平面爆破P波擾動下深埋圓形襯砌隧道瞬態(tài)動力響應解析解研究*

李 梅，高鑫鑫，梅萬全，雷 濤，韓高升，潘鵬志，張義云

(1.武漢理工大學 a.資源與環(huán)境工程學院；b.土木工程與建筑學院，武漢 430070；2.中國科學院 武漢巖土力學研究所巖土力學與工程國家重點實驗室，武漢 430071)

深埋長大隧道工程鉆爆法施工過程中，產(chǎn)生的瞬態(tài)應力波會嚴重擾動既有隧道，對既有隧道造成的破壞不可忽視。因此，計算地下結構在動荷載下的動力響應解進而分析其變化特點具有重要意義。

目前，對爆破擾動下隧道結構動力響應計算多集中在穩(wěn)態(tài)分析，其解析解多以波函數(shù)展開法為基礎。Yi等通過對深埋圓形襯砌隧道在平面P波作用下襯砌隧道的動應力集中系數(shù)(DSCF)進行解析計算[1]，研究了高頻及低頻入射波情況下動力影集中系數(shù)的變化規(guī)律，以及圍巖不同位置上爆破波主頻和圍巖物理力學指標對動應力集中系數(shù)的影響[2,3]；在此基礎上，F(xiàn)an等在接觸面處引入線性彈簧模型[4]，系統(tǒng)研究巖體和襯砌的無量綱波數(shù)、界面彈簧常數(shù)和襯砌厚度對動應力集中系數(shù)的影響；Lu等通過計算圓形隧道圍巖質點速度響應的解析解[5]，分析波源與隧道軸線的比例距離和隧道波長半徑比對徑向速度比例因子(RVSF)和環(huán)向速度比例因子(HVSF)的影響。

然而，實際工程施工擾動以瞬態(tài)波的形式傳播，對穩(wěn)態(tài)波的研究成果不能全面描述瞬態(tài)波擾動對結構的動態(tài)影響。因此，在穩(wěn)態(tài)解的基礎上，部分學者用數(shù)值逆變換或梯形求積等方法對瞬態(tài)彈性波入射時無限彈性介質中隧道的解析解及動力響應影響進行了研究[6-10]。梅萬全等采用Den Iseger法數(shù)值逆變換，推導了深埋無襯砌隧道瞬態(tài)響應的理論公式[6]，采用彈塑性細胞自動機中的動力模塊模擬爆破引起的彈塑性動力響應，研究隧道不同位置的動應力集中系數(shù)及徑向和環(huán)向速度比例系數(shù)變化。Li等首次推導出了定量評估爆破荷載作用下圓形隧道周圍相對速度的理論公式[7]，從理論上詳細研究了波長與隧道直徑比對振動速度放大效應的影響。Li等用梯形求積法[8-10]，計算深埋無襯砌隧道的動應力、速度和位移等瞬態(tài)響應理論解，并采用二維PFC數(shù)值模型對理論分析進行了驗證，研究靜態(tài)地應力和動態(tài)卸荷波耦合作用下既有隧道的破壞特征，并進一步從瞬態(tài)波的卸荷速率、卸荷路徑、地應力及開挖半徑等角度分析隧道周圍的動力響應。

由上可知，對爆破擾動下深埋隧道結構的動力響應瞬態(tài)解研究目前主要集中在無襯砌隧道，采用數(shù)值逆變換法和梯形求積法求解無襯砌隧道的動力響應，且對接觸面處和隧道內(nèi)的動力響應研究比較少。而實際工程中大多隧道有襯砌，故開展爆破擾動下有襯砌隧道結構瞬態(tài)動力響應研究很有必要。鑒于相同計算精度下，數(shù)值逆變換法求解及編程復雜，因此，論文以深埋圓形有襯砌隧道為研究對象，采用波函數(shù)展開法和梯形求積，計算平面爆破P波擾動下隧道瞬態(tài)動力響應解析解，分析爆破擾動對隧道接觸面處和隧道內(nèi)不同位置的動應力集中系數(shù)(DSCF)及徑向(RVSF)和環(huán)向(HVSF)速度比例系數(shù)的影響。

1 爆破P波(瞬態(tài))擾動下深埋圓形襯砌隧道動力響應解析解

研究爆破P波對有襯砌隧道瞬態(tài)動力響應，可在穩(wěn)態(tài)解的基礎上進行，即通過對P波動力擾動的穩(wěn)態(tài)解進行梯形求積，求得瞬態(tài)解析解，進而分析圍巖及隧道結構的動力響應特征。

圖1所示為位于無限空間介質中的深埋圓形襯砌隧道模型，圍巖和襯砌均為彈性、均質和各向同性材料，且隧道無限長，可將該模型視為平面應變模型。隧道襯砌內(nèi)半徑為a，外半徑為b，爆破P波沿X軸正向傳播。

圖 1 爆破P波擾動下深埋圓形襯砌隧道模型Fig. 1 Model of deep circular lining tunnel under blasting P-wave disturbance

1.1 深埋圓形襯砌隧道波場分析

根據(jù)圖1，平行入射穩(wěn)態(tài)平面P波可表示為[11]

φ(i)=φ0ei(αsx-ωt)

(1)

利用波函數(shù)展開法，上式可寫為

(2)

式中：φ0為入射P波波幅；αs=ω/Cps為圍巖介質的縱波波數(shù)；ω為入射波頻率；Cps為襯砌中的P波波速；i為虛數(shù)單位；r為隧道半徑；Jn為第一類n階Bessel函數(shù)，其中，當n=0時，εn=1，當n>0時，εn=2。

當入射P波傳播圍巖與襯砌之間的接觸面時，接觸面的存在使巖體中產(chǎn)生反射P波和反射SV波，可由第一類Hankel函數(shù)分別表示為

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

1.2 邊界條件和穩(wěn)態(tài)P波擾動下的動力響應解析解

假設圍巖與襯砌之間理想接觸，即位移和應力連續(xù)

當r=b時

(9)

當r=a時

(10)

式中：σrrs、σrθs分別表示圍巖內(nèi)的法向應力和切向應力；σrrL、σrθL分別表示襯砌內(nèi)的法向應力和切向應力。

邊界條件結合應力和位移勢關系，即可得待定系數(shù)An、Bn、Cn、Mn、Dn、Nn。

圍巖和隧道襯砌內(nèi)P波在傳播方向上的應力強度可分別定義為

(11)

(12)

以此做歸一化因子，定義隧道邊界處的動應力集中系數(shù)(DSCF)為[6]

(13)

(14)

式中：σθθs、σθθL分別表示圍巖和襯砌內(nèi)質點的環(huán)向應力，其中，下標S、L分別表示圍巖和襯砌。

使用類似的方法，用質點速度峰值的大小v0s=αsωφ0·e-iωt，v0L=αLωφ0·e-iωt將徑向速度和環(huán)向速度歸一化，定義徑向和環(huán)向速度比例因子(RVSF)和(HVSF)為

(15)

(16)

(17)

(18)

1.3 瞬態(tài)P波擾動下動力響應解析解

在上節(jié)所求的穩(wěn)態(tài)P波擾動下隧道動力響應解析解的基礎上，推導瞬態(tài)解析解，從而分析瞬態(tài)P波擾動下隧道的動力響應。

參考既有文獻[12-14]，用三角形爆破荷載函數(shù)定義爆破荷載的時間歷程，即式(19)

(19)

圖1模型中，入射波到達襯砌外邊界時開始計時(即r=b時時間為零)。經(jīng)過的時間t被歸一化為通過外半徑b所需的時間

τ=Cpst/b

(20)

通過傅里葉變換，任意輸入函數(shù)f(t)引起的彈性系統(tǒng)瞬態(tài)響應可表示為

(21)

式中：χ(xi,ω)為系統(tǒng)的導納函數(shù)，為單位振幅下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應，可用公式(13)～(18)表示；F(ω)為爆破荷載函數(shù)(擾動函數(shù))f(t)的傅里葉變換。

沿隧道邊界輸入的爆破荷載函數(shù)f(t)的傅里葉變換F(ω)用Heaviside階躍函數(shù)的傅里葉變換表示

(22)

式中：Re(ζ)=αsb。

系統(tǒng)的導納函數(shù)可以簡化為

χ(xi,ω)=R(ω)+iI(ω)

(23)

式中：R(ω)和I(ω)表示頻率響應的實部和虛部。

對于因果函數(shù)，可用正弦函數(shù)表示瞬態(tài)響應，通過Heaviside階躍函數(shù)輸入引起的脈沖響應，可以用下式積分表示

(24)

根據(jù)Duhamel積分，任意擾動函數(shù)f(t)的動態(tài)響應表示如下

(25)

當0≤t

(26a)

當tr≤t

(26b)

當t≥ts

(26c)

式中，R(ω)由公式(13)～(18)的實部表示[7,8]，根據(jù)公式(26)及梯形求積法即可確定爆破荷載作用下隧道的瞬態(tài)響應解析解。

2 梯形求積法解析解結果有效性驗證

為了驗證梯形求積法求得的解析結果的正確性，運用FLAC3D軟件和工程巖體破裂過程分析軟件(CASRock)中的動力分析模塊CASRock.Dyna計算的數(shù)值結果與Matlab計算的解析解進行對比驗證[15-19]。

選取文獻[6]中的算例，隧道橫斷面為圓形，內(nèi)徑a=6.0 m，外徑b=6.5 m，監(jiān)測點位于隧道拱頂，數(shù)值模型尺寸為400 m×400 m×2 m，如圖2所示。在計算模型的左側邊界施加爆破應力波，模擬隧道受到的瞬時動力擾動，時間從爆破荷載傳至隧道接觸面處開始計算，爆破荷載上升時間2.5 ms，爆破荷載施加總時間12.5 ms。其他邊界設置為粘性人工邊界，吸收邊緣反射的應力波。其他參數(shù)為：圍巖的彈性模量Es=50.00 GPa、密度2700 kg/m3、泊松比0.20，襯砌的彈性模量EL=30.00 GPa、密度2500 kg/m3、泊松比0.25。

計算得到的有襯砌隧道DSCF如圖3所示。位于圍巖與襯砌接觸面處監(jiān)測點的DSCF明顯大于襯砌內(nèi)部監(jiān)測點，理論計算DSCF峰值略大于數(shù)值模擬DSCF峰值，且數(shù)值結果與理論結果的差異相比曲線振幅較小，其差異可忽略，說明用梯形求積計算爆破擾動下有襯砌隧道的動力響應合理。

圖 2 數(shù)值模型(單位：m)Fig. 2 Numerical model(unit:m)

圖 3 動應力集中系數(shù)的梯形求積解與FLAC3D數(shù)值模擬解比較Fig. 3 Comparison between trapezoidal quadrature solution of DSCF and FLAC3D numerical simulation solution

3 爆破P波擾動下圓形襯砌隧道動力響應分析

3.1 工程背景

錦屏二級水電站1#，3#引水隧洞工程，引水隧洞采用TBM和鉆爆法結合開挖，洞線平均長度16.67 km，全洞一般埋深1500～2000 m，最大埋深2525 m，其中，TBM開挖段為圓形隧洞，開挖半徑約6.6 m，襯砌厚度0.6 m，屬于典型的深埋長大隧洞。

引水隧洞主要穿越三疊系下統(tǒng)、雜谷腦組、上統(tǒng)、白山組、鹽塘組共5套地層，在TBM開挖段埋深較大、地應力較高的白山組地層中選取垂直于引水隧洞軸線的豎直剖面作為計算斷面，計算模型材料物理學參數(shù)如表1所列。

表 1 材料物理學參數(shù)

3.2 隧洞瞬態(tài)動力響應分布規(guī)律

采用上述解析解公式研究爆破擾動下隧洞瞬態(tài)動力響應分布規(guī)律，取爆破荷載標準化上升時間τr=5，總時間與上升時間的比值ts/tr=5，其他計算參數(shù)如表1所列。爆破擾動對隧洞接觸面處和隧洞襯砌內(nèi)的動應力集中系數(shù)及速度振動比例因子的計算結果如圖4所示。隧洞襯砌內(nèi)與隧洞接觸面處的動力響應曲線形狀相同，幅度顯著減小。

爆破荷載加卸載過程中產(chǎn)生的動應力集中系數(shù)見圖4(a)和圖4(b)，爆破擾動過程中，隧洞和襯砌接觸面處及隧洞內(nèi)表面處均產(chǎn)生了明顯的動應力集中，主要表現(xiàn)為拉應力集中于θ=0和π處，壓應力集中于θ=π/2處。θ=0和π處的DSCF時程曲線趨勢大致相同，加載過程中，DSCF迅速增加到第一個正峰值，然后下降到最小值；卸載過程中，DSCF從最小值增大到次正峰值，然后減小到零。θ=π/2處的DSCF時程曲線趨勢大致相同，加卸載過程中，DSCF增加到第一個正峰值后再降到最小值，最后減小到零。

圖 4 平面爆破P波擾動下隧道動力響應解析結果Fig. 4 Analytical results of tunnel dynamic response under plane blasting P-wave disturbance

爆破荷載在達到θ=0(圖4(c))處，介質徑向速度迅速達到峰值并逐漸減小到零，在θ=π/2(圖4(d))時，介質徑向速度產(chǎn)生輕微震蕩，但速度振動幅值較小。

3.3 圍巖與襯砌彈性模量比對隧洞瞬態(tài)動力響應峰值的影響

考慮到密度和泊松比對襯砌動應力集中系數(shù)影響較小[20]，因此，主要研究爆破P波擾動下圍巖與襯砌彈性模量比對隧洞瞬態(tài)動力響應峰值的影響，分析結果可參與指導隧洞減震施工。引入圍巖與襯砌介質彈性模量比γ=Es/EL，計算參數(shù)見表1。圖5～7給出了彈性模量比γ=1～10時，洞室動應力集中系數(shù)峰值、徑向和環(huán)向速度比例因子峰值分布。

當γ<2時，隨著γ的增加，洞室襯砌內(nèi)動應力集中系數(shù)峰值、徑向和環(huán)向速度比例因子峰值降低最快；γ=4時，動應力集中系數(shù)峰值下降值占對應最大下降值的80%，徑向和環(huán)向速度比例因子峰值下降值占對應最大下降值72%。但在γ從1到10增大過程中，圍巖與襯砌的接觸面處的動應力集中系數(shù)峰值、徑向和環(huán)向速度比例因子峰值無顯著變化，可見，對圍巖進行加固，提高其彈性模量，可使部分襯砌中的能量轉到圍巖，且圍巖與襯砌彈性模量比越大，越有利于隧洞結構穩(wěn)定。

圖 5 動應力集中系數(shù)峰值隨γ的變化Fig. 5 Variation of maximum DSCF with γ

圖 6 徑向速度比例因子峰值隨γ的變化Fig. 6 Variation of maximum RVSF with γ

圖 7 環(huán)向速度比例因子峰值隨γ的變化Fig. 7 Variation of maximum HVSF with γ

4 結論

論文基于波函數(shù)展開法，在穩(wěn)態(tài)解的基礎上，采用梯形求積，推導了平面爆破P波擾動下圓形有襯砌隧道動力響應的瞬態(tài)解析解，分析了爆破P波擾動對隧道襯砌接觸面處和隧道內(nèi)的動應力集中系數(shù)(DSCF)及徑向和環(huán)向速度振動(RVSF、HVSF)的影響。研究成果可為類似工程計算提供參考。主要結論如下：

(1)隧道襯砌與圍巖之間接觸面處拱頂及兩側拱腰位置的DSCF、RVSF和HVSF的變化趨勢相同，且接觸面處的響應峰值要大于襯砌內(nèi)側。

(2)隧道頂板處的DSCF和HVSF效應遠比左右側壁處顯著，相反，隧道兩側壁處的RVSF效應遠比頂板處顯著，且動應力集中系數(shù)響應峰值遠大于速度振動響應峰值。

(3)增大圍巖與襯砌彈性模量之比可有效降低襯砌內(nèi)動應力集中系數(shù)峰值和速度比例因子峰值，但超過2～4倍比例后，降低效果有限，建議對圍巖采取注漿加固等措施提高圍巖與襯砌彈性模量比，保證隧道結構穩(wěn)定。