基于核心素養(yǎng)的高中數(shù)學教材習題對比研究
——以“三角函數(shù)”為例

朱曉琳

（青海師范大學 青海西寧 810016）

引言

近年來，學科核心素養(yǎng)成為高中教育領域、教育研究領域的熱點話題。由于自身的性質(zhì)和特點，數(shù)學學科核心素養(yǎng)被概括為六個方面：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析。在價值方面，數(shù)學學科核心素養(yǎng)是數(shù)學課程目標的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學基本特征的思維品質(zhì)、關鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn)[1]。需要注意的是，在課程標準的附錄1中，數(shù)學核心素養(yǎng)的六個方面又被劃分為了程度依次遞進的水平一、水平二、水平三三個水平，各個素養(yǎng)的不同水平也有相對應的文字說明。這是我們下面進行習題研究的依據(jù)。

隨著課程標準的再次修訂以及新版教材的問世，此方面的研究也需要在原有的基礎上加以更新。本文根據(jù)課程標準中闡述的數(shù)學學科核心素養(yǎng)內(nèi)涵及三種水平，對新人教A版和北師大版高中數(shù)學教材中的“三角函數(shù)”一章習題進行對比研究，主要探討兩個問題：一是兩版教材習題在體現(xiàn)的數(shù)學核心素養(yǎng)類型上的差異；二是兩版教材習題在體現(xiàn)的數(shù)學核心素養(yǎng)水平上的差異。

一、研究設計

1.研究對象

根據(jù)現(xiàn)行教材的使用分布情況，本研究選取2019年教育部審定通過的人民教育出版社（簡稱“新人教A版”）出版的高中數(shù)學教材和北京師范大學出版社（簡稱“北師大版”）出版的高中數(shù)學教材“三角函數(shù)”一章（本章位于“新人教A版”高中數(shù)學教材必修第一冊第五章，“北師大版”高中數(shù)學教材必修第二冊第一章）全部習題，包括：“練習”“習題”和“復習題”（或“復習參考題”）的全部題目?！靶氯私藺版”高中數(shù)學教材“三角函數(shù)”一章習題總數(shù)為199，“北師大版”高中數(shù)學教材“三角函數(shù)”一章習題總數(shù)為155。

2.研究設計

（1）研究假設

本研究假設研究對象中的每道題目至少蘊含一種數(shù)學核心素養(yǎng)。從圖形或者實際情境中抽象出三角函數(shù)模型解決相關問題涉及數(shù)學抽象素養(yǎng)；借助三角函數(shù)圖象判斷任意角三角函數(shù)值的正負性等問題涉及直觀想象素養(yǎng)；弧度制與角度制之間的轉(zhuǎn)換，利用誘導公式和三角恒等變換求解式子和證明等式涉及邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng)；利用函數(shù)模型解決現(xiàn)實情景問題體現(xiàn)了數(shù)學建模素養(yǎng)。數(shù)學核心素養(yǎng)中，“數(shù)據(jù)分析”素養(yǎng)與“三角函數(shù)”部分沒有明顯聯(lián)系，故不考慮該核心素養(yǎng)。綜上分析可見，本研究的假設是成立的。

（2）對習題核心素養(yǎng)類型的劃分

對習題核心素養(yǎng)類型的劃分標準是課程標準中闡述的各素養(yǎng)的內(nèi)涵。在界定本章習題素養(yǎng)類型的時候，我們發(fā)現(xiàn)，部分題目蘊含兩種及以上核心素養(yǎng)。究其原因，數(shù)學核心素養(yǎng)之間是相互聯(lián)系的。對于這種情況，本文進行說明：在確定習題數(shù)學核心素養(yǎng)類型時，根據(jù)題目的性質(zhì)優(yōu)先選擇重點考查的核心素養(yǎng)，對于綜合考查多種數(shù)學核心素養(yǎng)的題目，可以同時選取多個核心素養(yǎng)。

數(shù)學核心素養(yǎng)類型劃分示例：

此題需要借助函數(shù)圖象判斷兩函數(shù)的交點個數(shù)，其中，t不是確定值，是需要進行討論的。所以，本題體現(xiàn)了直觀想象與邏輯推理兩種核心素養(yǎng)。

（3）對習題核心素養(yǎng)水平的劃分

在確定了題目的核心素養(yǎng)類型之后，接下來就是需要確定題目體現(xiàn)的核心素養(yǎng)類型所處的水平。這里，本文需要再次作出說明：某習題的核心素養(yǎng)總體水平確定為本題所涉及的多個核心素養(yǎng)類型中水平的最高值。

本題只需要正確運用正切的誘導公式展開：

考查對正切誘導公式的簡單應用，所以將此題歸結(jié)為數(shù)學運算的水平一范疇。

本題需要根據(jù)學生從頂角余弦出發(fā)，選擇合適的誘導公式、三角恒等變換以及倍角公式設計運算過程解答，所以將此題歸結(jié)歸結(jié)為數(shù)學運算的水平二范疇。

3.編碼與數(shù)據(jù)統(tǒng)計方法

（1）編碼方法

分別用RA、BS代表新人教A版和北師大版高中數(shù)學教材，用數(shù)字1、2、3分別表示水平一、水平二、水平三。用RA1，RA2，…，RAn表示新人教A版教材的第1，2，…，n題；用BS1，BS2，…，BSn表示北師大版教材的第1，2，…，n題。

（2）數(shù)據(jù)統(tǒng)計方法

在核心素養(yǎng)類型上，統(tǒng)計出每版教材中體現(xiàn)各個素養(yǎng)的習題總數(shù)，然后除以該教材“三角函數(shù)”一章習題的總數(shù)，得到該教材習題在各個核心素養(yǎng)類型上的比重。

在核心素養(yǎng)水平上，從兩方面進行統(tǒng)計。一方面，統(tǒng)計出每版教材中各個核心素養(yǎng)類型下不同水平的題目個數(shù)，然后除以對應核心素養(yǎng)類型的習題總數(shù)；另一方面，分別統(tǒng)計出兩版教材中處于水平一、水平二、水平三的題目的數(shù)量，除以對應教材“三角函數(shù)”一章習題總數(shù)，得到兩版教材“三角函數(shù)”一章習題在水平一、水平二、水平三上的數(shù)量比重。

二、數(shù)據(jù)結(jié)果

1.在核心素養(yǎng)類型上的統(tǒng)計結(jié)果

兩版教材“三角函數(shù)”一章習題在五個核心素養(yǎng)類型上的統(tǒng)計結(jié)果見表1及圖1。

表1 兩版教材“三角函數(shù)”習題在核心素養(yǎng)類型上的題目數(shù)量及比重

圖1 兩版教材“三角函數(shù)”習題在核心素養(yǎng)類型上的數(shù)量比重（%）

2.在核心素養(yǎng)水平上的統(tǒng)計結(jié)果

兩版教材“三角函數(shù)”習題在五個核心素養(yǎng)水平上的統(tǒng)計結(jié)果見表2和表3。

表2 兩版教材“三角函數(shù)”習題在各核心素養(yǎng)不同水平上的題目數(shù)量（個）

表3 兩版教材“三角函數(shù)”習題在各核心素養(yǎng)不同水平上的題目比重（%）

兩版高中數(shù)學教材“三角函數(shù)”習題在三水平的比重見表4。

表4 兩版教材“三角函數(shù)”習題在三水平上的題目數(shù)量及比重

三、研究結(jié)論

1.在核心素養(yǎng)類型上的結(jié)論

（1）兩版教材“三角函數(shù)”習題在邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng)上的比重較高

根據(jù)表1和圖1，可以看出，兩版教材“三角函數(shù)”習題在邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學運算素養(yǎng)方面的比重相對較高。其中，在數(shù)學運算素養(yǎng)上的比重最高，新人教A版教材“三角函數(shù)”習題在數(shù)學運算素養(yǎng)上的比重為71%，是兩版教材“三角函數(shù)”習題在各核心素養(yǎng)類型上的最高比重。北師大版教材“三角函數(shù)”習題在數(shù)學運算素養(yǎng)上的比重為63%。

兩版教材“三角函數(shù)”習題在數(shù)學抽象和數(shù)學建模素養(yǎng)方面的比重相對較低。北師大版教材“三角函數(shù)”習題在數(shù)學建模素養(yǎng)上的比重是最低的2%。

（2）兩版教材“三角函數(shù)”習題在核心素養(yǎng)類型上存在差異

進一步研究發(fā)現(xiàn)，在數(shù)學運算素養(yǎng)方面，新人教A版教材的題目比重（71%）高于北師大版教材的題目比重（63%）?？梢?，新人教A版教材更加強調(diào)學生通過準確運算理解鞏固知識和解決問題的能力；在直觀想象素養(yǎng)方面，北師大版教材的題目比重（20%）明顯高于新人教A版教材的題目比重（8%）。

2.在核心素養(yǎng)水平上的結(jié)論

（1）兩版教材習題素養(yǎng)水平大都處于水平一、水平二，少數(shù)習題處于水平三

由表4可知，兩版教材“三角函數(shù)”習題在核心素養(yǎng)水平上大都處于水平一和水平二，少數(shù)習題處于水平三，且在水平一上的比重均高于在水平二上的比重。在水平一、二上，北師大版教材“三角函數(shù)”習題的比重（97%）相對較高。在水平三上，新人教A版教材習題的比重（10%）相對較高。

（2）兩版教材習題在各核心素養(yǎng)的各水平上各有側(cè)重

在數(shù)學抽象素養(yǎng)方面，兩版教材“三角函數(shù)”習題在三水平上分布相對均衡。在水平一上，北師大版教材“三角函數(shù)”習題的比重（38%）相對較高。在水平二、三上，新人教A版教材“三角函數(shù)”習題的比重（31%和44%）相對較高。

在邏輯推理素養(yǎng)方面，兩版教材“三角函數(shù)”習題主要分布在水平一、二，且在水平二上的比重（54%和66%）最高。北師大版教材“三角函數(shù)”習題未涉及水平三。在水平一上，新人教A版教材“三角函數(shù)”習題（40%）的比重相對較高。在水平二上，北師大版教材“三角函數(shù)”習題的比重（66%）相對較高。

在數(shù)學建模素養(yǎng)方面，新人教A版教材“三角函數(shù)”習題在三水平上均有分布，且在水平三上的比重（50%）最高。北師大版教材“三角函數(shù)”習題均分布在水平二。

在直觀想象素養(yǎng)方面，新人教A版教材“三角函數(shù)”習題主要分布在水平一，北師大版教材“三角函數(shù)”習題主要分布在水平二。兩版教材“三角函數(shù)”習題均未涉及水平三。

在數(shù)學運算素養(yǎng)方面，兩版教材“三角函數(shù)”習題主要分布在水平一、二，且在水平一上的比重最大。在水平一上，北師大版教材“三角函數(shù)”習題的比重（73%）相對較高。在水平二上，新人教A版教材“三角函數(shù)”習題的比重（39%）相對較高。

四、結(jié)語

1.對新人教A版教材“三角函數(shù)”習題的編寫建議

（1）適當提高體現(xiàn)直觀想象素養(yǎng)的習題比重

基于直觀想象素養(yǎng)方面，北師大版教材“三角函數(shù)”習題的題目比重顯著高于新人教A版教材“三角函數(shù)”習題的題目比重這種情況。對直觀想象的考查習題，主要分布在對三角函數(shù)的圖象的考查中，三角函數(shù)圖象相關內(nèi)容隸屬于三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于核心的考點[2]。對于新人教A版教材“三角函數(shù)”習題而言，建議適當提高體現(xiàn)直觀想象的習題比重。

（2）適當提高居于水平二的習題比重

基于新人教A版教材“三角函數(shù)”習題在水平一上的比重高于在水平二上的比重這種情況，同時考慮到數(shù)學核心素養(yǎng)水平二是高考命題的依據(jù)。建議新人教A版教材在保證居于水平一的“三角函數(shù)”題目比重的前提下適當提高本章居于水平二的體現(xiàn)數(shù)學運算、數(shù)學建模、數(shù)學抽象和直觀想象素養(yǎng)習題的比重，以此發(fā)展學生的相關核心素養(yǎng)。

2.對北師大版教材“三角函數(shù)”習題的編寫建議

（1）適當提高體現(xiàn)數(shù)學建模素養(yǎng)的習題比重

基于在直觀想象素養(yǎng)方面，新人教A版教材“三角函數(shù)”習題的題目比重高于北師大版教材“三角函數(shù)”習題的題目比重這種情況。對于北師大版教材“三角函數(shù)”習題而言，建議適當提高體現(xiàn)數(shù)學建模的習題比重，提高學生數(shù)學學習的熱情。

（2）適當提高居于水平二的習題比重

基于北師大版教材“三角函數(shù)”習題在水平一上的比重高于在水平二上的比重這種情況，同時考慮到數(shù)學核心素養(yǎng)水平二是高考命題的依據(jù)[3]。建議北師大版教材在保證居于水平一的“三角函數(shù)”題目比重的前提下適當提高本章居于水平二的體現(xiàn)數(shù)學抽象和數(shù)學運算素養(yǎng)的習題比重，提高學生的抽象概括和運算能力，幫助學生更好地理解和掌握知識。