時滯耦合憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)固定時間抗干擾二分同步

毛 坤, 劉小洋, 胡元發(fā), 胡曉婷

(江蘇師范大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,江蘇 徐州 221116)

0 引言

憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種模仿生物神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和功能的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[1],其由于具有自學(xué)習(xí)、聯(lián)想記憶和高速尋找優(yōu)化解的特點(diǎn),被廣泛應(yīng)用于模式識別[2]、自動控制[3]和預(yù)測估計(jì)[4]等領(lǐng)域.目前,憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步與控制問題已逐漸成為學(xué)術(shù)界的研究熱點(diǎn)[5-7].事實(shí)上,許多網(wǎng)絡(luò)都會受到時滯和外部干擾等不確定因素的影響,在研究網(wǎng)絡(luò)同步的時候考慮這些不確定因素很有必要,也更加具有現(xiàn)實(shí)意義,如：Liu等[8]分析了具有隨機(jī)干擾的耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的牽制同步問題,He等[9]研究了具有分布時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的牽制脈沖控制同步問題.

值得注意的是,現(xiàn)有文獻(xiàn)[10-11]所研究的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)都是無符號網(wǎng)絡(luò),即網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)之間都是正向合作關(guān)系.但在實(shí)際情況下,網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)之間既存在正向合作關(guān)系,又存在競爭對立關(guān)系,這種網(wǎng)絡(luò)被稱為符號網(wǎng)絡(luò).與無符號網(wǎng)絡(luò)的完全同步不同,符號網(wǎng)絡(luò)主要考慮二分同步或二分一致,對于理解社會群體中的派系結(jié)構(gòu)具有較大的社會意義.許多學(xué)者對符號網(wǎng)絡(luò)的二分同步問題已經(jīng)進(jìn)行了深入研究[12-13],如Liu等[14]研究了具有競爭關(guān)系的耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的二分牽制同步問題,Meng等[15]考慮了符號有向圖下多智能體網(wǎng)絡(luò)的區(qū)間二分一致性問題.另外,收斂速度是評價網(wǎng)絡(luò)同步性能的重要指標(biāo).有限時間同步相比于漸進(jìn)同步,具有更快的收斂速度以及更強(qiáng)的抗干擾能力.但是,其收斂時間嚴(yán)重依賴于初值,這對初值未知的網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)具有一定的局限性.而固定時間同步的收斂時間是一個與初值無關(guān)的固定上界,這能有效避免初值未知的問題.Polyakov[16]首次提出了固定時間穩(wěn)定性定理；Li等[17]在以往研究的基礎(chǔ)上考慮了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的固定時間同步問題,提出了一種經(jīng)濟(jì)型控制方法；Moulay等[18]提出了一種可變指數(shù)系數(shù)方法,使受干擾的標(biāo)量系統(tǒng)達(dá)到固定時間穩(wěn)定.

目前,能夠同時考慮時滯和干擾的耦合憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的固定時間二分同步研究還相對較少.本文在文獻(xiàn)[17-18]的基礎(chǔ)上,設(shè)計(jì)了一類新的經(jīng)濟(jì)型控制協(xié)議,有效地克服了時滯和干擾,確保網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)固定時間二分同步.

1 預(yù)備知識與模型描述

1.1 符號圖

對于符號圖G,如果存在2個集合V1和V2,滿足V1∪V2=V,V1∩V2=?,并且對于?vi,vj∈Vl(l∈{1,2}),qij≥0;對于?vi∈Vl,vj∈Vk(l≠k,l,k∈{1,2}),qij≥0,則稱該符號圖為結(jié)構(gòu)平衡圖.否則稱為結(jié)構(gòu)非平衡圖.

1.2 模型描述

考慮由N個節(jié)點(diǎn)耦合而成的時滯憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型,其第i個節(jié)點(diǎn)(i=1,2,…,N)的動力學(xué)方程如下:

(1)

憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(1)的初始條件為

假設(shè)1假設(shè)憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(1)的符號圖連通且結(jié)構(gòu)平衡.

引理1[10]在假設(shè)1的條件下,存在對角矩陣Δ=diag(δ1,δ2,…,δN),δi∈{-1,1},使得ΔQΔ=Qu,其中Qu=(|qij|)∈RN×N.

憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(1)的同步目標(biāo)為

(2)

其中y(t)=(y1(t),y2(t),…,yn(t))T.

假設(shè)2激活函數(shù)f(·)滿足以下條件:

1)對于?xi∈Rn,f(-xip)=-f(xip);

2)對于?xi,yi∈Rn,存在正常數(shù)zi>0,使|f(xip)-f(yip)|≤zi|xip-yip|;

3)對于?xi∈Rn,存在正常數(shù)Mi>0,使|f(xip)|≤Mi,

其中：i=1,2,…,N；p=1,2,…,n.

定義2如果憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(1)、(2)滿足如下條件：

1)達(dá)到有限時間二分同步;

2)對于任意初值x0(t),存在常數(shù)Tmax>0,使得T(x0(t))≤Tmax，

則稱網(wǎng)絡(luò)(1)和(2)達(dá)到固定時間二分同步.

引理2[16]考慮如下系統(tǒng)：

(3)

引理3[19]對于a1,a2,…,an>0,0

2 主要結(jié)論

主要考慮在結(jié)構(gòu)平衡圖下,時滯耦合憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(1)與目標(biāo)(2)的同步問題.為此,設(shè)計(jì)控制器

(4)

定理1若時滯耦合憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(1)滿足假設(shè)1、2及以下條件:

(5)

(6)

ε-k<0,

(7)

則(1)將在控制器(4)下固定時間二分同步到網(wǎng)絡(luò)(2),且駐留時間T滿足

記同步誤差ei(t)=δixi(t)-y(t),可得誤差系統(tǒng)

(8)

如果誤差系統(tǒng)(8)是固定時間穩(wěn)定的,則存在與初值無關(guān)的時間T,使得當(dāng)t→T時,ei(t)趨于0,即δixi(t)→y(t).由δi∈{-1,1}可得,xi(t)→δiy(t).因此,基于定義2,時滯耦合憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(1)和(2)的二分同步問題可轉(zhuǎn)換為誤差系統(tǒng)(8)的穩(wěn)定性問題.

構(gòu)造如下Lyapunov泛函:

沿誤差系統(tǒng)(8),V(t)對時間t求導(dǎo),可得

其中

(9)

由假設(shè)2,可知

(10)

類似地,

(11)

根據(jù)引理4,有

(12)

另一方面,

(13)

綜合公式(9)—(13),可得

由條件(5)及條件(6),可得

(14)

接下來分2種情形討論.

由條件(7)可知k-ε>0.根據(jù)引理2的證明過程[16],可得V(t)將在固定時間收斂到集合{V(t)|V(t)≤1},且收斂時間T1滿足

情形2如果V(t)≤1,則

將上式代入(14)，可得

綜上所述,時滯耦合憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(1)和(2)在固定時間T=T1+T2內(nèi)達(dá)到二分同步.證畢.

接下來,考慮不帶時滯的耦合憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),此時系統(tǒng)(1)簡化為

(15)

相應(yīng)地,同步目標(biāo)為

(16)

設(shè)計(jì)控制器

(17)

推論1若耦合憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(15)滿足假設(shè)1、2及條件(5)和(7),則(15)將在控制器(17)下固定時間二分同步到目標(biāo)網(wǎng)絡(luò)(16),且駐留時間T滿足

證證明與定理1類似,此處省略.

注2與常規(guī)的固定時間控制協(xié)議不同,文獻(xiàn)[17]提出了一類經(jīng)濟(jì)型的控制方法,將原本控制器中2項(xiàng)控制項(xiàng)合并為1項(xiàng),節(jié)約了控制成本.但是這種控制方法在解決受擾網(wǎng)絡(luò)的同步問題時不能消除干擾的影響,需要在控制器中再增加控制項(xiàng)來克服干擾,因此并不能發(fā)揮其經(jīng)濟(jì)的特性.文獻(xiàn)[18]提出了一種可變指數(shù)系數(shù)的方法,解決了受干擾標(biāo)量系統(tǒng)的固定時間穩(wěn)定性問題.受此啟發(fā),本文將這種方法應(yīng)用在時滯耦合憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)二分同步問題上,既減少了控制消耗,又進(jìn)一步提高了網(wǎng)絡(luò)的魯棒性能.

3 數(shù)值仿真

本節(jié)將通過數(shù)值仿真來驗(yàn)證本文理論的有效性.

考慮由4個3維(N=4,n=3)的憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)耦合而成的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)(1),其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖1所示.將網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)集劃分成2個子集V1={1,2},V2={3,4},對應(yīng)的Δ=diag(1,1,-1,-1).矩陣C=diag(3,3,3), 耦合強(qiáng)度σ=1,干擾φi(t)=(sin(t),sin(t),sin(t))T,激活函數(shù)f(xi(t))=(tanh(xi1(t)),tanh(xi2(t)),tanh(xi3(t)))T,時滯τ(t)=0.01cos(t),則Mi=1,zi=1.給定權(quán)重如下:

圖1 耦合憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(1)拓?fù)鋱D

其中

a

4 結(jié)論

本文主要研究了結(jié)構(gòu)平衡圖下時滯耦合憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)固定時間二分同步問題.通過設(shè)計(jì)一類全新的固定時間控制協(xié)議,消除了外部擾動以及通信時滯的影響,實(shí)現(xiàn)了時滯耦合憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)固定時間抗干擾二分同步.與之前的研究相比,本文使用經(jīng)濟(jì)型固定時間控制方法使受擾動網(wǎng)絡(luò)達(dá)到固定時間同步,豐富了有關(guān)網(wǎng)絡(luò)固定時間二分同步的研究.最后通過仿真實(shí)驗(yàn),驗(yàn)證了理論結(jié)果的有效性.