一則“加權(quán)平均數(shù)”教學(xué)案例的評析

陳麗敏，王 瑾，盧宗凱

（1. 沈陽師范大學(xué)；2. 遼寧省實(shí)驗(yàn)學(xué)校）

一、問題提出

加權(quán)平均數(shù)反映了一組數(shù)據(jù)中各個數(shù)據(jù)的重要程度對整體集中趨勢的影響. 加權(quán)平均數(shù)的大小不僅與一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)有關(guān)，還受到數(shù)據(jù)的“權(quán)”的大小影響.“權(quán)”有兩種表現(xiàn)形式：一種是絕對數(shù)（頻數(shù)）；一種是相對數(shù)（頻率）. 學(xué)生在學(xué)習(xí)加權(quán)平均數(shù)的時候往往會存在諸多認(rèn)知困難.

例如，在教學(xué)中引出如下教學(xué)情境. 一家公司打算招聘一名英文翻譯，對甲、乙兩名應(yīng)試者進(jìn)行了聽、說、讀、寫方面的英語水平測試，他們的各項(xiàng)成績（百分制）如表1所示.

表1

（1）如果公司想招聘一名綜合能力較強(qiáng)的翻譯，計(jì)算兩名應(yīng)試者的平均成績（百分制），從他們的平均成績來看，應(yīng)該錄取誰？

（2）如果這家公司想招聘一名筆譯能力較強(qiáng)的翻譯，聽、說、讀、寫成績按照2∶1∶3∶4確定，計(jì)算兩名應(yīng)試者的平均成績（百分制），從他們的平均成績來看，應(yīng)該錄取誰？

一些學(xué)生列出了錯誤的加權(quán)平均數(shù)的算式. 例如，甲的成績：（85×2+78×1+85×3+73×4）÷4；乙的成績：（73×2+80×1+82×3+83×4）÷4.

同時，學(xué)生的課堂回答情況也表明，雖然有些學(xué)生能夠正確列式，計(jì)算出加權(quán)平均數(shù)，但也只是生搬硬套公式，對“權(quán)”的含義理解不透徹，不清楚“權(quán)”的意義. 產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因，一方面，來源于學(xué)生受到算術(shù)平均數(shù)的影響；另一方面，來源于該問題情境脫離了學(xué)生的實(shí)際生活，教師沒有深入剖析該問題情境的教學(xué)意圖，沒有解釋引入“權(quán)”的必要性和“權(quán)”的意義. 那么，采用哪種表現(xiàn)形式引入“權(quán)”更合適？如何引導(dǎo)學(xué)生深入理解“權(quán)”的含義？如何能夠水到渠成地引入加權(quán)平均數(shù)的公式？下面通過一節(jié)“加權(quán)平均數(shù)”教學(xué)課例進(jìn)行深入剖析.

二、“加權(quán)平均數(shù)”的教學(xué)課例評析

1.“權(quán)”的引入

問題情境1：表2是3名學(xué)生的平時、期中、期末三項(xiàng)數(shù)學(xué)成績. 如果用三項(xiàng)成績的算術(shù)平均數(shù)來計(jì)算學(xué)生學(xué)期總評成績，你認(rèn)為合理嗎？說說你的想法.不合理的話，按你的想法計(jì)算出每名學(xué)生的平均成績，并排出名次.

表2

學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上，小組討論匯報，一致認(rèn)為用三項(xiàng)成績的算術(shù)平均數(shù)來計(jì)算本學(xué)期數(shù)學(xué)總評成績是不合理的，因?yàn)槿?xiàng)成績的重要程度不同. 教師順勢提出讓學(xué)生尋找方法來區(qū)分三項(xiàng)成績的不同重要程度. 學(xué)生并沒有提出用教材中的比例來刻畫三項(xiàng)成績，而是提出用不同的百分?jǐn)?shù)（如平時為20%，期中為30%，期末為50%）來刻畫三項(xiàng)成績的重要程度，教師采納了學(xué)生的建議，并讓學(xué)生計(jì)算總評成績. 學(xué)生計(jì)算之后匯報結(jié)果，學(xué)生C 成為第一名. 這個時候教師通過學(xué)生C 從最后一名躍升為第一名的原因進(jìn)行深入挖掘，引導(dǎo)學(xué)生體會“權(quán)”的意義. 最后，教師明確，用三個百分?jǐn)?shù)來表示三項(xiàng)成績的不同重要程度，這三個百分?jǐn)?shù)就稱為“權(quán)”.

【評析】對于“權(quán)”的兩種表現(xiàn)形式——絕對數(shù)（頻數(shù)）和相對數(shù)（頻率），教師根據(jù)學(xué)生已有的知識和生活經(jīng)驗(yàn)讓其感受到算術(shù)平均數(shù)的局限性，提出“權(quán)”的表現(xiàn)形式，并通過計(jì)算結(jié)果的變化來體會“權(quán)”的意義. 可見，這種處理方式符合建構(gòu)主義理論，教學(xué)不再是傳遞客觀而確定的知識，而是要為學(xué)生創(chuàng)設(shè)理想的學(xué)習(xí)情境，喚醒學(xué)生原有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，在學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上開展教學(xué).

2.“權(quán)”的形成

教學(xué)過程描述：在學(xué)生知道百分?jǐn)?shù)可以表示三項(xiàng)成績的不同重要程度之后，教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考，三項(xiàng)成績的不同重要程度的表示除了可以使用百分?jǐn)?shù)，還可以使用哪些數(shù). 學(xué)生提出了分?jǐn)?shù)，教師讓學(xué)生簡要描述如何計(jì)算總評成績，卻沒有讓學(xué)生計(jì)算得數(shù)，以便節(jié)約時間. 之后，教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考，除了分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)，還有哪種方式能用來表示數(shù)據(jù)的不同的重要程度. 這時，學(xué)生提出還可以用比例來表示. 教師讓學(xué)生給出具體的比例系數(shù)，根據(jù)學(xué)生給出的比例系數(shù)，教師強(qiáng)調(diào)比例的三個數(shù)字之和不一定必須等于10，而通常教材設(shè)置比例系數(shù)之和為10是為了方便學(xué)生計(jì)算. 同時，比例的三個數(shù)字之和一般大于3，如果和為3的話，三項(xiàng)成績的重要程度就相同了，也就是算術(shù)平均數(shù). 之后教師讓學(xué)生根據(jù)三項(xiàng)成績按1∶3∶4的比例來計(jì)算問題情境1中每名學(xué)生的學(xué)期總評.

學(xué)生列式計(jì)算如下.

學(xué)生A的學(xué)期總評：

根據(jù)學(xué)生列式，教師總結(jié)得出1∶3∶4 中的1，3，4 同樣能表示三項(xiàng)成績的不同重要程度，也稱為“權(quán)”，并引導(dǎo)學(xué)生歸納出加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算公式，強(qiáng)調(diào)百分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)形式的“權(quán)”之和為1，探究加權(quán)平均數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的區(qū)別和聯(lián)系.

【評析】由于前面增加了用百分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)表示“權(quán)”的鋪墊，因此，學(xué)生在“權(quán)”為比例形式的這個問題情境中會比較容易避免上文提到的認(rèn)知困難，得出正確的計(jì)算方法. 這里，教師提出的比例1∶3∶4的設(shè)定并不是常見的比之和為10，教師借此機(jī)會強(qiáng)調(diào)比例形式的“權(quán)”之和不一定必須為10. 根據(jù)“權(quán)”的三種不同表現(xiàn)形式，教師引導(dǎo)學(xué)生抽象、概括“權(quán)”的含義，并根據(jù)算式歸納出加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算公式. 給出加權(quán)平均數(shù)的公式之后，教師強(qiáng)調(diào)了百分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)形式的“權(quán)”之和為1. 可見，該教師在教學(xué)過程中，激發(fā)了學(xué)生抽象、概括、分析、綜合、鑒別、批判等高級思維過程，并在學(xué)生進(jìn)行意義建構(gòu)的過程中，給他們提供必要的幫助和支持，促使他們更好地理解“權(quán)”的意義.

3.“權(quán)”的深化

問題情境2：學(xué)校想了解三年五班學(xué)生的期末數(shù)學(xué)成績，具體成績?yōu)椋?5 分4 人，90 分6人，87分10人，85分10人，80分5人，76分8人. 求該班學(xué)生在此次考試中的平均數(shù)學(xué)成績.

教師讓學(xué)生先自行計(jì)算平均成績，學(xué)生列式如下.

平均成績：

教師讓學(xué)生獨(dú)立列出算式，并思考、分析這個算式和上面的加權(quán)平均數(shù)公式的聯(lián)系. 學(xué)生發(fā)現(xiàn)平均成績的計(jì)算公式和加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算公式完全相同. 之后，教師引導(dǎo)學(xué)生找到公式中的數(shù)據(jù)和頻次分別是哪些數(shù)，發(fā)現(xiàn)頻次大的數(shù)據(jù)對算術(shù)平均數(shù)的影響大一些，頻次小的數(shù)據(jù)對算術(shù)平均數(shù)的影響就小一些. 也就是說，每個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的不同次數(shù)表明這個數(shù)據(jù)對平均數(shù)的影響的重要程度不同，和情境1 中各種形式的“權(quán)”的含義一樣. 因此，數(shù)據(jù)95，90，87，85，80，76重復(fù)出現(xiàn)的次數(shù)4，6，10，10，5，8也是權(quán).

【評析】由于前面問題情境中用百分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)以及比例形式的“權(quán)”來描述不同數(shù)據(jù)的重要性，比較明顯. 但是該情境中的“權(quán)”是由數(shù)據(jù)本身出現(xiàn)的頻次多少引入，其表示數(shù)據(jù)的重要性并不是特別明顯. 因此，教師通過講解揭示頻次形式的“權(quán)”也能表示不同數(shù)據(jù)的重要性，與前面的各種形式的“權(quán)”的含義建立聯(lián)系，拓展“權(quán)”的內(nèi)涵.

4.“加權(quán)平均數(shù)”的應(yīng)用

在學(xué)生初步理解“權(quán)”的定義與意義的基礎(chǔ)上，教師展示問題情境3：某公司欲招聘職員一名，對應(yīng)聘者進(jìn)行素質(zhì)測試，按創(chuàng)新設(shè)計(jì)、工作經(jīng)驗(yàn)、語言形象給應(yīng)聘者A和應(yīng)聘者B兩人打分，如表3所示. 如果兩人中只錄取一人，試設(shè)計(jì)一個錄取方案，并按照你的方案說明勝出者適用于什么職位？

表3

教師出示問題情境之后，先讓學(xué)生獨(dú)立思考，然后小組交流. 學(xué)生集思廣益，認(rèn)為首先需要了解公司的招聘人員需要完成的任務(wù)，根據(jù)不同的任務(wù)，對“創(chuàng)新設(shè)計(jì)”“工作經(jīng)驗(yàn)”“語言形象”分別賦予大小不同的“權(quán)”，“權(quán)”的表現(xiàn)形式可以多樣，之后核算分?jǐn)?shù). 例如，有的學(xué)生說：如果招聘“公關(guān)代表”，那么“工作經(jīng)驗(yàn)”和“語言形象”賦的“權(quán)”要大些，“創(chuàng)新設(shè)計(jì)”的“權(quán)”要小一些，如將語言形象∶工作經(jīng)驗(yàn)∶創(chuàng)新設(shè)計(jì)的比設(shè)為5∶3∶1，比較兩者的加權(quán)平均數(shù)之后，錄取應(yīng)聘者A；有的學(xué)生說：如果招聘一名設(shè)計(jì)總監(jiān)，那么“創(chuàng)新設(shè)計(jì)”的“權(quán)”要比較大，“工作經(jīng)驗(yàn)”其次，“語言形象”最小，具體的賦值可為“創(chuàng)新設(shè)計(jì)”占70%，“工作經(jīng)驗(yàn)”占20%，“語言形象”占10%，比較兩者的加權(quán)平均數(shù)之后，錄取應(yīng)聘者B.

【評析】在學(xué)生初步掌握“權(quán)”的概念和加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算公式后，教師在此處設(shè)計(jì)一道招聘的開放性習(xí)題，通過讓學(xué)生根據(jù)不同含義的數(shù)據(jù)賦予不同大小和表現(xiàn)形式的“權(quán)”的活動，檢驗(yàn)學(xué)生對于“權(quán)”的內(nèi)涵理解和加權(quán)平均數(shù)計(jì)算公式的應(yīng)用情況. 在課堂上，師生互動熱烈，學(xué)生能夠積極地參與到交流分享的活動中，描述自己設(shè)計(jì)的錄取方案，闡述自己的理由，教學(xué)效果良好.

三、啟示

從加權(quán)平均數(shù)的教學(xué)課例中，我們可以得到如下教學(xué)啟示.

第一，統(tǒng)計(jì)概念的教學(xué)要基于學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)知識經(jīng)驗(yàn)的“生長”. 建構(gòu)主義教學(xué)觀強(qiáng)調(diào)，教學(xué)不是傳遞客觀而確定的現(xiàn)成知識，而是要基于學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)知識經(jīng)驗(yàn)的“生長”，促進(jìn)學(xué)生的知識建構(gòu)活動，以促成知識經(jīng)驗(yàn)的重新組織、轉(zhuǎn)換和改造. 因此，統(tǒng)計(jì)概念的教學(xué)應(yīng)從學(xué)生熟悉的情境出發(fā)，基于學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)引入，并明確新知識引入的必要性. 例如，在本節(jié)加權(quán)平均數(shù)的教學(xué)中，教師從學(xué)生熟悉的計(jì)算學(xué)期總評成績的情境入手，讓學(xué)生感受到算術(shù)平均數(shù)的局限性，通過給不同的數(shù)據(jù)賦予不同的百分?jǐn)?shù)，在算術(shù)平均數(shù)的基礎(chǔ)上建構(gòu)了加權(quán)平均數(shù).

第二，統(tǒng)計(jì)概念的形成要通過豐富實(shí)例抽象出概念的本質(zhì)屬性. 在統(tǒng)計(jì)概念的教學(xué)中，教師要呈現(xiàn)給學(xué)生豐富的案例，以供學(xué)生開展抽象、概括的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動. 如果實(shí)例過少，學(xué)生對該概念的感性認(rèn)識不充分，就難以對這個概念所包含的各種要素進(jìn)行全面鑒別，對所要學(xué)習(xí)的概念的經(jīng)驗(yàn)也難以建立起來聯(lián)系，進(jìn)而影響學(xué)生深入地理解概念. 在本節(jié)加權(quán)平均數(shù)概念的教學(xué)中，教師通過呈現(xiàn)“權(quán)”的不同表現(xiàn)形式，逐步深化學(xué)生對于“權(quán)”的意義和加權(quán)平均數(shù)計(jì)算公式的理解，而不是通過一種表現(xiàn)形式就迫不及待地給出加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算公式，這種教學(xué)處理既符合數(shù)學(xué)概念教學(xué)的基本要求，也有利于學(xué)生抽象素養(yǎng)的形成.