含對(duì)流項(xiàng)逆熱傳導(dǎo)問(wèn)題的迭代正則化方法

趙 齊，程 煒

(河南工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，河南 鄭州 450001)

1 引言

眾所周知，在許多工程應(yīng)用中，需要由物體內(nèi)部的某處固定位置的溫度測(cè)量值來(lái)反演表面的溫度或者熱流[2-4]，這就是逆熱傳導(dǎo)問(wèn)題(IHCP)[5].該類問(wèn)題是嚴(yán)重不適定的，即微小的數(shù)據(jù)波動(dòng)將會(huì)引起解的巨大誤差，以致解的爆破，使其數(shù)值計(jì)算和理論分析都非常困難.在這種情況下，需要通過(guò)一種正則化技術(shù)來(lái)保證這類問(wèn)題的解對(duì)數(shù)據(jù)的連續(xù)依賴性[6].關(guān)于逆熱傳導(dǎo)問(wèn)題已經(jīng)建立了許多正則化方法，例如中心差分正則化方法[7-8]、Fourier方法[9-10]、擬逆方法[11-12]、小波方法[13-14]等.據(jù)我們所知，目前很多學(xué)者的文獻(xiàn)都是關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)的一維逆熱傳導(dǎo)問(wèn)題，對(duì)于非標(biāo)準(zhǔn)的一維逆熱傳導(dǎo)問(wèn)題的研究相對(duì)較少.

本文考慮如下含對(duì)流項(xiàng)的逆熱傳導(dǎo)問(wèn)題[15-16]：

(1.1)

該問(wèn)題需要從已知數(shù)據(jù)g(t)來(lái)反演0

我們考慮問(wèn)題在L2()下的變量t，u(x, ·)，g(·)=u(1, ·)，f(·)=u(0, ·)和其他函數(shù)在t<0時(shí)，其函數(shù)值為零.這里表示L2()中范數(shù)，δ>0是測(cè)量誤差，用g和gδ表示u(x,t)在x=1時(shí)的精準(zhǔn)值和測(cè)量值，并滿足：

(1.2)

假設(shè)對(duì)f(·):=u(0, ·)存在如下先驗(yàn)界：

(1.3)

其中

(1.4)

函數(shù)f(t)的 Fourier 變換為

本文對(duì)變量t做Fourier變換得到問(wèn)題(1.1)的解：

(1.5)

其中

ξ∈,

τ=sign(ξ).

2 條件穩(wěn)定性

在本節(jié)中，我們考慮問(wèn)題(1.1)在條件(1.3)下的條件穩(wěn)定性估計(jì).

定理2.1函數(shù)u(x,t)和g(t)分別是問(wèn)題(1.1)的精準(zhǔn)值和實(shí)際測(cè)量值，u(0,t)滿足(1.3)式，當(dāng)x∈(0, 1)時(shí)，有以下估計(jì)：

(2.1)

證明由Parseval等式和H?lder不等式以及(1.5)，得到

此外，有以下不等式成立

(2.2)

所以，在先驗(yàn)界條件(1.3)和(2.2)下，得

即證得定理2.1.

推論2.1函數(shù)u1(x,t)，u2(x,t)和函數(shù)g1(t)，g2(t)分別是問(wèn)題(1.1)的精準(zhǔn)解和近似解，當(dāng)x∈(0, 1)時(shí)，有以下估計(jì)成立

(2.3)

然而，條件穩(wěn)定性的結(jié)果不能保證含噪聲數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性.因此，需要有效的正則化方法來(lái)解決問(wèn)題(1.1)，并恢復(fù)解的穩(wěn)定性.

3 正則化方法和誤差估計(jì)

在本部分，我們采用一種修改的迭代正則化方法來(lái)處理問(wèn)題(1.1)，并且構(gòu)造出問(wèn)題的正則近似解；在一種先驗(yàn)和一種后驗(yàn)參數(shù)選取規(guī)則下，分別獲得了問(wèn)題(1.1)的H?lder 型誤差估計(jì).

3.1 正則化方法

設(shè)Κ:X→Y是具有緊性的線性算子，

x=(Ι-aK*K)x+aK*y,

(3.1)

并用迭代法解此方程，設(shè)迭代步數(shù)為m，即

x0=0,xm=(Ι-aK*K)xm-1+aK*y,

m=1, 2, 3, …

(3.2)

其中0

(3.3)

3.2 先驗(yàn)參數(shù)選擇下的誤差估計(jì)

引理3.1當(dāng)0≤h≤1，0≤β≤1和n≥1時(shí)，得

(3.4)

(3.5)

證明令f(h)=(1-h)nhβ，0≤h≤1，則有

f′(h)=-n(1-h)n-1hβ+β(1-h)nhβ-1

=(1-h)n-1hβ-1[-nh+β(1-h)].

此時(shí)，

f″(h)=-n[-(n-1)(1-h)n-2hβ+

β(1-h)n-1hβ-1]+β[-n(1-h)n-1hβ-1+

即得到結(jié)果(3.4)，類似可證得(3.5).

證明由Parseval等式，(1.5)和(3.2)，得

e(1-x)θ(ξ)|δ≤(1-h)jhxE+[1-(1-h)j]h(x-1)δ

≤2E1-xδx.

以上是我們通過(guò)迭代的正則化方法得到H?lder 型誤差估計(jì)，表明了該方法處理這類逆熱傳導(dǎo)問(wèn)題的不適定性是有效的.

3.3 后驗(yàn)參數(shù)選擇下的誤差估計(jì)

在本節(jié)中，我們將考慮在迭代正則化方法(3.2)下的Morozov停止規(guī)則：

(3.6)

其中m>1為常數(shù)，j是正則化參數(shù).

為了建立式子(3.6)的解的存在性，我們有以下引理成立：

(a)Ρ(j)是連續(xù)函數(shù)；

引理3.3有以下式子成立

(3.7)

證明由Parseval等式和(3.6)得

所以有

即證得引理3.3.

(3.8)

證明由Parseval等式、三角不等式、(1.2)、(3.6)、(3.7)和h=|e-θ(ξ)|，我們得到

(3.9)

和

(3.10)

由Parseval等式、(3.9)和(3.10)可得

即證得定理3.2.

本文通過(guò)兩種參數(shù)選取規(guī)則，都得到了正則解與精確解之間的H?lder 型誤差估計(jì)，由于在實(shí)際中問(wèn)題的精確解不容易獲得，所以無(wú)法得到先驗(yàn)解，但是后驗(yàn)參數(shù)的選擇克服了這一點(diǎn).因此，后驗(yàn)參數(shù)選擇使得計(jì)算更方便.