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    混合Morrey空間上Marcinkiewicz積分的加權(quán)估計

    2022-09-24 08:27:50陶雙平
    關(guān)鍵詞:次方位勢常數(shù)

    王 靜, 陶雙平

    (西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 蘭州 730070)

    1 引言與預(yù)備知識

    設(shè)Ω在n上零次齊次且滿足消失矩條件其中:x′=x/|x|,x≠0;Sn-1為n(n≥2)中的單位球面, dσ(x′)為其上的Lebesgue測度.

    固定T>0, 對t∈(0,T), 與時間t相關(guān)的Marcinkiewicz積分μΩ定義為

    (1)

    對于局部可積函數(shù)b, Marcinkiewicz積分交換子定義為

    (2)

    同理, 對t∈(0,T), 0<α

    (3)

    當(dāng)f(y,t)恒為f(y)時, 上述定義的與時間t相關(guān)的Marcinkiewicz積分和Riesz位勢即為經(jīng)典的Marcinkiewicz積分和Riesz位勢. 文獻[1]得到了經(jīng)典的Riesz位勢在加權(quán)Lebesgue空間上的有界性, 進一步的結(jié)果可參見文獻[2]. 當(dāng)Ω∈Ls(Sn-1)(s>1),s′

    定義1設(shè)T>0, 1

    Lq,μ(0,T,Lp,λ(u,v))∶={f(x,t): ‖f‖Lq,μ(0,T,Lp,λ(u,v))<∞},

    其中

    這里Bρ(x)={y∈n: |y-x|<ρ}.當(dāng)u=v時, 簡記為Lq,μ(0,T,Lp,λ(u)).

    易見, 當(dāng)權(quán)函數(shù)u=v=1時, 時空混合范加權(quán)Morry空間Lq,μ(0,T,Lp,λ(u,v))即為文獻[10]中定義的Lq,μ(0,T,Lp,λ(n)), 且是文獻[7]中定義的加權(quán)Morry空間Lp,λ(u,v)的一種自然推廣.

    設(shè)10, 使得

    (4)

    則稱非負(fù)可測函數(shù)w∈Ap[2].設(shè)10, 使得

    (5)

    設(shè)10, 使得下列反向H?lder不等式成立:

    (6)

    記w∈RHr.

    引理2[3]設(shè)零階齊次函數(shù)Ω∈Ls(Sn-1)(1

    1)s′

    則存在與f無關(guān)的常數(shù)C>0, 使得對任意的f∈Lp(w), 有‖μΩ(f)‖Lp(w)≤C‖f‖Lp(w).

    引理3[4]設(shè)零階齊次函數(shù)Ω∈Ls(Sn-1)(10, 使得對任意的f∈Lp(w), 有‖[b,μΩ](f)‖Lp(w)≤C‖f‖Lp(w).

    引理4[13]設(shè)w∈Ap且p≥1, 則對任意的球B, 存在一個絕對常數(shù)C>0, 使得w(2B)≤Cw(B).一般地, 對任意的λ>1, 有w(λB)≤C·λnpw(B), 其中C與B和λ無關(guān).

    引理5[14]設(shè)w∈RHr(r>1), 則存在一個常數(shù)C>0, 使得對包含球B的任意可測集E, 成立

    引理6[15]設(shè)b∈BMO(n), 則對任意的1≤p<∞, 有

    其中‖b‖*=‖b‖BMO.

    2 主要結(jié)果

    ‖Iα(f)‖Lq′,μ′(0,T,Lq,λq/p(wq))≤C‖f‖Lq′,μ′(0,T,Lp,λ(wp,wq)).

    證明: 設(shè)B=B(x0,r)={x∈n: |x-x0|

    由引理1和引理4, 可得

    下面估計I2(t).由H?lder不等式得

    注意到當(dāng)x∈B,y∈(2B)c時, 有|y-x|~|y-x0|.因此

    從而

    從而

    于是由引理5得

    結(jié)合I1(t)和I2(t)的估計, 有

    對式(7)兩邊取q′次方, 再在(0,T)∩(t0-ρ,t0+ρ)上積分, 可得

    將式(8)兩邊乘1/ρμ′, 并取上確界, 兩邊再取1/q′次方, 得

    從而

    ‖Iα(f)‖Lq′,μ′(0,T,Lq,λq/p(wq))≤C‖f‖Lq′,μ′(0,T,Lp,λ(wp,wq)).

    證畢.

    定理2設(shè)10, 使得‖μΩ(f)‖Lq,μ(0,T,Lp,λ(w))≤C‖f‖Lq,μ(0,T,Lp,λ(w)).

    證明: 設(shè)B=B(x0,r), 類似定理1的證明, 記f=f1+f2, 其中f1=fχ2B.則

    由引理2和引理4, 可得

    下面估計K2(t).注意到當(dāng)x∈B,y∈2j+1B(2jB),j≥1時, 2j-1r≤|x-y|<2j+2r成立.因此利用Minkowski不等式和H?lder不等式, 得

    再利用球坐標(biāo)變換, 有

    注意到, 如果x∈B,y∈(2B)c, 則|y-x|~|y-x0|.因此可得

    從而

    由于w∈Ap/s′, 記p1=p/s′, 由H?lder不等式得

    因此

    于是由引理5可得

    結(jié)合K1(t)和K2(t)的估計, 有

    對式(9)兩邊取q次方, 再在(0,T)∩(t0-ρ,t0+ρ)上積分, 可得

    將式(10)兩邊乘1/ρμ, 并取上確界, 兩邊再取1/q次方, 得

    ‖μΩ(f)‖Lq,μ(0,T,Lp,λ(w))≤C‖f‖Lq,μ(0,T,Lp,λ(w)).

    證畢.

    定理3設(shè)10, 使得

    ‖[b,μΩ](f)‖Lq,μ(0,T,Lp,λ(w))≤C‖f‖Lq,μ(0,T,Lp,λ(w)).

    證明: 設(shè)B=B(x0,r)={x∈n: |x-x0|

    由引理3和引理4, 可得

    下面估計J2(t).對任意的x∈B, 有

    由定理2的證明, 可知

    因此

    由于w∈Ap/s′, 則存在r>1, 使得w∈RHr.因此利用H?lder不等式和引理6, 可得

    由式(11)和引理5, 得

    下面估計J22.

    當(dāng)x∈B,y∈(2B)c時, 有|y-x|~|y-x0|.由于w∈Ap/s′, 記p1=p/s′, 因此由H?lder不等式和定理2的證明, 可得

    于是由引理5有

    再由定理2的證明中關(guān)于K2(t)的估計, 可知

    注意到當(dāng)b∈BMO(n)時, 有|b2j+1B-bB|≤Cj‖b‖*, 則

    因此

    結(jié)合J1(t)和J2(t)的估計, 得

    對式(12)兩邊乘1/ρμ, 并取上確界, 兩邊再取1/q次方, 得

    ‖[b,μΩ](f)‖Lq,μ(0,T,Lp,λ(w))≤C‖f‖Lq,μ(0,T,Lp,λ(w)).

    證畢.

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