基于牛頓迭代法的改進預(yù)估

姚夢媛，盧長娜

(1.南京信息工程大學(xué) 大氣科學(xué)學(xué)院，江蘇 南京 210044；2.南京信息工程大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，江蘇 南京 210044)

0 引 言

在工程與科學(xué)計算中，有著大量的非線性方程f(x)=0求根問題，其中很多問題是無法求得精確解x*的，一般通過數(shù)值方法求近似解x.迭代法是方程求根問題中常用的數(shù)值方法.

牛頓法(Newton-Raphson method，簡稱NR法)具有簡單的迭代格式和較快的收斂速度[1].近年來，很多學(xué)者對其進行了廣泛研究，并提出了各種改進的牛頓法.

文獻[2]提出了算術(shù)平均牛頓法(Trapezoidal Newton Method，簡稱TN法)，并利用梯形公式近似定積分，證明了該方法三階收斂.其具體迭代格式為：

文獻[3]提出了Simpson牛頓法(Simpson Newton Method，簡稱SN法)，并利用Simpson公式代替文獻[2]中的梯形公式，證明了該方法三階收斂.其具體迭代格式為：

文獻[4]～[7]分別利用其他數(shù)值積分代替f(x)，提出了與文獻[2]和[3]不同的數(shù)值積分型牛頓迭代格式.文獻[8]利用Simpson格式的反函數(shù)，提出了兩種二階收斂Homeier Simpson牛頓法，簡稱HSN和HSN1方法，即：

和

當一階導(dǎo)數(shù)趨于0時，牛頓迭代格式無法進行，只能以文獻[4]～[7]的牛頓類迭代格式為預(yù)估，以TN法為校正.而文獻[9]和[10]提出的五階牛頓法和帶參數(shù)的四階牛頓弦截法很好地克服了該缺點.文獻[11]以先預(yù)估后矯正的思想為基礎(chǔ)，提出了一類至少具有二階收斂速度的含雙參數(shù)的改進型牛頓迭代法.

基于以上研究，本文將牛頓法與數(shù)值積分結(jié)合，采用高斯公式進行數(shù)值積分，提出一種新的迭代方法——高斯-勒讓德牛頓法(Gauss-Legendre Newton Method，簡稱GN法)，并給出收斂階證明.

1 衡量參數(shù)

為描述迭代法的收斂精度和收斂速度，本文采用以下衡量參數(shù):

收斂階[1]：設(shè)迭代格式xn+1=φ(xn)收斂于方程x=φ(x)的根x*，若存在非零常數(shù)C，當n→∞時，使得迭代誤差en=xn-x*成立.其漸進關(guān)系式為：

則稱該迭代格式p階收斂.

效率指數(shù)[1]：設(shè)迭代序列{xn}收斂階為p，每步迭代計算量為ω，則稱

為迭代序列的效率指數(shù).

2 高斯-勒讓德牛頓法算法的構(gòu)造

設(shè)f(x)∈C[a,b]，xn近似x*，f(x)為：

(1)

對式(1)中的定積分采用兩點高斯-勒讓德數(shù)值求積公式[1]，得：

(2)

將x*代入式(2)，并用xn+1代替x*，得到迭代格式：

(3)

式(4)的xn+1是隱函數(shù)，不易求解，因此提出預(yù)估-校正式：

(4)

式(4)是結(jié)合牛頓法和兩點高斯-勒讓德公式提出的，稱為高斯-勒讓德牛頓法(GN法).

3 收斂性分析

定理1設(shè)f(x)及各階導(dǎo)數(shù)在根x*的某個鄰域內(nèi)連續(xù)，初值x0充分接近x*，則以下兩個結(jié)論成立：

(a) 若x*是f(x)的單根，則由式(4)定義的GN法至少三階收斂;

(b) 若x*是f(x)的重根，則由式(4)定義的GN法線性收斂.

證明(a)x*是f(x)的單根，則f(x*)=0、f′(x*)≠0.設(shè)f(x)充分光滑，將f(xn)在x*處展開，有：

(5)

(6)

(7)

(8)

由收斂階定義知，當x*是f(x)的單根時，由式(4)定義的GN方法至少三階收斂.

(b)x*是f(x)的重根(這里以二重根為例，二重以上的根可類似證明)，則有f(x*)=0、f′(x*)=0和f″(x*)≠0.仿照(a)中的證明方法，可以得到誤差方程：

(9)

因此，當x*是f(x)的重根時，由式(4)定義的GN方法線性收斂.

衡量迭代方法的優(yōu)劣，不僅可以比較收斂階，還可以考察該方法的效率指數(shù).用eSN、eGN分別表示Simpson牛頓法和高斯-勒讓德牛頓法的效率指數(shù)，可以得到以下結(jié)論：

定理2在定理1的條件下，高斯-勒讓德牛頓法的效率指數(shù)大于Simpson牛頓法的效率指數(shù)，即eGN>eSN.

證明設(shè)f(x)與f′(x)的計算量相同，均為q.由于在兩者的每一次迭代中均需計算1次函數(shù)值和3次導(dǎo)數(shù)值，而GN法還需計算1次乘法和2次除法，SN法還需各計算2次乘法和除法，則：

(10)

顯然，eGN>eSN.

4 數(shù)值實驗與分析

下面通過6個不同的方程來驗證GN算法的收斂速度，并與NR法、TN法和SN法進行比較.

從不同文獻中選取6個經(jīng)典的測試方程.(a)～(f)函數(shù)依次是多個根，但僅有一個根為重根、多個根且均為單根、多個根且均為重根、單根且單重根(涉及三角函數(shù))、單根且多重根、 單根且單重根(涉及指數(shù)函數(shù))的代表函數(shù)，x*為精確解.

取測試函數(shù)為：

(b)x2-ex-3x+2=0,x*≈0.257 530 285 439 860 8；

(d) sin(x-1)+x-1=0,x*=1；

(e)x5-10=0,x*≈1.584 893 192 461 113 4；

(f) (x-1)e-x=0,x*=1.

表1中，f(x)表示測試函數(shù)，x0表示迭代初值，N表示滿足終止條件|en|≤10-10所需要的迭代次數(shù).由表1可以看出，當選取不同的初值時，NGN≤NSN≤NTN≤NNR，說明對任意初值，GN均能較快收斂，且迭代次數(shù)少.當初值選取不夠恰當時，NNR?NGN(如函數(shù)(c)中兩種情況)，且部分情況NTN?NSN?NGN(如函數(shù)(a)中的初值取1.5時).可見，當選取不同初值時，4種方法的收斂速度差異較大，其中GN法的適應(yīng)性明顯強于其他方法.因此，在相同的誤差要求下，對任意初值x0，采用GN法能達到Nmin的概率最大，其收斂可能最快.

表1 不同方程求根時各種迭代格式所需要的迭代次數(shù)

5 基于GN法的高溫光譜溫度反演

光譜輻射測溫屬于非接觸測溫，其建立的理論基礎(chǔ)是普朗克定律.而基于光譜數(shù)據(jù)在溫度和反射率分離過程中建立的是不定方程組.為解決n個方程包含n+1個未知數(shù)的欠定問題，下面利用GN法來實現(xiàn)材料表面真溫的反演計算，并通過迭代得到溫度的近似值.

普朗克定律[13]描述了當溫度為T時，處于熱平衡狀態(tài)的絕對黑體發(fā)射輻射規(guī)律，即單色輻射強度隨波長變化的關(guān)系為：

式中，B(λ,T)為輻射能量，T為溫度，λ為波長，普朗克常數(shù)h=6.626×10-34 J·s，波爾茲曼參數(shù)k=1.3 806×10-23 J·K，真空中的光速c=3×108m/s.

單色發(fā)射率[12]為物體發(fā)射單色輻射與相同溫度絕對黑體在相同波長發(fā)射單色輻射能量的比值，即：

式中，M(λ,T)為單位立體角的輻射強度，ε(λ,T)為物體的光譜發(fā)射率.

在高溫光譜溫度和發(fā)射率的反演研究中[14]，可以對以下非線性方程求根：

在理論光譜模型[13]中，取T=1 373 K，波長λ處于500～800 nm之間，物體發(fā)射率ε=0.86.利用GN法來反演溫度，分別考察溫度初值和發(fā)射率初值對溫度反演結(jié)果的影響.

首先，考察不同溫度初值對溫度結(jié)果的反演影響，采用GN法迭代4次，數(shù)值結(jié)果如表2所示.假定發(fā)射率ε=0.86，當溫度初值從1 273 K增加到17 373 K時，反演結(jié)果的相對誤差均小于10-6.由此認為，溫度初值的選取對溫度的反演結(jié)果幾乎沒有影響.

表2 不同溫度初值的溫度反演結(jié)果(實際溫度為1 373 K，取發(fā)射率為0.86)

其次，考察不同發(fā)射率對溫度反演的影響，假定溫度初值為T=1 373 K，當發(fā)射率從0.2遞增到1.0時，數(shù)值結(jié)果見表3.反演溫度受發(fā)射率的影響，且有明顯波動，相對誤差均不超過7.5%，其中發(fā)射率ε=0.7～1.0，其相對誤差均不超過1%.表4和表5的溫度初值分別取表1中溫度初值的最小值和最大值進行再次反演，并分別將反演溫度和相對誤差結(jié)果取小數(shù)點后9位和12位進行比較.當ε=0.7～1.0時，兩表中對應(yīng)的不同ε的反演溫度相差不足0.000 75.由此看出，發(fā)射率的影響覆蓋了溫度初值對高溫反演的影響.然而，在實際應(yīng)用中，只要人為控制好發(fā)射率ε與真實值的差距不超過0.2，就可以反演出誤差極小的近似溫度.在文獻[13]中可以發(fā)現(xiàn)，發(fā)射率ε控制在與實際發(fā)射率±0.2的范圍內(nèi)是很容易的.

表3 不同發(fā)射率初值的溫度反演結(jié)果(設(shè)溫度初值為1 373 K)

表4 不同發(fā)射率初值的溫度反演結(jié)果(設(shè)溫度初值為1 273 K)

表5 不同發(fā)射率初值的溫度反演結(jié)果(設(shè)溫度初值為17 373 K)

數(shù)值結(jié)果表明，在利用GN法進行溫度反演時，溫度反演結(jié)果對溫度和發(fā)射率初值的依賴較小.在真實溫度和實際發(fā)射率未知的條件下，只需根據(jù)高溫光譜和任意給定溫度，并采用合適的辦法估計發(fā)射率，即可反演出高度真實的高溫溫度.

與牛頓法反演結(jié)果相比，無論是溫度初值不同，還是發(fā)射率初值不同，文獻[13]反演的相對誤差明顯大于表2和表3的相對誤差.由此說明，在該問題上，GN法比牛頓法具有更加穩(wěn)定的反演效果，且可以得到更加精確的反演結(jié)果.

6 結(jié) 語

本文基于牛頓迭代法和數(shù)值積分，提出一種非線性方程求根的新的三階迭代格式——高斯-勒讓德牛頓法(GN法).數(shù)值算例結(jié)果表明，與其他同階改進的牛頓迭代法相比，GN法的效率指數(shù)大于SN法，即在相同的誤差條件下，GN法的計算量較小，效率較高；在直接考察牛頓法和具有類似思想的3種改進方法時，GN法的迭代次數(shù)最少，收斂速度最快；即使對具有相同收斂階的TN法和SN法，GN的收斂速度也是最快的.另外，將新方法應(yīng)用于材料表面真溫的反演計算中，發(fā)現(xiàn)GN法的溫度反演效果明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的牛頓法.可見，本文提出的GN法有較快的收斂速度和較高的效率指數(shù)，在實際應(yīng)用中具有一定的優(yōu)越性.