數(shù)學(xué)化生活問題,提升數(shù)學(xué)建模能力*
——籃球定點投籃的數(shù)學(xué)建模問題研究

廣東省惠州市第八中學(xué)(516000)袁東升

數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)之一.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(2017年版)》指出,數(shù)學(xué)建模是運用數(shù)學(xué)的知識與方法,通過建立數(shù)學(xué)模型去解決現(xiàn)實問題,培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識與實踐能力[1].面對紛繁蕪雜的現(xiàn)實生活,我們要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會從中提煉問題,建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型,分析求解出結(jié)果,并指導(dǎo)生活實踐,有利于進一步提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新精神.

我們將對籃球定點投籃過程中的數(shù)學(xué)建模問題進行研究與分析.

1 問題提出

籃球是一項常見的體育運動,尤其是體育明星投籃或扣籃時那種勇猛而又優(yōu)雅的動作,更是讓人羨慕與欽佩.眾所周知,籃球比賽的方式是將球投入對方籃筐,根據(jù)得分的多少來確定勝負.因而投籃的命中率就成了取勝對方的關(guān)鍵[2].

為簡化問題的研究,我們只討論籃球定點投籃時的情況.不妨從數(shù)學(xué)的視角作如下討論: 為保證籃球能順利投入籃筐,

1)最小投射角應(yīng)該有多大?

2)籃球出手時的初速度與投射角度之間有什么關(guān)系?

3)籃球投射角度與入射角度之間有什么關(guān)系?

4)在籃球運動中,運動員越高大,在比賽中是否越有優(yōu)勢?

2 模型假設(shè)與模型建立

籃球從出手到入籃筐的過程可分為兩個部分: 一是籃球從出手到即將入筐的過程,無需考慮籃球的形狀與旋轉(zhuǎn)的情況,可將其抽象為一個質(zhì)點,此時籃球的運動過程可看作是一個斜拋運動[3].二是籃球從即將入筐到命中的過程,此時要考慮籃球的實際形狀及籃筐大小的限制.當(dāng)籃球球心剛好經(jīng)過籃筐中心時,籃球?qū)⒉徊僚龌@筐邊緣順利入筐,即空心入筐.

根據(jù)物理學(xué)知識,若不計空氣阻力的影響,只考慮重力的情況,假設(shè)投籃時籃球出手后無橫向偏角,則籃球?qū)⒅辉谶\動員出手點、籃球球心、籃筐中心所確定的平面內(nèi)作斜拋運動,而且所經(jīng)過的軌跡應(yīng)該是一條拋物線.

假設(shè)運動員在距離籃筐下L 米處投籃,球出手時離地面高度為h 米,籃筐距地面高度為H 米,一般情況下h ＜H.籃球出手時的初速度為v0,以投射角α(0°＜α ＜90°)作斜上拋運動,入筐時的入射角為β(0°＜β ＜90°).

不妨以運動員所在地面上的點O 作為坐標(biāo)原點, 建立平面直角坐標(biāo)系(如圖1 所示), 則籃球出手時的位置點A(0,h), 籃筐中心點B(L,H).

圖1

3 模型求解

3.1 投射角

由前面的假設(shè)分析可知,籃球的運動軌跡可看作一條拋物線,不妨設(shè)為f(x)=ax2+bx+c(a0)則，有

所以籃球的運動軌跡對應(yīng)的函數(shù)為

顯然,當(dāng)運動員離籃筐的距離L 保持不變的情況下,投籃時籃球出手高度h 越大,籃球投入籃筐所需的投射角度α就越小.

3.2 出手初速度與投射角的關(guān)系

假設(shè)籃球出手時的初速度為v0,重力加速度為g,籃球從出手到進入籃筐經(jīng)過的時間為t,則要使籃球順利投入籃筐必須滿足如下條件:消去時間t,可得

將上述方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于tan α 的一元二次方程

根據(jù)國際籃聯(lián)的規(guī)定, 籃筐高度的統(tǒng)一標(biāo)準是H = 3.05m, 三分線距離籃筐中心的水平距離L =6.75m, 重力加速度g = 9.8m/s2.用Geogebra 模擬籃球出手時的最小初速度v0_min與出手高度h 之間的關(guān)系(如圖2所示).由圖像可知,籃球出手時的最小初速度v0_min是出手高度h 的減函數(shù),也就是說籃球出手高度越大,球出手時所需的最小初速度就越小.

圖2

由以上結(jié)論可知,當(dāng)投籃距離L 及出手高度h 保持不變的情況下,運動員越高大,起跳后越容易達到所要求的出手高度h,在籃球比賽中自然是越有優(yōu)勢.這就是在現(xiàn)實比賽中,籃球隊的運動員普遍都比較高大的原因.

3.3 投射角與入射角的關(guān)系

由于在籃球即將入筐時,籃球已不能看成質(zhì)點.在籃球入筐的瞬間,其運動軌跡可近似看成是勻速直線運動進入籃筐.對于斜飛過來的籃球,其入射截面應(yīng)該是籃筐在垂直于籃球入射速度方向上的投影,為一個橢圓形[3].如圖3 所示,當(dāng)籃筐的半徑為R,籃球的半徑為r 時,該橢圓的長半軸為a=R,短半軸為b=R sin β.

圖3

為使籃球球心經(jīng)過籃筐中心,必須滿足入射截面的短軸2b 不小于籃球的直徑2r.即2b ≥2r,整理可得

按國際籃聯(lián)的規(guī)定, 籃筐內(nèi)緣直徑為2R = 45cm,標(biāo)準男子比賽用籃球直徑為2r = 24.6cm.故籃球入射角β ≥33.14°.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義, 由函數(shù)①可得+tan α = -tan β 解得籃球順利入筐時,投射角α 與入射角β 之間的關(guān)系為

4 模型檢驗

在方程④中,解得

當(dāng)一位身高1.8m 的運動員,在距離籃筐下L=4m 處定點投籃,測得球出手高度為h = 2.25m,初速度為v0= 8m/s,由式⑧可得籃球投射角度α ≈69.81°或α ≈32.49°,兩者均滿足式②(α ＞arctan= arctan 0.4 ≈21.80°).這也就意味著這個運動員有兩個出手投射角度,究竟應(yīng)該選哪一個呢?

不妨用Geogebra 模擬籃球的運動軌跡(如圖4 所示).線段CD 表示籃筐在籃球運動軌跡平面中的投影區(qū)域,實心圓F,B 分別表示籃球運動到點F,B 時的位置.顯然當(dāng)投射角為69.81°)時,籃球可順利入筐;當(dāng)投射角為32.49°)時,籃球在點F 處碰到籃筐邊緣C 而被反彈回去,不能順利入筐.也就是說只有當(dāng)投射角為69.81°),籃球才能順利入筐.

圖4

為什么會出現(xiàn)這種現(xiàn)象呢?

這是因為在前面假設(shè)分析時, 將籃球抽象成一個質(zhì)點.而在籃球入筐時,籃球的尺寸相對于籃筐,已不能看成一個質(zhì)點,必須考慮籃球?qū)嶋H大小的影響.

當(dāng)籃筐的半徑為R,籃球的半徑為r 時,要使籃球順利入筐,必須滿足

解得

令L = 4,H = 3.05,h = 2.25,R = 0.225,r = 0.123,可得α ≥ 44.74°.所以在題設(shè)條件下, 只有當(dāng)投射角α ≥44.74°時, 籃球才能順利入筐, 否則籃球?qū)换@筐邊緣彈射回去.

5 小結(jié)

綜合前面的分析求解,我們得到了籃球定點投籃空心入筐的理論條件,確定了籃球投射角、出手初速度、入射角之間的相互關(guān)系式.

具體結(jié)論如下: 要使籃球順利投入籃筐,

2)籃球出手時的最小初速度為 v0-min=對應(yīng)的投射角為α =arctan

4)投射角α 與入射角β 之間必須滿足關(guān)系式tan α-tan β =

上述籃球定點投籃運動的數(shù)學(xué)建模分析求解過程,有利于引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會將生活問題數(shù)學(xué)化,進一步提升數(shù)學(xué)建模能力.同時也為籃球運動員訓(xùn)練及實戰(zhàn)比賽提供了一定的參考價值,有利于他們提高籃球命中率,輕松贏得比賽.