3 階三角矩陣環(huán)上的Gorenstein 投射模及其維數(shù)

楊 瑞，王 淼，王占平

(西北師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，甘肅 蘭州 730070)

1969 年，Auslander 等[1]研究了雙邊Noether 環(huán)是上G-維數(shù)為0 的有限生成模.1993—1995 年，Enochs等[2-3]定義了任意環(huán)R上 的Gorenstein 投射模、Gorenstein 內(nèi)射模和Gorenstein 平坦模.2009 年，陳小松等[4]研究了Neother 整環(huán)上的復合Groebner 基.設(shè)A，B是環(huán)，U是 (B，A)-雙模，是2 階三角矩陣環(huán).當T是Artin 代數(shù)時，2012—2013 年，Xiong 等[5-6]討論了在什么條件下T是Gorenstein 代數(shù)，并對Gorenstein 投射左T-模進行了研究.2014 年，Enoches 等[7]引入了Gorenstein 正則環(huán)，并在這個環(huán)上給出了左T-模是Gorenstein 投射(內(nèi)射)模的充要條件.2011 年，Enoches 等[8]對n階三角矩陣環(huán)的同調(diào)性質(zhì)進行了研究.2015 年，朱榮民等[9]在Gorenstein 正則環(huán)的條件下，研究了n階三角矩陣環(huán)的Gorenstein 投射模及其維數(shù).2016，朱榮民等[10]進一步研究了三角矩陣環(huán)T上模的Gorenstein 同調(diào)維數(shù).2020 年，Li 等[11]在較弱條件下，給出了T-模是Gorenstein 投射模的充要條件.

受文獻[9]結(jié)論的啟發(fā)，本文主要研究3 階三角矩陣環(huán)上的Gorenstein 投射模及其維數(shù).在較弱條件下，得到了一個模是3 階三角矩陣環(huán)上的Gorenstein 投射模的等價刻畫，并研究了3 階三角矩陣環(huán)上模的Gorenstein 投射維數(shù).

本文提到的環(huán)均指有單位元的結(jié)合環(huán)，模指酉模.設(shè)R是環(huán)，我們用R-Mod(Mod-R)表示左(右)R-模范疇，P(R)表示所有投射左R-模構(gòu)成的類.pdRM，idRM，GpdRM和fdMR分別表示左R-模M的投射維數(shù)、內(nèi)射維數(shù)、Gorenstein 投射維數(shù)和右R-模M的平坦維數(shù).

根據(jù)文獻[8]定義1.1，設(shè)Ai(i=1,2,3)均是環(huán)，對每個1≤j

T按矩陣的加法和乘法做成環(huán)，稱為3 階三角矩陣環(huán).

設(shè)T是3 階三角矩陣環(huán).我們總假設(shè)U32?A2U21?U31.

首先回顧Gorenstein 投射模的定義.

定義 1[12]稱左R-模M是Gorenstein 投射模，如果存在投射左R-模的正合列

定義 2[12]設(shè)M是左R-模.M的Gorenstein 投射維數(shù)GpdRM=inf{n∈N|存在R-模正合列0 →Gn→···→G1→G0→M→0，其中Gi是Gorenstein 投射R-模，i=1,2,···,n}.若這樣的n不存在，則令GpdRM=∞.

定義 3[13]設(shè)···是M的投射分解.令K0=M,Ki=cokerdi+1,i=1,2,···.稱Ki是M的第i個合沖.

下面給出幾個引理，主要用于刻畫3 階三角矩陣環(huán)上的Gorenstein 投射模.

引理 1[11]對任意環(huán)R，以下成立：

(1) 設(shè) X?是正合序列，每個Xi∈P(R),M∈R?Mod.若idRM<∞，則HomR(X?,M)正合.設(shè) X?是完全投射分解.若pdRM<∞，則HomR(X?,M)正合.

(2) 設(shè) X?是正合序列，每個Xi∈P(R),M∈R?Mod.若fdMR<∞，則M?RX?正合.

顯然，函子 pi保持投射對象.在文獻[9]中，作者證明了：在左Gorenstein 環(huán)上，函子 pi保持Gorenstein 投射對象.下面我們在更弱的條件下，即一般環(huán)上，得到了3 階三角矩陣環(huán)上的類似結(jié)論.

命題 1設(shè)T是3 階三角矩陣環(huán).Uij(1 ≤j

因為pdU21<∞，所以U21?A1X1同構(gòu)于U21的拷貝直和的直和項，于是U21?A1X1投射維數(shù)有限.設(shè)pd(U21?A1X1)=m，則有左A2-模的正合列

文獻[9]中，作者在Gorenstein 正則環(huán)的條件下，給出了Gorenstein 投射左T-模的等價刻畫，以及Gorenstein 投射維數(shù)的刻畫.下面我們在較弱的條件下，即一般環(huán)上，給出3 階三角矩陣環(huán)上類似的刻畫.

每個復形Fj?Aiqi(P?)(0 ≤j≤m)零調(diào)，由文獻[13]定理6.3 得Uki?Aiqi(P?)零調(diào).考慮交換圖

證明(1)?(2)因為GpdM≤m，所以有正合列