基于廣義正規(guī)變化尾的卷積展開式及其應用

季海波， 王 麗

(宿遷學院 文理學院，江蘇 宿遷223800)

1 預備知識

定義1[4]設f:R+→R+為可測函數(shù)，若存在α∈R，對任意的x>0，有

則稱f是正規(guī)變化的，記作f∈VR(α),α為正規(guī)變化指數(shù).

定義2[7]設f:R+→R+為可測函數(shù)，若存在α∈R，且α≠0，函數(shù)a(t)>0，使得對任意的x>0,有

2 尾分布為廣義正規(guī)變化下的卷積展開式

定義2中的f(t)與a(t)存在如下關(guān)系[8]：若f∈VGR(α,a(t)),則當t→∞時，

引理2[9]f:R+→R+是L可測的，則f是廣義正規(guī)變化的當且僅當?α∈R,α≠0,a(t)∈VR(α)，且

定理1設X～F(x),Y～G(x)，且滿足

Ⅲ)E(X)<∞,

N為足夠大的正整數(shù).

證根據(jù)卷積公式,當x>0時，有

(1)

圖1 區(qū)域D的分割

先計算概率P{(X,Y)∈Dk}，k=0,1,2,…,N-2.

由條件Ⅰ)，Ⅱ)及引理3，有

(2)

(3)

因此，由引理2及(2)，(3)式，可得

由引理1，當x→∞時，有

(4)

再計算概率P{(X,Y)∈Ek}，k=0,1,2,…,N-1.

由條件Ⅲ)，有

從而有

(5)

將(4)，(5)代入(1)式，可得

(6)

其中

推論1設隨機變量X～F(x),且滿足定理1中的條件Ⅰ)，Ⅲ)，則

3 卷積展開式在C-L模型中的應用

破產(chǎn)概率作為評價保險公司綜合保費與索賠過程的穩(wěn)健性的重要指標，是風險管理的有用工具.破產(chǎn)概率的計算是精算學里非常經(jīng)典的問題，C-L模型給出了具體表達式[3]：

(7)

1)F(t)∈VGR(α+1,ta(t))，x≥1;

2)F(t)∈VGR(α,ta(t))， 0

引理6設X～F(x),Y～G(x)，且滿足下列條件：

c)E(X2)<∞，

N為足夠大的正整數(shù).

引理7設隨機變量X～F(x),且滿足引理6中的條件a)，c)，則

(8)

證將(8)式代入(7)式，有

整理可得結(jié)論.