螺旋面工件各離散點處一階導(dǎo)數(shù)的計算方法研究

丁康康, 方素平, 周麗華

(合肥工業(yè)大學(xué) 機械工程學(xué)院,安徽 合肥 230009)

0 引 言

設(shè)計、計算、加工離散點截形螺旋面工件成形刀具是一項非常復(fù)雜的工程。根據(jù)已知條件的不同,具體需要經(jīng)過各離散點處一階導(dǎo)數(shù)的計算、接觸條件方程式的求解、工件端面廓形坐標系的轉(zhuǎn)換、刀具截形參數(shù)的求取等步驟。其中,求取各離散點處的一階導(dǎo)數(shù)作為整個計算過程的基礎(chǔ)步驟,其計算精度的高低將直接影響后續(xù)步驟的計算精度。文獻[1-3]研究了利用三次樣條函數(shù)法以及三次參數(shù)樣條函數(shù)法的計算方法。三次樣條函數(shù)能夠保證各型值點處有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)及二階導(dǎo)數(shù),使得在不用對離散點進行擬合的情況下便可以完成一階導(dǎo)數(shù)的計算,簡化了計算步驟,提高了計算效率;但必須滿足“小撓度”要求,否則求出的一階導(dǎo)數(shù)值誤差較大。而利用累加弦長的參數(shù)樣條法,即在構(gòu)造普通三次樣條函數(shù)的基礎(chǔ)上,分別計算相鄰2個型值點連線的長度,將普通三次樣條函數(shù)轉(zhuǎn)化為各型值點橫、縱坐標關(guān)于累加弦長的三次樣條函數(shù);但因未考慮數(shù)據(jù)點相鄰弦線的折拐情況,導(dǎo)致在截形曲率變化較大處計算誤差較大。文獻[4]研究了基于標架與直角坐標系相結(jié)合的方法來確定螺旋面方程,進而求其一階導(dǎo)數(shù)，利用標架確定螺旋面方程,再將其轉(zhuǎn)化成直角坐標方程;但該方法計算過程復(fù)雜,并且通用性不高,需先確定螺旋面方程。

針對上述所提出的計算方法均未解決離散點截形“大撓度”條件[5]下求其一階導(dǎo)數(shù)時計算精度不高的問題，本文提出一種新的計算方法,在構(gòu)造三次樣條函數(shù)的基礎(chǔ)上,以累加弧長為參變數(shù),利用累加弧長的參數(shù)樣條法來計算各離散點處的一階導(dǎo)數(shù),以達到更高的設(shè)計精度。

1 累加弧長的參數(shù)樣條法

1.1 累加弧長的定義

圖1 工件端面截形

(1)

1.2 各分段圓弧弧長的求取方法

要想求得各分段圓弧的長度,需先確定各分段圓弧所在圓的圓心位置[6]。由圓的方程(x-x0)2+(y-y0)2=R2可知,要確定一個圓必須有3個獨立的條件。例如，過不在同一直線上的3個點可以作1個圓，已知2個點和其中1個點的切線斜率也可以確定1個圓等。因此可對上述問題做如下考慮。

(1) 已知圓上兩點A0(a0,b0)、A1(a1,b1)及其中一點處的斜率,求圓P0。

(2) 已知圓P0和圓外一點A2(a2,b2),求圓P1,使它通過定點A2,并且與圓P0相切于定點A1。

(3) 已知圓Pn-1和圓Pn-3,求圓Pn-2,使它和圓Pn-1相切于點An-1,并且與圓Pn-3相切于點An-2。

(1) 對第一類問題的求解分析如圖2a所示。由點A1(a1,b1)、點A0(a0,b0)及其斜率k0所確定的圓,其圓心P0一定既在直線P0A0上,又在直線A0A1的垂直平分線上。令A(yù)0A1的中點為B(u,v),則只需求直線P0A0與直線P0B的交點即可確定點P0(xP0,yP0)。

由點A0處的斜率為k0可得直線P0A0的斜率為-1/k0,則直線P0A0可表示為:

y=b0-(x-a0)/k0

(2)

直線P0B的函數(shù)表達式為:

y=v-(x-u)/k1

(3)

其中,k1=(b1-b0)/(a1-a0)。

聯(lián)立(2)式和(3)式便可求得圓心P0的坐標為:

圓心坐標一旦求出,則由其所確定的圓的半徑為:

再根據(jù)ΔA0P0B的三角函數(shù)關(guān)系,可求得:

l1=2R0α0，

ln=2Rn-1αn-1。

(2) 第二類問題的求解分析如圖2b所示。設(shè)圓P0的圓心坐標為(xP0,yP0),半徑為R0;設(shè)所求圓P1的圓心坐標為(xP1,yP1),半徑為R1。P1既要在A1A2的垂直平分線上,又要在A1P0的連線上,因此只要求出這2條直線的交點,便可確定其圓心位置。

直線A1P0的方程為：

y=b1+k0(x-a1)

(4)

其中,k0=(b1-yP0)/(a1-xP0)。

A1A2垂直平分線的方程為：

y=v+k1(x-u)

(5)

其中,k1=(a2-b1)/(b1-b2)。

聯(lián)立(4)式和(5)式可以解得：

l2=2R1α1。

圖2 各分段圓弧弧長求解示意圖

直線Pn-2An-2的方程為：

y-bn-2=kn-2(x-an-2)

(6)

其中，kn-2=(bn-2-yPn-3)/(an-2-xPn-3)。

直線Pn-2An-1的方程為：

y-bn-1=kn-1(x-an-1)

(7)

其中，kn-1=(bn-1-yPn-1)/(an-1-xPn-1)。

聯(lián)立(6)式和(7)式可得：

ln-2=2Rn-2αn-2，

至此,上述求各分段圓弧弧長的問題得到解決，可以根據(jù)不同約束條件選取不同的計算方法。各分段圓弧弧長求出以后,便可根據(jù)(1)式計算累加弧長。

1.3 各離散點處一階導(dǎo)數(shù)的求取

在已知工件輪廓首尾端點處一階導(dǎo)數(shù)的條件下:設(shè)首端點處一階導(dǎo)數(shù)為k0。尾端點處一階導(dǎo)數(shù)為kn。在相應(yīng)的累加弧長求出以后,可以分別構(gòu)造橫坐標x關(guān)于參變數(shù)s的三次樣條函數(shù)x(si)以及縱坐標y關(guān)于參變數(shù)s的三次樣條函數(shù)y(si)(具體構(gòu)造方法文獻[7]中已詳細介紹,限于篇幅,這里不再贅述)。對所構(gòu)造的三次樣條函數(shù)分別求其各點處的一階導(dǎo)數(shù)(dx/ds)i和(dy/ds)i,并為其添加邊界條件，即

最后將得到的2個三次樣條函數(shù)合并得到累加弧長的參數(shù)樣條曲線P(si)=(x(si),y(si))(i=0,1,2,…,n),其上各節(jié)點(xi,yi)處的一階導(dǎo)數(shù)為:

2 計算軟件設(shè)計

求取各離散點處的一階導(dǎo)數(shù),計算過程復(fù)雜。根據(jù)不同工件計算精度的要求,其端面廓形可能會有上百個坐標點組成,這是一項手工無法完成的任務(wù)。為此,有必要根據(jù)求解原理,編寫相應(yīng)的計算軟件,以達到快速、精確計算各離散點一階導(dǎo)數(shù)的目的。根據(jù)軟件的功能要求,計算軟件應(yīng)能完成數(shù)據(jù)文件類型的選擇、截形參數(shù)的讀取、各分段圓弧弧長的計算、三次樣條函數(shù)的構(gòu)造、離散點一階導(dǎo)數(shù)的求取等。

設(shè)計計算軟件的實現(xiàn)界面如圖3所示。

軟件系統(tǒng)的功能模塊主要包括人機交互界面、數(shù)據(jù)文件類型的選擇模塊、加工參數(shù)輸入模塊、離散數(shù)據(jù)處理模塊、端面廓形方程處理模塊和各型值點一階導(dǎo)數(shù)計算模塊。程序以人機交互界面為主框架,集成其他功能模塊的觸發(fā)命令。其他模塊以人機交互界面為基礎(chǔ),通過數(shù)據(jù)接口與其進行數(shù)據(jù)交換。與此同時,設(shè)置數(shù)據(jù)保存按鈕,以便及時保存計算所得數(shù)據(jù)結(jié)果。設(shè)置列表視圖控件作為主顯示界面,以實現(xiàn)數(shù)據(jù)計算結(jié)果的實時顯示。

程序的計算流程如圖4所示。

圖4 程序計算流程

在求得各型值點一階導(dǎo)數(shù)以后,通過求解接觸條件式[8],解出各型值點成為刀具回轉(zhuǎn)面與工件螺旋面的接觸點時所旋轉(zhuǎn)的角度,進而求解刀具截形參數(shù)。將所得刀具截形數(shù)據(jù)文件導(dǎo)入CAD系統(tǒng),模擬形成刀具廓型線,然后利用CAD系統(tǒng)的三維建模功能,即可創(chuàng)建刀具的三維實體模型。

3 計算實例

3.1 工件端面截形計算參數(shù)

已知螺旋面工件的端面截形如圖5所示。

圖5 工件端面截形

其中:r1=15 mm;r2=30 mm;外圓螺旋角β=30°;旋向為右旋。對于軸對稱的工件截形,為使刀具廓形對稱,減少計算的工作量,一般選x軸為工件截形的對稱軸。為便于比較不同計算方法的計算精度,本文選取端面截形方程已知的截形曲線。由圖5可得工件的端面截形方程為:

其中，u為參變數(shù),考慮對稱性,故只需計算螺旋面工件的半邊截形尺寸,因此有最大角度參變數(shù)umax=cos-1[r1/(2r2)]=75.525°,最小角度參變數(shù)umin=0°。

3.2 各離散點一階導(dǎo)數(shù)的計算

根據(jù)工件的截形尺寸范圍,先選定一系列u值,u值范圍應(yīng)考慮使計算范圍比齒面的有效部分稍大[9],u值的間隔大小(即計算點的多少)視計算精度要求而定。將選定的u值代入端面截形曲線方程,得到一系列離散點坐標。分別利用文獻[8]和文獻[10]中的三次樣條法、累加弦長的參數(shù)樣條法以及本文提出的累加弧長的參數(shù)樣條法計算各離散點處的一階導(dǎo)數(shù),并將其與理論值作比較,分析計算誤差。所選定的參變數(shù)u以及對應(yīng)離散點坐標見表1所列,所得計算結(jié)果見表2所列。其中:k0表示理論值;k1表示由三次樣條法計算所得值;k2表示由累加弦長計算所得值;k3表示由累加弧長計算所得值。

表1 各離散點坐標及對應(yīng)的參變數(shù)

表2 計算結(jié)果

由表2可知,以參數(shù)方程經(jīng)求導(dǎo)運算所得結(jié)果作為標準值,在選取同樣離散點坐標及截形角度參變數(shù)的情況下,利用三次樣條法計算所得最大相對誤差為|k1-k0|/k0=10.324‰,利用累加弦長的參數(shù)樣條法計算所得最大相對誤差為0.176‰,利用累加弧長的參數(shù)樣條法計算所得最大相對誤差僅為0.092‰,計算精度達到0.1 μm。

4 結(jié) 論

(1) 本文研究了根據(jù)給定的螺旋面工件端面截形或軸向截形離散點條件下,不通過擬合曲線方程而直接計算各離散點處一階導(dǎo)數(shù)的求解原理。在構(gòu)造三次樣條函數(shù)的基礎(chǔ)上,推導(dǎo)了以累加弧長為參數(shù)計算各離散點一階導(dǎo)數(shù)的計算方法。

(2) 在完善相關(guān)算法的基礎(chǔ)上,以Visual C++6.0為開發(fā)平臺,開發(fā)了求取離散點截形螺旋面工件各型值點處一階導(dǎo)數(shù)的計算軟件,提高了計算效率。

(3) 實例計算結(jié)果表明,與傳統(tǒng)計算方法相比,本文所提出的計算方法,計算精度更高,能夠解決螺旋面工件“大撓度”離散點截形條件下求其一階導(dǎo)數(shù)時計算精度不高的問題,為后續(xù)進行成形刀具廓形參數(shù)的計算提供了更為精確的數(shù)據(jù)基礎(chǔ),具有一定的工程實踐指導(dǎo)意義。