“對(duì)數(shù)函數(shù)的概念”教學(xué)設(shè)計(jì)及評(píng)析

◎崔占滿 王 妍

(天津師范大學(xué)教育學(xué)部，天津 300387)

本文對(duì)“對(duì)數(shù)函數(shù)的概念”完成了教學(xué)設(shè)計(jì)、課件和微課程制作，筆者在學(xué)校教師教育實(shí)習(xí)期間，于天津市海河中學(xué)開(kāi)展了具體實(shí)踐，通過(guò)師生、生生互動(dòng)，相互配合，完成了相應(yīng)的教學(xué)任務(wù)，達(dá)成了良好的教學(xué)效果

一、教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明

依據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》(以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)》)主題二“函數(shù)”，第二單元“冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)”，各部分內(nèi)容的關(guān)系如圖1所示

圖1

《課標(biāo)》指出，冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)是最基本、應(yīng)用最廣泛的函數(shù)，是學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)本單元的學(xué)習(xí)可以幫助學(xué)生掌握研究函數(shù)性質(zhì)的方法，理解函數(shù)中所蘊(yùn)含的運(yùn)算規(guī)律，體會(huì)運(yùn)用函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的作用

依據(jù)教材第四章“指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)”，各部分內(nèi)容之間的關(guān)系如圖2所示

圖2

教學(xué)設(shè)計(jì)在《課標(biāo)》的指導(dǎo)下，基于人教A版《普通高中教科書(shū)·第一冊(cè)(必修)》內(nèi)容，以多元智能理論、布魯姆教育目標(biāo)分類(lèi)學(xué)，以及加涅的教學(xué)設(shè)計(jì)原理為理論基礎(chǔ)，突出促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的教育理念.此教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計(jì)旨在突出“數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)”，教師采用GeoGebra 動(dòng)態(tài)繪圖軟件輔助教學(xué)，讓學(xué)生可以通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)對(duì)數(shù)函數(shù)

二、教學(xué)設(shè)計(jì)實(shí)施

1教材內(nèi)容分析

“對(duì)數(shù)函數(shù)的概念”選自教材第四章第四節(jié)“對(duì)數(shù)函數(shù)”(第一課時(shí))課程安排在指數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)知識(shí)之后，是繼指數(shù)函數(shù)之后的又一個(gè)重要初等函數(shù)從知識(shí)或思想方法的角度來(lái)看，對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)有很多類(lèi)似的地方同時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)是對(duì)數(shù)和函數(shù)知識(shí)的拓展與延伸，是解決有關(guān)自然科學(xué)領(lǐng)域中實(shí)際問(wèn)題的重要工具

2學(xué)生學(xué)情分析

對(duì)數(shù)函數(shù)是在指數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ)上，對(duì)函數(shù)主題內(nèi)容的進(jìn)一步研究，二者在研究?jī)?nèi)容和思想方法上存在著緊密的聯(lián)系

知識(shí)經(jīng)驗(yàn)分析學(xué)生在前面剛剛經(jīng)歷指數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)，并且通過(guò)指數(shù)與對(duì)數(shù)的相關(guān)知識(shí)，能夠熟練地掌握了指數(shù)與對(duì)數(shù)的相互轉(zhuǎn)化過(guò)程，所以學(xué)生對(duì)于本節(jié)課的內(nèi)容相對(duì)容易接受

能力水平分析經(jīng)過(guò)前面內(nèi)容的學(xué)習(xí)，學(xué)生具備了基本的數(shù)學(xué)抽象能力、初步的合作探究能力，能夠在數(shù)形結(jié)合的思想方法下借助坐標(biāo)法展開(kāi)研究，但邏輯推理能力需要進(jìn)一步提高

在教學(xué)過(guò)程中，教師要注重創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，實(shí)施啟發(fā)式教學(xué)，幫助學(xué)生加強(qiáng)認(rèn)識(shí)新舊知識(shí)間的區(qū)別與聯(lián)系，掌握對(duì)數(shù)函數(shù)內(nèi)容的同時(shí)，加深對(duì)指數(shù)函數(shù)的理解

3教學(xué)目標(biāo)確定

(1)從“指對(duì)互化”出發(fā)，引出對(duì)數(shù)函數(shù)概念的形式化定義，會(huì)用對(duì)數(shù)函數(shù)的概念判斷對(duì)數(shù)函數(shù)，會(huì)求對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域

(2)探索分析實(shí)際問(wèn)題，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力

4教學(xué)方法與教學(xué)重、難點(diǎn)

教學(xué)方法：?jiǎn)栴}驅(qū)動(dòng)式教學(xué)與信息技術(shù)輔助教學(xué)融合

重點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的概念及其發(fā)現(xiàn)過(guò)程

難點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的發(fā)現(xiàn)及其與指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系

5教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)“從實(shí)際問(wèn)題入手有助于學(xué)生對(duì)函數(shù)概念本質(zhì)的理解”，所以本節(jié)課采取“問(wèn)題驅(qū)動(dòng)式教學(xué)”的形式，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)對(duì)數(shù)函數(shù)，類(lèi)比得出對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，借助學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)概念時(shí)，生物體內(nèi)碳14含量與生物死亡年數(shù)關(guān)系這個(gè)實(shí)際情境來(lái)深化本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容這樣一方面可以減少學(xué)生的認(rèn)知負(fù)荷，起到知識(shí)回顧的作用，方便學(xué)生在后面的學(xué)習(xí)中，在指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)之間建立起相關(guān)聯(lián)系，另一方面可以幫助學(xué)生在本節(jié)課內(nèi)容與實(shí)際問(wèn)題之間建立起聯(lián)系

教師活動(dòng)主要包含創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境、提出問(wèn)題、養(yǎng)成思想方法、恰當(dāng)運(yùn)用過(guò)程評(píng)價(jià)學(xué)生活動(dòng)主要涉及“分析任務(wù)—設(shè)計(jì)方案—解決問(wèn)題—分享交流”環(huán)節(jié)

師：通過(guò)前面內(nèi)容的學(xué)習(xí)我們知道，7=2可以根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)化成=log7，類(lèi)比該轉(zhuǎn)化過(guò)程，請(qǐng)同學(xué)們思考=2可以怎樣表示

生：=log

【設(shè)計(jì)意圖】回顧指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系，利用該關(guān)系將特殊的指數(shù)函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題“轉(zhuǎn)化得到的對(duì)應(yīng)關(guān)系是否也為函數(shù)”，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)

師：我們知道=2是指數(shù)函數(shù)，那么=log是函數(shù)嗎？

師：大家不妨先畫(huà)出=2的圖像，然后根據(jù)函數(shù)概念，結(jié)合圖像進(jìn)行小組探究哪個(gè)小組可以給大家說(shuō)一下呢？

生：我們小組認(rèn)為=log是函數(shù)結(jié)合圖像(圖3)分析可得，任取一值，都能找到唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，滿足函數(shù)概念

圖3

【設(shè)計(jì)意圖】深化“數(shù)形結(jié)合”的思想方法研究問(wèn)題，一方面可以回顧判斷函數(shù)的依據(jù)——函數(shù)的概念，另一方面積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，為下面一般化對(duì)應(yīng)關(guān)系的研究奠定基礎(chǔ)

師：為了更加直觀地得出該結(jié)論，老師利用GeoGebra軟件給大家繪制了以下動(dòng)態(tài)過(guò)程觀察函數(shù)圖像(圖4)，我們可以看到，的取值范圍為(0，+∞)，記為數(shù)集，的取值范圍為，記為數(shù)集由動(dòng)態(tài)過(guò)程可得，在數(shù)集中任取一值，在數(shù)集中都能找到唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)

圖4

【設(shè)計(jì)意圖】利用信息技術(shù)，由“靜態(tài)”到“動(dòng)態(tài)”，再次驗(yàn)證該結(jié)論的正確性，一是彌補(bǔ)孤立點(diǎn)的局限性，增加連續(xù)性；二是呈現(xiàn)形式更加直觀，加深學(xué)生理解，發(fā)展學(xué)生直觀想象素養(yǎng)

師：通過(guò)上述的研究過(guò)程，我們得出=log是函數(shù)下面，我們一起來(lái)回顧一下探究過(guò)程我們知道指數(shù)函數(shù)的一般形式為=(>0，且≠1)，當(dāng)?shù)讛?shù)=2時(shí)，我們得到=2，由指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系將其轉(zhuǎn)化成=log，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)定義結(jié)合圖像判斷得出=log是函數(shù)通過(guò)上述思路，你還能提出什么問(wèn)題嗎？

生：更加一般的對(duì)應(yīng)關(guān)系=log也是函數(shù)嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】由教師提出問(wèn)題，到學(xué)生提出問(wèn)題，一方面可以培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題的能力，另一方面自然引出本節(jié)課的主要研究問(wèn)題

師：?jiǎn)栴}提出得非常好！請(qǐng)大家思考當(dāng)>0，且≠1時(shí)，一般化的=log是函數(shù)嗎？大家可以仿照上述=log的探究過(guò)程，多畫(huà)出幾個(gè)函數(shù)圖像，小組討論一下

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)小組探究活動(dòng)，增加學(xué)生的自主性，經(jīng)歷由特殊到一般的研究過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生合作學(xué)習(xí)、合情推理的能力

師：為了說(shuō)服性更強(qiáng)地得出該結(jié)論，老師以0<<1為例，利用GeoGebra軟件給大家繪制了以下動(dòng)態(tài)過(guò)程觀察函數(shù)圖像(圖5)，我們可以看到，的取值范圍為(0，+∞)，記為數(shù)集，的取值范圍為，記為數(shù)集隨著底數(shù)的變化，由動(dòng)態(tài)過(guò)程可得，在數(shù)集中任取一值，在數(shù)集中依然能找到唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)

圖5

【設(shè)計(jì)意圖】借助信息技術(shù)輔助教學(xué)，結(jié)果更加直觀，理由更加充分

師：通過(guò)上述探究，我們知道=log(>0，且≠1)也是函數(shù)通常，我們用表示自變量，表示函數(shù)因此，我們將字母和對(duì)調(diào)，寫(xiě)成=log(>0，且≠1)這就是我們今天要學(xué)習(xí)的對(duì)數(shù)函數(shù)的表達(dá)式定義域也就是數(shù)集，即(0，+∞)

師：下面老師給出四個(gè)函數(shù)，請(qǐng)各小組根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)表達(dá)式，判斷它們是否為對(duì)數(shù)函數(shù),并思考一下判斷函數(shù)是否為對(duì)數(shù)函數(shù)的依據(jù)是什么

例：給出下列函數(shù)

(1)=log(3-2) (2)=2log03

師：聽(tīng)完同學(xué)們的匯報(bào)，我們發(fā)現(xiàn)各小組的結(jié)果有些出入，下面我們一起來(lái)看一下首先，觀察對(duì)數(shù)函數(shù)的表達(dá)式，我們可以看到對(duì)數(shù)符號(hào)前系數(shù)為1，因此(2)不是對(duì)數(shù)函數(shù)；其次，我們可以看到對(duì)數(shù)的底數(shù)大于零且不等于1，因此(3)不是對(duì)數(shù)函數(shù)；最后，我們可以看到對(duì)數(shù)的真數(shù)僅有自變量，因此(1)不是對(duì)數(shù)函數(shù)，只有(4)是對(duì)數(shù)函數(shù)通過(guò)上述觀察，我們就得到了判斷對(duì)數(shù)函數(shù)的三點(diǎn)依據(jù)

【設(shè)計(jì)意圖】加深學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解，確定判斷對(duì)數(shù)函數(shù)的主要依據(jù)，便于學(xué)生厘清對(duì)數(shù)函數(shù)表達(dá)式結(jié)構(gòu)

師：我們剛學(xué)習(xí)的對(duì)數(shù)函數(shù)概念能解決什么問(wèn)題呢？請(qǐng)同學(xué)們思考下面的問(wèn)題

問(wèn)題1：當(dāng)生物死亡后，它機(jī)體內(nèi)原有的碳14含量會(huì)按確定的比率衰減(稱為衰減率)，大約每經(jīng)過(guò)5730年衰減為原來(lái)的一半，這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”按照上述變化規(guī)律，生物體內(nèi)碳14含量與死亡年數(shù)之間有怎樣的關(guān)系？

師：如果設(shè)死亡生物體內(nèi)碳14含量為，死亡年數(shù)為，那么二者間存在什么關(guān)系？

【設(shè)計(jì)意圖】回顧研究指數(shù)函數(shù)時(shí)的事例，一方面是因?yàn)閷W(xué)生熟悉，可以減小認(rèn)知負(fù)荷；另一方面這可以方便學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)中，在指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)之間建立起相關(guān)聯(lián)系

問(wèn)題2：考古學(xué)家每發(fā)現(xiàn)一個(gè)死亡生物體內(nèi)的碳14含量就可以求出它的死亡年數(shù)嗎？你能給出具體的關(guān)系式嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】深化對(duì)數(shù)函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，幫助學(xué)生在本節(jié)課內(nèi)容與實(shí)際問(wèn)題之間建立起聯(lián)系

圖6 圖7

如圖6所示，教師在黑板左側(cè)梳理對(duì)數(shù)函數(shù)概念及其判斷依據(jù)；黑板中間播放PPT；如圖7所示，教師在黑板右側(cè)板演例題及實(shí)際問(wèn)題的解決過(guò)程

7作業(yè)與拓展學(xué)習(xí)

必做題：課后練習(xí)1

求下列函數(shù)的定義域：

選做題：教材例2

假設(shè)某地初始物價(jià)為1，每年以5%的增長(zhǎng)率遞增，經(jīng)過(guò)年后物價(jià)為

(1)該地的物價(jià)經(jīng)過(guò)幾年會(huì)翻一番？

(2)填寫(xiě)下表，并根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，說(shuō)明該地物價(jià)的變化規(guī)律

物價(jià)x12345678910年數(shù)y0

【設(shè)計(jì)意圖】安排分層作業(yè)，使大部分學(xué)生都可以在各自的水平上有所收獲和提高，為今后的學(xué)習(xí)探究打下基礎(chǔ)必做題主要考查學(xué)生對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)概念的掌握程度，選做題主要考查學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力

三、設(shè)計(jì)思想解析

1突出知識(shí)結(jié)構(gòu)主線，問(wèn)題驅(qū)動(dòng)式教學(xué)

教師精心設(shè)計(jì)探究過(guò)程，從特殊的指數(shù)和對(duì)數(shù)間的關(guān)系到一般的指數(shù)和對(duì)數(shù)間的關(guān)系，引出對(duì)數(shù)函數(shù)定義，在這個(gè)過(guò)程中，教師讓學(xué)生動(dòng)手作圖，結(jié)合函數(shù)概念分析函數(shù)圖像，既培養(yǎng)了學(xué)生自主探究知識(shí)的能力，又能讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的圖形美

2運(yùn)用GeoGebra動(dòng)態(tài)繪圖軟件設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

本節(jié)課設(shè)計(jì)中教師使用的是GeoGebra動(dòng)態(tài)繪圖軟件，它能夠?qū)崟r(shí)改變對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)值，同時(shí)或繼時(shí)呈現(xiàn)不同底數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像特征，方便學(xué)生觀察、分析、總結(jié)對(duì)數(shù)函數(shù)的變化規(guī)律現(xiàn)代信息技術(shù)的深度融入，對(duì)于提高教師的教學(xué)效率和學(xué)生的直觀素養(yǎng)具有良好的促進(jìn)作用

3注重教學(xué)設(shè)計(jì)、課堂教學(xué)與學(xué)業(yè)評(píng)價(jià)的一致性

本節(jié)課按照《課標(biāo)》的要求，基于教材的內(nèi)容，通過(guò)設(shè)置問(wèn)題串，合理編排教學(xué)內(nèi)容，合理安排教學(xué)過(guò)程，幫助學(xué)生構(gòu)建出自主、合作、探究的學(xué)習(xí)方式，使其在教師的指導(dǎo)下完成對(duì)數(shù)函數(shù)概念的探究與學(xué)習(xí)

在作業(yè)布置方面，教師考慮到學(xué)生的差異性，作業(yè)采取分層設(shè)計(jì)的形式，作業(yè)布置一道必做題，一道選做題，既不加重學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，又盡可能發(fā)揮學(xué)生的潛能，滿足不同數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平的學(xué)生的發(fā)展需求