基于坐標反推法的偏心輪軸升程測量

楊武偉, 石照耀, 林 虎

(1.北京工業(yè)大學材料與制造學部北京市精密測控技術(shù)與儀器工程技術(shù)研究中心，北京100124；2.中國計量科學研究院，北京100029)

1 引 言

凸輪軸測量儀是發(fā)動機、油泵中凸輪軸的專用測量儀器[1,2]，其測量準確性會影響凸輪產(chǎn)品的加工質(zhì)量判斷。為此，測量儀器在使用之前需要采用特定的標準器具進行綜合示值誤差的校準，從而反映儀器的計量特性[3,4]。

標準器具一般可以采用加工精度高的凸輪軸，但實際應用過程中，由于凸輪輪廓形狀復雜，導致標準凸輪軸加工困難。為此，采用偏心輪軸來間接替代凸輪的方法，通過在一根軸上布置1個或多個偏心圓輪，實現(xiàn)凸輪軸多個參量的替代測量；且偏心圓輪采用了基本的幾何圓特征，實現(xiàn)高精度的加工也相對較為容易。劉瑞生等[5]設(shè)計了標準偏心凸輪檢具來檢測凸輪軸自動測量儀綜合精度和重復性精度；楊志勇等[6]利用標準凸輪軸來校準凸輪軸、曲軸測量儀；劉盟盟等[7,8]研制了偏心軸標準器，推導了偏心軸標準器理論升程的計算方法，開展了利用偏心軸標準器校準凸輪軸測量儀升程誤差的方法研究。

偏心輪軸需要測量的參量包括基本的幾何形位誤差，如軸頸跳動誤差、圓度、直線度，還包括凸輪對應的幾何參量，如升程和相位角等。在實際應用中，偏心輪軸不僅可以利用凸輪軸專用測量儀進行測量，也可利用極坐標測量儀、三坐標測量機等通用型坐標測量儀器對其相關(guān)參量進行測量[9～13]。凸輪軸專用測量儀配備了平面測頭、滾子測頭及刀口測頭，可以根據(jù)凸輪機構(gòu)從動件的型式選擇；而通用型坐標測量儀主要配備的都是球形測頭，無法同凸輪軸專用測量儀一樣直接測量得到從動件所對應的升程及升程誤差。

本文提出了基于坐標反推法的偏心輪軸升程測量方法，在獲取偏心圓輪表面輪廓點坐標后，通過理論推導和計算，從而實現(xiàn)升程及升程誤差的測量。

2 偏心輪軸

偏心輪軸主要由參考軸頸、偏心圓輪、頂尖孔等部分組成，針對參考軸頸及偏心圓輪直徑D、偏心圓輪相位差α、偏心距e等參量進行設(shè)計，以此模擬凸輪軸轉(zhuǎn)動過程產(chǎn)生的偏心位移。如圖1所示為偏心輪軸示意圖，包括兩個參考軸頸A和B，兩個偏心圓輪E1和E2，其中E1和E2不僅存在相位差α，相對參考軸也存在一定的偏心量e1和e2，N1、N2、M1、M2代表其形位公差對應的基準。

圖1 偏心輪軸示意圖Fig.1 Schematic diagram of eccentric wheel shaft

偏心輪軸與凸輪軸主要區(qū)別之處在于其不存在基圓，利用偏心圓輪廓替代凸輪輪廓線。如圖2所示，偏心圓輪在繞回轉(zhuǎn)中心O1回轉(zhuǎn)過程中同樣存在升程H即工作半徑R在參考方向上變化量，可分為推程(A區(qū)、B區(qū))和回程(C區(qū)、D區(qū))兩部分；升程最大的點T為其“桃尖”，位于回轉(zhuǎn)中心和偏心圓圓心相連接的中心線上即180°所對應的位置；相位角θ為偏心圓輪型面上指定點與回轉(zhuǎn)軸線構(gòu)成的平面相對于參考平面之間的夾角。

圖2 偏心圓輪升程示意圖Fig.2 Schematic diagram of eccenter lift

3 理論升程與坐標反推升程

偏心輪軸在實際應用時，同樣需要考慮從動件的類型，實現(xiàn)對不同測頭升程測量誤差的校準[14]。偏心圓輪的設(shè)計輪廓為標準圓，可以根據(jù)與從動件的運動規(guī)律來推導其理論升程?？紤]到偏心圓輪輪廓誤差的存在，其實際升程與理論升程會存在一定的差別，本文提出了一種坐標反推法，通過偏心圓輪輪廓點坐標推導出平面測頭、滾子測頭和刀口測頭所對應的實際升程。

3.1 平面測頭理論升程及坐標反推升程

H=O1O2-O1M=e(1- cosθ)

(1)

圖3 平面測頭理論升程計算模型Fig.3 Theoretical lift calculation model of plane probe

利用坐標測量儀器對偏心圓輪測量時，可以得到其表面點坐標值Pi(xi,yi,zi)進一步可以反推出平面測頭與坐標值Pi接觸時，所對應的偏心圓輪相位角和升程值。由于偏心圓輪截面為二維輪廓曲線，表面輪廓點的坐標可簡化為Pi(xi,yi)，如圖4所示。

圖4 坐標反推平面測頭升程計算模型Fig.4 Calculation model of plane probe lift based on coordinate inversion

對應的平面測頭升程具體求解方法如下：

在△PiO2O1中，根據(jù)余弦定理可求得,

(2)

(3)

Hi=O1A-(R-e)

(4)

根據(jù)式(3)和式(4)可求得平面測頭反推升程Hi為

(5)

3.2 滾子測頭理論升程及坐標反推升程

e(1- cosθ)-(R+r)

(6)

圖5 滾子測頭理論升程計算模型Fig.5 Theoretical lift calculation model of roller probe

滾子測頭坐標反推升程計算模型如圖6所示。

圖6 坐標反推滾子測頭升程計算模型Fig.6 Calculation model of roller probe lift based on coordinate inversion

同理可求出滾子測頭與偏心圓輪表面輪廓點Pi接觸時所對應的相位角和升程值。

在△O1PiO2中，可求得

(7)

(8)

最終求出相位角θi和升程Hi為

(9)

(10)

3.3 刀口測頭理論升程及坐標反推升程

對于刀口測頭所對應的升程模型可簡化為滾子測頭半徑r為0時的模型，如圖7所示。 其理論升程為

(11)

圖7 刀口測頭理論升程計算模型Fig.7 Theoretical lift calculation model of knife-edge probe

刀口測頭對應偏心圓輪輪廓點坐標Pi反推升程計算模型如圖8所示。

圖8 坐標點反推刀口測頭升程計算模型Fig.8 Calculation model of knife-edge probe lift based on coordinate inversion

相對應的相位角θi和升程Hi為

(12)

(13)

3.4 坐標點測量誤差對升程的影響

在偏心圓輪實際的測量過程中，對其表面輪廓坐標點的測量難免存在誤差，這將直接影響不同從動件的升程值。以平面測頭為例，如圖9所示。

圖9 坐標點測量誤差對平面測頭升程的影響Fig.9 Influence of coordinate point measurement error on the lift of plane probe

其他從動件與平面測頭類似，表面輪廓坐標點測量誤差即測量儀器的精度將直接對升程值產(chǎn)生影響，實際計算升程時應考慮儀器測量誤差帶來的影響。

(14)

4 偏心圓輪“桃尖”確定

凸輪升程曲線在設(shè)計時一般是以理論凸輪升程表的形式給出一組離散數(shù)據(jù)[15,16]，數(shù)據(jù)的參考起點為升程最高點即“桃尖”，因此在凸輪測量過程中需要先找到凸輪“桃尖”,參見文獻[14]。

“桃尖”位置的準確性會影響凸輪升程誤差，所以在確定凸輪“桃尖”的問題出現(xiàn)了多種處理方法，如最大值法、敏感點法、轉(zhuǎn)折點法等[17]。同樣，在測量偏心輪軸時也存在確定“桃尖”的問題。由于輪廓加工誤差的存在，其升程最高點不一定為“桃尖”點。本文采用最小二乘法確定“桃尖”，使得升程誤差的平方和為最小。

因為偏心圓輪截面為二維圓輪廓曲線，所以利用表面輪廓點坐標可擬合得到最小二乘圓心點，由回轉(zhuǎn)中心點到圓心點的延長線與輪廓線的交點作為偏心圓輪“桃尖”，并以其作為參考點評定偏心圓輪升程及升程誤差。

5 實驗與分析

5.1 實驗過程

本文采用一臺極坐標測量儀器對偏心輪軸進行測量，如圖10所示。

圖10 偏心輪軸升程測量實驗Fig.10 Eccentric wheel shaft lift measurement experiment

儀器配備3個直線運動軸系及1個回轉(zhuǎn)軸系，探測系統(tǒng)為三維掃描測頭。被測的偏心輪軸具有2個不同直徑的參考軸頸A和B，2個偏心圓輪E1和E2。

具體測量步驟如下：

(1) 將偏心輪軸固定在上下頂尖之間，先粗測參考軸頸A、B和偏心圓輪E1，確定其在機器坐標系OXYZ下的位置。

(2) 利用參考軸頸A和B的圓心構(gòu)建工件坐標系z軸，以偏心圓輪E1圓心和z軸構(gòu)建工件坐標系x軸。

(3) 基于已建好的工件坐標系，采用極坐標測量方式，回轉(zhuǎn)軸系C在回轉(zhuǎn)的同時，測頭沿著Y軸做跟隨運動，從而測得偏心圓輪表面輪廓點坐標值。

5.2 數(shù)據(jù)處理與升程計算

(1) 偏心圓輪“桃尖”確定

坐標反推平面測頭實際升程計算模型如圖11所示。

圖11 坐標反推平面測頭實際升程計算模型Fig.11 Calculation model of actual lift of plane probe based on coordinate inversion

由第5.1節(jié)中測量步驟(1),粗測偏心圓輪所得到的最小二乘圓心為O2;由測量步驟(3),掃描偏心圓輪所得到的表面輪廓點坐標值為Pi(xi,yi)，擬合計算得到的最小二乘圓心為O3，O3與O2存在角度差ε=0.010 2°。

由回轉(zhuǎn)中心O1到圓心點O3的延長線與輪廓線的交點T即為偏心圓輪“桃尖”。

(2) 坐標變換與升程計算

(15)

(16)

滾子測頭和刀口測頭坐標反推升程計算模型與此類似。

5.3 實驗結(jié)果分析

利用表面輪廓點坐標擬合得到偏心圓輪E1直徑φ=59.987 4 mm，圓度誤差為0.87 μm，偏心距為12.498 8 mm。將上述結(jié)果代入3種測頭理論升程方程，可得到如圖12所示的理論升程曲線。

圖12 3種測頭理論升程Fig.12 Theoretical lift of three kinds of probes

滾子測頭直徑3 mm，與測量實驗采用的球測頭直徑一致。從圖12可以看出，滾子測頭理論升程曲線與刀口測頭理論升程曲線基本重合。

將3種測頭坐標反推升程與理論升程的差值曲線如圖13所示。

圖13 3種測頭實際升程與理論升程差值Fig.13 Difference between actual lift and theoretical lift of three kinds of probes

平面測頭對應的升程差值為0.87 μm，滾子測頭對應的升程差值為0.90 μm，刀口測頭對應的升程差值為0.90 μm?？梢姡捎谄膱A輪輪廓誤差的影響，基于坐標反推的實際升程與理論升程并不相同，前者更能準確反映實際的從動件運動規(guī)律。由于滾子測頭直徑較小，其對應升程差值與刀口測頭對應升程差值基本相同。

6 結(jié) 論

本文提出了利用偏心輪軸表面輪廓點坐標反推平面測頭、滾子測頭和刀口測頭的升程算法，利用最小二乘圓擬合圓心和回轉(zhuǎn)中心點確定了偏心圓輪“桃尖”。在一臺極坐標測量儀器上開展了偏心輪軸測量實驗，根據(jù)測量數(shù)據(jù)分別計算了3種測頭對應的理論升程和坐標反推升程的差值，分別為0.87 μm，0.90 μm及0.90 μm；實踐證明了基于坐標反推升程的方法的有效性，能夠更準確地反映從動件實際運動規(guī)律。