三角恒等變換常用技巧

趙桂強(qiáng)

(山東省高密市第一中學(xué))

三角恒等變換是近年高考中的高頻考點(diǎn),因此深刻理解、準(zhǔn)確掌握有關(guān)解題技巧就顯得非常重要.基于此,本文通過歸類剖析的方式對(duì)三角恒等變換常用技巧加以具體說明,以便幫助讀者拓寬解題思路,進(jìn)一步提高分析、解決此類問題的實(shí)際能力.

1 利用“弦切互化”

處理三角函數(shù)中有關(guān)正弦、余弦以及正切函數(shù)之間的綜合問題時(shí),常常需要“弦切”互化.

2 利用和(差)角正切公式的“變形式”

3 利用“換元”轉(zhuǎn)化

處理有關(guān)三角函數(shù)求值問題時(shí),有時(shí)需將表示“角”的代數(shù)式看作一個(gè)整體,借助“換元”進(jìn)一步分析、解決問題.

本題采用“換元”轉(zhuǎn)化的思想,使整個(gè)解題過程流暢、自然,且不需要在如何運(yùn)用三角公式上大做文章.

4 利用“平方”變形

從解題目標(biāo)看,利用恒等變形化簡(jiǎn)可知本題關(guān)鍵是求sinα＋cosα的值,注意到(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα,(sinα-cosα)2＝1-2sinαcosα,由此即可找到解題思路.

5 利用“加減”變形

處理三角函數(shù)中有關(guān)求值問題時(shí),有意識(shí)地考慮題設(shè)條件及目標(biāo)問題中“角”與“角”之間的“加減”聯(lián)系,往往可為靈活運(yùn)用和(差)角公式創(chuàng)造有利條件.常見變形有2α＝(α＋β)＋(α-β),2α＋β＝(α＋β)＋α,β＝α-(α-β)等.

本題將2x變形為(x＋y)＋(x-y),將2y變形為(x＋y)-(x-y),不但為活用和(差)角公式創(chuàng)造了條件,而且將已知條件與求解目標(biāo)緊密聯(lián)系起來,真可謂“一箭雙雕”.

6 利用“輔助角公式”

三角輔助角公式:當(dāng)ab≠0時(shí),有

總之,處理三角恒等變換問題應(yīng)過好三關(guān):一是理論關(guān),即必須熟練掌握相關(guān)的三角恒等變換公式;二是運(yùn)用關(guān),即能夠在觀察題型結(jié)構(gòu)、特點(diǎn)的基礎(chǔ)上,靈活選用相關(guān)的解題技巧;三是運(yùn)算關(guān),即進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算時(shí),必須細(xì)心、認(rèn)真,力求準(zhǔn)確化簡(jiǎn)、求值.