精細(xì)龍格庫(kù)塔法計(jì)算變壓器繞組的過(guò)電壓分布

張 萍， 田豐源， 趙新賀， 王秋富

(1. 省部共建電工裝備可靠性與智能化國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（河北工業(yè)大學(xué)），天津 300130;2. 河北工業(yè)大學(xué)人工智能與數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院，天津 300130)

0 引 言

氣體絕緣變電站(gas insulated substation)中隔離開(kāi)關(guān)分合閘操作時(shí)會(huì)產(chǎn)生上升時(shí)間，為納秒級(jí)，暫態(tài)頻率高達(dá)兆赫茲的特快速暫態(tài)過(guò)電壓(very fast transient over-voltage，VFTO)[1-2]。當(dāng)VFTO侵入大型電力變壓器等電氣設(shè)備時(shí)，極易破壞電氣設(shè)備的絕緣，給電力系統(tǒng)造成嚴(yán)重的經(jīng)濟(jì)損失。受現(xiàn)場(chǎng)環(huán)境的制約，目前直接開(kāi)展VFTO下大型電力變壓器繞組的絕緣實(shí)驗(yàn)條件要求很高，所以仿真分析VFTO作用下的變壓器繞組過(guò)電壓分布具有重要的理論意義和工程價(jià)值[3-4]。

目前針對(duì)變壓器繞組建模分為3種：集中參數(shù)模型、集中-分布參數(shù)混合模型、分布參數(shù)模型。集中參數(shù)模型是把變壓器線(xiàn)圈劃分為若干單元，把每單元用集中電感、電容、電阻來(lái)表示，它的適用頻率范圍比較窄，適應(yīng)于低頻和中頻情況下的建模[5]。集中-分布參數(shù)混合模型是把變壓器繞組分為兩部分，對(duì)其重點(diǎn)研究的部分采用分布參數(shù)模型進(jìn)行建模，對(duì)其他線(xiàn)餅采用集中參數(shù)模型進(jìn)行建模，這樣雖然避免了大量的計(jì)算，但變壓器繞組中的電磁場(chǎng)是緊密耦合的，此方法破壞了電磁場(chǎng)的連續(xù)性，結(jié)果容易產(chǎn)生偏差[6]。分布參數(shù)模型是以變壓器線(xiàn)匝為單元，每一匝看成一根傳輸線(xiàn)，根據(jù)線(xiàn)匝的電氣連接順序，求得變壓器繞組上電壓與時(shí)間和空間的關(guān)系。當(dāng)需要考慮參數(shù)的頻變效應(yīng)時(shí)，可以在頻域中計(jì)算電壓的響應(yīng)。這種模型更加準(zhǔn)確，并且適應(yīng)于高頻情況，更能反映出VFTO作用下變壓器繞組內(nèi)過(guò)電壓分布的規(guī)律[7]。

文獻(xiàn)[8]對(duì)變壓器的多導(dǎo)體傳輸線(xiàn)方程離散成微分方程組以后，使用精細(xì)積分法求解，但這種方法涉及到大量的矩陣運(yùn)算，會(huì)造成誤差過(guò)大、計(jì)算效率過(guò)低。針對(duì)此不足，在前人基于分布參數(shù)模型對(duì)變壓器繞組建模的基礎(chǔ)上，提出了精細(xì)龍格庫(kù)塔法計(jì)算電力變壓器繞組過(guò)電壓分布，采用矢量匹配法和遞歸卷積處理頻變參數(shù)的方法。該方法在非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)與結(jié)構(gòu)力學(xué)方面得到了廣泛應(yīng)用，該文將其應(yīng)用到變壓器繞組過(guò)電壓求解領(lǐng)域。通過(guò)仿真結(jié)果和實(shí)際測(cè)量結(jié)果相比較，精細(xì)龍格庫(kù)塔法相比較于精細(xì)積分法，誤差更小，計(jì)算效率更高。

1 精細(xì)龍格庫(kù)塔法

1.1 多導(dǎo)體傳輸線(xiàn)模型

對(duì)連續(xù)式變壓器而言，將變壓器繞組在每匝換位處打開(kāi)，不考慮傳輸線(xiàn)的頻變效應(yīng)，變壓器繞組就等效為線(xiàn)匝長(zhǎng)度均為l且每根互相耦合首尾相連的多導(dǎo)體傳輸線(xiàn)模型，如圖1所示[9]。

圖1 多導(dǎo)體傳輸線(xiàn)模型

模型的時(shí)域形式為：

式中：u和i——距離始端x處的電壓、電流向量；

R、L、G、C——單位長(zhǎng)度傳輸線(xiàn)的電阻、電感、電導(dǎo)、電容矩陣。

1.2 多導(dǎo)體傳輸線(xiàn)模型的空間離散

變壓器繞組的多導(dǎo)體傳輸線(xiàn)模型的電報(bào)方程是偏微分方程組，采用歐拉公式對(duì)傳輸線(xiàn)的電報(bào)方程進(jìn)行空間離散。

為了介紹方便，以變壓器繞組的單導(dǎo)體為例進(jìn)行說(shuō)明。圖2中傳輸線(xiàn)長(zhǎng)度為l，把它按照空間距離分為M段，那么每一段長(zhǎng)為Δx=l/M。

圖2 傳輸線(xiàn)的分段

假設(shè)傳輸線(xiàn)的首端接電阻為RS，末端接電阻為RL，邊界條件為：

假如傳輸線(xiàn)的分段數(shù)為M，把分段處的電壓和電流看作自變量，此時(shí)有2M+2個(gè)自變量，結(jié)合邊界條件式(2)整理得要求解的變量為2M個(gè)。

運(yùn)用歐拉公式對(duì)式(1)進(jìn)行空間離散，其中式(1)的第二式在(k+1)h處離散，第一式在kh處離散得：

其中h為空間的步長(zhǎng)，k=0,1,2, ···,M。

式(3)變換得：

其中u1,u2,···,uM是狀態(tài)變量。

式(4)變換得：

其中i0,i1,i2,···,iM-1是狀態(tài)變量。

經(jīng)歐拉公式離散后的傳輸線(xiàn)方程包含了2M個(gè)獨(dú)立的狀態(tài)變量，根據(jù)式(2)將u0用i0線(xiàn)性表示，iM用uM線(xiàn)性表示，得線(xiàn)性常態(tài)狀態(tài)方程組：

其中F為常數(shù)矩陣。

對(duì)于多導(dǎo)體傳輸線(xiàn)模型，就是將具有N匝的變壓器線(xiàn)圈用N根頻變的耦合傳輸線(xiàn)進(jìn)行建模，每根傳輸線(xiàn)分為M段，可得公式(7)，相應(yīng)的參數(shù)將變?yōu)榫仃嚭拖蛄俊?/p>

1.3 精細(xì)積分法

精細(xì)積分法是常用的求解微分方程方法，該方法適用于齊次和非齊次常微分方程的求解[10]。該文將使用精細(xì)積分法求解式(7)，得到變壓器繞組在VFTO作用下的過(guò)電壓分布。

由常微分方程組的理論可以知道，式(7)的解可以寫(xiě)為：

時(shí)間步長(zhǎng)設(shè)為δ，一系列等長(zhǎng)δ的時(shí)刻為：tj=jδ,j=0,1,2,···，當(dāng)t=jδ，有：

經(jīng)過(guò)推導(dǎo)，在tj≤t≤tj+1的任意時(shí)刻，有：

當(dāng)t=tj+1=(j+1)δ時(shí)，有：

式(13)為精細(xì)積分法求解VFTO作用下的過(guò)電壓公式，但單純采用精細(xì)積分法會(huì)涉及到大量的矩陣運(yùn)算，造成計(jì)算量過(guò)大，而且還帶來(lái)較大的計(jì)算誤差。所以在求得式(13)以后，使用龍格-庫(kù)塔法求解式(13)等號(hào)右邊的積分項(xiàng)，這樣就避免了大量的矩陣運(yùn)算，使誤差減少，計(jì)算速率更高。

1.4 龍格-庫(kù)塔法

龍格-庫(kù)塔法是一種求解常微分方程的高精度算法，其中4階龍格-庫(kù)塔迭代法因精度高、穩(wěn)定區(qū)域廣、編程簡(jiǎn)單被經(jīng)常采用[11]。本文采用4階龍格-庫(kù)塔迭代法求解式(13)等號(hào)右邊的積分項(xiàng)，得到VFTO作用下大型電力變壓器繞組過(guò)電壓與時(shí)間和空間的關(guān)系表達(dá)式，如下式所示：

式中：k1,k2,k3,k4——4階龍格-庫(kù)塔方法的系數(shù)；

δ——時(shí)間步長(zhǎng)。

2 頻變參數(shù)的處理

變壓器繞組的分布參數(shù)在頻率較高的情況下，會(huì)出現(xiàn)明顯的頻變，該文用矢量匹配法和遞歸卷積處理頻變參數(shù)[12]。以集膚效應(yīng)為例說(shuō)明。

高頻集膚效應(yīng)時(shí)，單位長(zhǎng)度電阻為：

式(1)的第一式可寫(xiě)為：

式中：ki——第i個(gè)極點(diǎn)；

pi——第i個(gè)留數(shù)。

代入式(16)得：

式中：n和m——和L(s)匹配的階數(shù)；

k——極點(diǎn)；

p——留數(shù)。

將式(17)進(jìn)行拉氏反變換得：

其中λ1和λ2為卷積項(xiàng)：

采用同樣的方法，對(duì)式(1)的第二式進(jìn)行相應(yīng)處理。

對(duì)任意空間點(diǎn)x， 式(19)做以下變換：

設(shè)時(shí)間步長(zhǎng)為τ， 在時(shí)刻n有以下遞推關(guān)系：

其中：

式(21)等號(hào)右邊可以進(jìn)行同類(lèi)項(xiàng)合并，整理可得標(biāo)準(zhǔn)的狀態(tài)方程。

3 方法驗(yàn)證和算例分析

首先對(duì)文獻(xiàn)[13]中的變壓器模型進(jìn)行仿真，與實(shí)測(cè)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了所提方法的準(zhǔn)確性，并仿真了本課題組的一臺(tái)由18餅，每餅10匝構(gòu)成的連續(xù)式變壓器模型。

3.1 方法驗(yàn)證

文獻(xiàn)[13]中變壓器的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

表1 變壓器結(jié)構(gòu)的基本參數(shù)

使用該文的方法，可得：

式（22）可化簡(jiǎn)為：

其中=R1+L1。

頻率范圍選取的是1～107Hz，采用對(duì)數(shù)平均分布104個(gè)頻點(diǎn)，矢量匹配的階數(shù)為10階，遞推7次，匹配前后均方差為 9 ×10-3， 圖3為矢量匹配的幅頻特性曲線(xiàn)圖。

圖3 矢量匹配的幅頻特性曲線(xiàn)

圖4為文獻(xiàn)[13]中所施加在變壓器繞組上的電壓源，圖5～圖7為精細(xì)龍格庫(kù)塔法與精細(xì)積分法仿真的第100、200、400匝末端過(guò)電壓。

圖4 電壓源

圖5 第100匝末端過(guò)電壓

圖7 第400匝末端過(guò)電壓

比較使用本文方法仿真的第100匝、200匝、400匝的結(jié)果和文獻(xiàn)[13]的實(shí)測(cè)結(jié)果，發(fā)現(xiàn)實(shí)測(cè)結(jié)果和仿真結(jié)果基本相一致，證明了本文算法的準(zhǔn)確性。

圖6 第200匝末端過(guò)電壓

表2為實(shí)測(cè)與仿真輸出電壓峰值對(duì)比，由精細(xì)龍格庫(kù)塔法計(jì)算出來(lái)的第100匝與實(shí)測(cè)值的誤差為1.2%，第200匝的誤差為1.3%，第400匝的誤差為2.1%，而使用精細(xì)積分法計(jì)算出來(lái)的第100匝、200匝、400匝的誤差分別為3.8%、4.8%、3.7%，通過(guò)對(duì)比分析可知，使用精細(xì)龍格庫(kù)塔法的誤差均小于精細(xì)積分法的誤差。所以精細(xì)龍格庫(kù)塔法在計(jì)算變壓器繞組過(guò)電壓分布比精細(xì)積分法更加有優(yōu)越性。表3為在同等條件（CPU2.2 GHz，4 GB內(nèi)存）下兩種方法耗時(shí)比較，使用精細(xì)龍格庫(kù)塔法計(jì)算時(shí)間為325 s，精細(xì)積分法計(jì)算時(shí)間為653 s，經(jīng)計(jì)算，精細(xì)龍格庫(kù)塔法比精細(xì)積分法減少50.2%的計(jì)算時(shí)間。

表2 測(cè)量和計(jì)算峰值對(duì)比

表3 方法耗時(shí)比較

3.2 算例分析

采用精細(xì)龍格庫(kù)塔法對(duì)本課題組的一臺(tái)變壓器模型進(jìn)行仿真分析，變壓器模型如圖8所示。此變壓器線(xiàn)圈為連續(xù)式繞組，共18餅，每餅有10匝，變壓器繞組的俯視圖如圖9所示，基本參數(shù)如表4所示。

圖8 變壓器繞組模型

圖9 變壓器繞組俯視圖

表4 變壓器模型的基本參數(shù)

采用有限元方法求得該變壓器模型的匝對(duì)鐵芯的電容Cg=35 pF、匝間電容Ct=144 pF、餅間電容Cs=15 pF[14]。變壓器繞組過(guò)電壓仿真結(jié)果如圖10所示。

圖10中(a)為對(duì)變壓器繞組施加的上升沿20 ns、幅值為500 V的VFTO電壓源，圖(b)～圖(f)為變壓器繞組第10、20、35、50、70匝末端的過(guò)電壓分布圖。

由圖10可知，最大的匝間過(guò)電壓出現(xiàn)在靠近變壓器繞組首端的線(xiàn)圈，例如第10匝線(xiàn)圈約為電壓源最大幅值的60.2%。假如大型電力變壓器長(zhǎng)時(shí)間工作在電壓幅值過(guò)高的情況下，對(duì)變壓器的正常運(yùn)轉(zhuǎn)是極其不利的，很容易造成線(xiàn)圈的擊穿，發(fā)生嚴(yán)重的事故。在生產(chǎn)設(shè)計(jì)變壓器結(jié)構(gòu)時(shí)，應(yīng)著重考慮變壓器首端的絕緣措施，防止事故的發(fā)生。且由圖10可知，變壓器繞組過(guò)電壓的上升陡度在靠近繞組首端的線(xiàn)圈過(guò)大，之后隨著匝數(shù)的增加，逐漸變緩。例如第10匝過(guò)電壓峰值時(shí)間為44.12 ns，第35匝的峰值時(shí)間為84.72 ns。如此陡的過(guò)電壓長(zhǎng)時(shí)間侵入變壓器繞組中，會(huì)造成繞組的絕緣老化，且其中含有的高頻分量可能會(huì)造成諧振現(xiàn)象的發(fā)生。

圖10 變壓器繞組過(guò)電壓分布

4 結(jié)束語(yǔ)

本文建立了大型電力變壓器繞組的多導(dǎo)體傳輸線(xiàn)模型，提出了基于精細(xì)龍格庫(kù)塔法計(jì)算變壓器繞組過(guò)電壓分布的方法，并采用矢量匹配法和遞歸卷積處理頻變參數(shù)。通過(guò)仿真結(jié)果和實(shí)測(cè)結(jié)果相比較，驗(yàn)證了本文方法的準(zhǔn)確性，所得結(jié)論如下：

1）以線(xiàn)匝為單元的多導(dǎo)體傳輸線(xiàn)模型，采用精細(xì)龍格庫(kù)塔法計(jì)算變壓器繞組過(guò)電壓分布的仿真結(jié)果與實(shí)測(cè)結(jié)果相符合，證明了此方法的準(zhǔn)確性與可行性。

2）精細(xì)龍格庫(kù)塔法相比較于精細(xì)積分法，解決了其大量矩陣運(yùn)算問(wèn)題，計(jì)算誤差低至1.2%，計(jì)算時(shí)間減少了50.2%。

3）最大的匝間過(guò)電壓出現(xiàn)在靠近變壓器繞組首端的線(xiàn)圈，假如變壓器長(zhǎng)時(shí)間工作在這種情況下，對(duì)變壓器的運(yùn)轉(zhuǎn)極其不利，應(yīng)著重考慮變壓器首端的絕緣措施，防止事故的發(fā)生。

4）過(guò)電壓的上升陡度越靠近繞組首端，其陡度越大，之后隨著匝數(shù)的增加，逐漸變緩。