王欣怡,郭志東
(安慶師范大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,安徽 安慶 246133)
期權(quán)是一種基礎(chǔ)的金融衍生品,主要分為歐式期權(quán)和美式期權(quán)兩種類型。隨著全球經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展,為了吸引更多投資者購買期權(quán),金融機(jī)構(gòu)在兩種基礎(chǔ)期權(quán)之上又設(shè)計(jì)出了符合投資者特殊需求的新型期權(quán)產(chǎn)品?;赝跈?quán)是其中一種重要的新型期權(quán),它能夠選取最高價(jià)格或者最低價(jià)格去實(shí)施期權(quán),因此可以獲得的收益比歐式期權(quán)等的收益要高,致使回望期權(quán)的價(jià)格比普通期權(quán)更貴一些。與歐式期權(quán)相比,回望期權(quán)涉及價(jià)格變化路徑,其定價(jià)也更加復(fù)雜。徐蕾等研究了隨機(jī)波動率模型下的回望期權(quán)定價(jià)公式[1],柴婧婧等對雙混合分?jǐn)?shù)Heston模型下的回望期權(quán)進(jìn)行了模擬分析[2]。桑利恒等研究了分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動模型下的回望期權(quán)定價(jià)問題[3],陳海珍等和顧哲煜分別研究了回望期權(quán)在混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動模型和混合雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動模型下的定價(jià)問題[4-5]。賈念念等研究了基于CIR隨機(jī)房價(jià)波動率下的回望看跌期權(quán)定價(jià)問題[6]。王偉偉等研究了分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散模型下回望期權(quán)的定價(jià)[7]。在上述文獻(xiàn)中,標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變化的隨機(jī)驅(qū)動源通常為布朗運(yùn)動和分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動,它們都無法刻畫資產(chǎn)價(jià)格波動的常值周期性特征,但是這一特征在交易量較少的新興市場和利率市場中非常常見。為了刻畫原生資產(chǎn)價(jià)格變化常值周期性的特征,M.Magdziarz提出了次擴(kuò)散幾何布朗運(yùn)動,并建立了次擴(kuò)散Black-Scholes模型[8]。本文把次擴(kuò)散過程引入到回望期權(quán)的定價(jià)模型中,以期研究回望期權(quán)在次擴(kuò)散機(jī)制下的定價(jià)問題。
次擴(kuò)散幾何布朗運(yùn)動定義為Sα(τ)=S(Tα(t)),其中,母過程S(t)為幾何布朗運(yùn)動,
下面,我們在次擴(kuò)散幾何布朗運(yùn)動的基礎(chǔ)上,建立回望期權(quán)的次擴(kuò)散模型。
假設(shè):(1)沒有交易成本、保證金和稅收;(2)股票不支付紅利;(3)所有投資者可以以同樣的短期利率借貸;(4)V是回望看跌期權(quán)的定價(jià),V=V(S,J,t),其中J是路徑依賴變量原生資產(chǎn)價(jià)格S的變化服從次擴(kuò)散幾何布朗運(yùn)動。
由于式(2)~(4)很難用解析方法求解,所以,我們利用有限差分方法求解問題,以期進(jìn)一步給出回望期權(quán)在次擴(kuò)散機(jī)制下的定價(jià)。
利用有限差分法對次擴(kuò)散過程下的回望看跌期權(quán)進(jìn)行數(shù)值分析。首先,將時(shí)間從0時(shí)刻至期權(quán)到期日T時(shí)刻劃分成N個(gè)等間隔的小時(shí)間段,Δt=T/N,從而得到0,Δt,2Δt,3Δt,…,T等N+1個(gè)時(shí)間節(jié)點(diǎn)。取股票的最高價(jià)格為Smax,股票初始價(jià)格為S0,股票價(jià)格從S0到Smax劃分成M個(gè)小區(qū)間,ΔS=Smax/M,得到S0,ΔS,2ΔS,3ΔS,…,Smax等M+1個(gè)股票價(jià)格,從而構(gòu)造出有(N+1)×(M+1)個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)方格,Vi,j是回望看跌期權(quán)在對應(yīng)時(shí)刻為iΔt、股票價(jià)格為jΔS的價(jià)值。
邊界條件:當(dāng)S=0 時(shí),期權(quán)價(jià)格為Vi,0=0,i=0,1,2,…,N;當(dāng)S=0 時(shí),期權(quán)價(jià)格為Vi,M=0,i=0,1,2,…,N;當(dāng)t=T時(shí),期權(quán)價(jià)格為VN,j=max(Smax-ST,0)=max(Smax-jΔS,0),j=0,1,2,…,M。
根據(jù)以上數(shù)值計(jì)算的理論表達(dá)式進(jìn)行數(shù)值模擬。在有效期內(nèi)設(shè)期權(quán)的最大值為100元,參數(shù)取值:(1)T=5/12,r=0.2,σ=0.02,M=100,N=100,參數(shù)α取不同值時(shí)的回望期權(quán)價(jià)格計(jì)算結(jié)果如表1所示。(2)T=5/12,r=0.2,α=0.6,σ=0.02,M=100,N取不同值時(shí)的回望期權(quán)價(jià)格計(jì)算結(jié)果如表2所示。
表1 參數(shù)α取不同值時(shí)的回望期權(quán)價(jià)格(單位/元)
表2 N取不同值時(shí)的回望期權(quán)價(jià)格(單位/元)
從表1可以看出,在次擴(kuò)散參數(shù)α取不同數(shù)值時(shí),隨著股票價(jià)格增加,期權(quán)價(jià)格逐漸減小。從表2可以看出,不同差分時(shí)間段數(shù)值N下的期權(quán)價(jià)格存在差異,劃分時(shí)間的步數(shù)越大,得到的期權(quán)價(jià)格越精確。
綜上所述,在研究期權(quán)定價(jià)問題時(shí),求出期權(quán)定價(jià)公式的顯示解表達(dá)式能夠快速計(jì)算出期權(quán)的數(shù)值。本文運(yùn)用有限差分方法得到了次擴(kuò)散過程下回望期權(quán)的數(shù)值解,減少了求解公式產(chǎn)生的大量計(jì)算步驟,因此更加便捷。從數(shù)值計(jì)算結(jié)果可以看出,期權(quán)價(jià)格隨著股票價(jià)格的增大而減小,時(shí)間步數(shù)越大,期權(quán)價(jià)格就會更加精確。不足之處在于我們只研究了歐式回望期權(quán)的定價(jià),后續(xù)可以深入研究美式回望期權(quán)、帶有支付紅利的回望期權(quán)定價(jià)模型。