-10-26 04:45:30張晴晴劉永宏
    關(guān)鍵詞:布朗運(yùn)動(dòng)范數(shù)對(duì)數(shù)

    張晴晴, 劉永宏

    (桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,廣西 桂林 541004)

    布朗運(yùn)動(dòng)也可稱為維納過(guò)程,作為具有連續(xù)時(shí)間參數(shù)和連續(xù)狀態(tài)空間的一個(gè)隨機(jī)過(guò)程,是隨機(jī)過(guò)程學(xué)科中最簡(jiǎn)單、最基本、最常見(jiàn)的隨機(jī)過(guò)程之一[1]。隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步,人們?cè)絹?lái)越意識(shí)到現(xiàn)實(shí)生活中影響某種隨機(jī)現(xiàn)象的因素不是單一的,如天氣變化,除了緯度位置,還與大氣環(huán)流、海陸分布等因素相關(guān)。這促使學(xué)者尋找某種途徑,把單參數(shù)情形所得到的結(jié)論推廣到更為復(fù)雜的多參數(shù)情形。在多參數(shù)布朗運(yùn)動(dòng)中,兩參數(shù)布朗運(yùn)動(dòng)最具代表性[2]。

    布朗運(yùn)動(dòng)與兩參數(shù)布朗運(yùn)動(dòng)的重對(duì)數(shù)律[3]問(wèn)題研究最為廣泛。畢秋香等[4]證明了在一定的假設(shè)條件下,廣義布朗運(yùn)動(dòng)服從重對(duì)數(shù)律,得到并證明了相應(yīng)的結(jié)果;文獻(xiàn)[5-8]利用布朗運(yùn)動(dòng)在H?lder范數(shù)下的大偏差,得到了布朗運(yùn)動(dòng)增量在H?lder范數(shù)下的局部Strassen重對(duì)數(shù)律。文獻(xiàn)[9-10]通過(guò)建立兩參數(shù)布朗運(yùn)動(dòng)增量的大偏差結(jié)果,得到了在矩形集上兩參數(shù)布朗運(yùn)動(dòng)大增量和小增量的Cs?rg?-Révész型增量Strassen重對(duì)數(shù)律;許杰等[11]利用兩參數(shù)布朗運(yùn)動(dòng)增量的大偏差,得到了一類兩參數(shù)布朗運(yùn)動(dòng)過(guò)程的連續(xù)模的情形。

    鑒于此,針對(duì)兩參數(shù)布朗運(yùn)動(dòng)對(duì)數(shù)律問(wèn)題,給出了兩參數(shù)布朗運(yùn)動(dòng)增量的大偏差,得到了兩參數(shù)布朗運(yùn)動(dòng)的泛函對(duì)數(shù)律,并進(jìn)行了證明。

    1 預(yù)備知識(shí)

    C0={f∈C;f(0,t)=f(s,0)=0},

    設(shè)函數(shù)I:C0→[0,∞],定義如下:

    設(shè)au:(0,∞)→(0,∞)為非減連續(xù)函數(shù),滿足:

    1)au≤u,對(duì)任何u∈(0,∞);

    2)u/au非減;

    定義

    Δ(s,t,aux,auy)=w(s+aux,t+auy)-

    w(s+aux,t)-w(s,t+auy)+w(s,t),

    0≤s≤u-au,0≤t≤u-au,(x,y)∈[0,1]2。

    設(shè)

    K={f∈H;2I(f)≤1}。

    定義

    Zs,t,u(x,y)=γuΔ(s,t,aux,auy)。

    2 主要結(jié)果

    定理1若1)~3)成立,則有

    (1)

    且對(duì)任意的f∈K,

    (2)

    3 若干引理

    引理1[10]對(duì)任何閉集F?C0,

    對(duì)任何開(kāi)集G?C0,

    引理2[10]對(duì)任何0

    引理3設(shè)f∈H,定義

    f*(·,·)=f(λ·,λ′·),

    其中λ,λ′<1,則

    ‖f-f*‖≤{((1-λ)(1-λ′))1/2+(1-λ)1/2+

    (1-λ′)1/2}‖f‖H。

    ‖f(·,·)-f*(·,·)‖=

    {((1-λ)(1-λ′))1/2+

    (1-λ)1/2+(1-λ′)1/2}‖f‖H。

    引理4[12](博雷爾-坎特利引理) 若

    證明

    引理5[13]設(shè){ξn}n≥1為隨機(jī)變量序列,若

    則存在子列{ξnk},使得

    因此

    4 定理1的證明

    4.1 式(1)的證明

    引理6若1) ~3)條件成立,則存在un→∞,使得

    (3)

    證明設(shè)A={g:‖g-K‖≥ε},則A為閉集,存在任意小的δ>0,使得

    由引理2,有

    故有

    由引理5,可得

    故引理6得證,從而式(1)得證。

    4.2 式(2)的證明

    引理7若1) ~3)條件成立,則對(duì)任意f∈K,存在子列{un=θn,θ>1,n≥1},使得

    (5)

    證明設(shè)si=iaun,tj=jaun,i,j=0,1,…,

    若n足夠大,則有

    (6)

    若n足夠大,則由大偏差可得

    因此,

    (7)

    若n足夠大,則由式3)有

    故有

    exp(-4log logun),

    (8)

    由Borel-Cantelli引理可得:

    引理8若1) ~3)條件成立,則對(duì)任何f∈K,有

    (9)

    證明設(shè)un如引理7中定義,對(duì)u∈(un-1,un],

    (10)

    則有

    可得

    (11)

    (12)

    令θ→1,由式(10)~(12)和引理7,可得式(9),從而式(2)得證。

    5 結(jié)束語(yǔ)

    對(duì)布朗運(yùn)動(dòng)增量的重對(duì)數(shù)律有關(guān)問(wèn)題進(jìn)行了研究,將兩參數(shù)布朗運(yùn)動(dòng)問(wèn)題和單參數(shù)布朗運(yùn)動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行對(duì)比,發(fā)現(xiàn)可以將單參數(shù)布朗運(yùn)動(dòng)增量的對(duì)律推廣到兩參數(shù)布朗運(yùn)動(dòng)增量的情形。通過(guò)對(duì)兩參數(shù)布朗運(yùn)動(dòng)增量在一致范數(shù)下的對(duì)數(shù)律的探討,今后還可以進(jìn)一步探究?jī)蓞?shù)布朗運(yùn)動(dòng)增量在H?lder范數(shù)下的對(duì)數(shù)律以及兩參數(shù)布朗運(yùn)動(dòng)增量的鐘型重對(duì)數(shù)律。

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