試題命制視角下初中生“幾何直觀”能力培養(yǎng)探究

林碧鳳

（南安市洪新中學(xué)，福建 南安 362300）

荷蘭數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾曾提出，幾何直觀可以告訴我們哪些屬于可能重要及有意義或者是可接近的，并能夠讓我們?cè)谡n題、概念及方法的荒原上不必陷于歧途。而希爾伯特在其所著《直觀幾何》里面提到：依靠直觀想象，我們可以闡述幾何中的各類事實(shí)與問題，且在許多情況下可用幾何輪廓描述相關(guān)研究，而避免對(duì)嚴(yán)格定義實(shí)際計(jì)算的累贅闡述?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版》也提到：幾何直觀重點(diǎn)借助圖形描述和分析問題，它能夠讓原本復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡(jiǎn)明而形象，幫助學(xué)習(xí)者探索解決問題的理想思路，并對(duì)結(jié)果加以預(yù)測(cè)。

一、幾何直觀的定義及價(jià)值

（一）幾何直觀的定義

幾何直觀指的是利用圖形，以及圖形的關(guān)系、變化、運(yùn)動(dòng)軌跡等，比較直接地理解問題本質(zhì)，并得到解決問題的解決思路，產(chǎn)生推斷問題結(jié)論的直觀性較強(qiáng)的感覺及思維方式，通常其為依托與利用圖形所進(jìn)行數(shù)學(xué)各項(xiàng)內(nèi)容的思考和想象。

（二）幾何直觀的價(jià)值

數(shù)學(xué)內(nèi)容普遍具有雙重性，既具有數(shù)的特征，又具有形的特征。從雙重性視角去客觀而全面地認(rèn)知數(shù)學(xué)能增進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)意義的理解。在這方面，幾何直觀能力有著獨(dú)特優(yōu)勢(shì)，它能夠幫助揭示研究對(duì)象的性質(zhì)與關(guān)系，讓科學(xué)正確的世界觀與方法論被學(xué)生所認(rèn)可與接受。幾何直觀的價(jià)值可總結(jié)為下述四點(diǎn)：

1.理解價(jià)值。理解價(jià)值，即借助幾何直觀實(shí)現(xiàn)對(duì)抽象數(shù)學(xué)概念、定義、定理、公式等的直觀化與可視化轉(zhuǎn)化，使他們能明確數(shù)學(xué)概念、定義等的內(nèi)涵、外延，并了解相關(guān)概念的異同點(diǎn)，且對(duì)定理、公式由來、推斷過程以及適用范圍等加以理解。

2.發(fā)現(xiàn)價(jià)值。可借助幾何直觀發(fā)展觀察力與分析力，有助于學(xué)習(xí)者直接發(fā)現(xiàn)新結(jié)論、新思路、新方法等。

3.解決價(jià)值?？赏ㄟ^幾何直觀整合數(shù)學(xué)問題有效信息、將其中的數(shù)學(xué)模型抽象出來，繼而找到處理問題的思路。

4.創(chuàng)新價(jià)值。創(chuàng)新價(jià)值，即在幾何直觀的幫助下，讓學(xué)生擁有創(chuàng)新機(jī)會(huì)，在提升抽象力的前提下發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造性思維［1］。

二、試題命制角度的幾何直觀能力培養(yǎng)

（一）幾何問題原型

案例1.如圖1 所示，現(xiàn)在已經(jīng)知道AB=12，AB⊥BC 于點(diǎn)B 位置，AB⊥AD 于點(diǎn)A 位置，且AD=5，BC=10，CD 中點(diǎn)是E，那么AE 長(zhǎng)度是多少？

圖1

【解法分析】該題的命制從學(xué)生幾何直觀能力形成與應(yīng)用方面提出的。首先，在學(xué)生意識(shí)到問題中給出“AD=5”“BC=10”“CD 中點(diǎn)是E”這些條件后，很容易想到中位線定理的知識(shí)；其次，題目中的“AB 和BC 在B 點(diǎn)垂直”“AB 和AD 在A 點(diǎn)垂直”則屬于極具典型性的平行線條件，也容易聯(lián)想到平形四邊形相關(guān)知識(shí)點(diǎn)。該題考查學(xué)生的幾何直觀能力，若是可以快速找出題圖與平行四邊形的聯(lián)系，如圖2 所示，該題的解答會(huì)非常簡(jiǎn)單。

圖2

【理論分析】初中生在處理幾何試題時(shí)，若遇到稍顯復(fù)雜的問題，一般情況下會(huì)利用作輔助線的方法，而簡(jiǎn)單輔助線并不足以支撐幾何直觀能力形成，此時(shí)教師可嘗試使學(xué)生轉(zhuǎn)換思維，借助基本圖形疊加法，讓原本復(fù)雜的圖形趨于簡(jiǎn)單化。幾何直觀需要以特定的幾何背景為條件才能產(chǎn)生效果，即幾何直觀需要以幾何圖形為載體。以本題為例，題目中給出的幾個(gè)條件看似簡(jiǎn)單，實(shí)際上恰可以充當(dāng)展現(xiàn)幾何直觀能力的背景，也就是能夠暗示學(xué)生發(fā)掘“背景”中的內(nèi)在含義、引申含義等。再者，幾何直觀對(duì)象普遍具有可視性和層次性，本題的點(diǎn)和線特殊位置關(guān)系巧妙之處在于：學(xué)生可利用已知垂直條件聯(lián)想到平行，再利用連接右上角部分“缺失”的做法，把圖形“補(bǔ)充完整”，整個(gè)過程是可視的、有層次的，最終能夠轉(zhuǎn)變?yōu)橛行У摹靶聦?duì)象”。最后，幾何直觀致力于揭示探索對(duì)象的性質(zhì)與關(guān)系，在看似簡(jiǎn)單的圖形中進(jìn)行基于幾何直觀的高級(jí)、抽象空間形式轉(zhuǎn)化，本題符合這一要求，可讓圖形在重新加工后以新圖形面貌出現(xiàn)，從而讓題目變得直觀易解。

總之，從幾何直觀能力定義的角度看，該問題利用圖形直觀的位置關(guān)系構(gòu)造平行四邊形，從而得到問題的解決思路。從試題命制的角度看，該圖形的直觀性較強(qiáng)，通過對(duì)中點(diǎn)與中位線定理之間的聯(lián)系達(dá)到對(duì)本題涉及的多個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行合理的思考與想象，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

（二）幾何問題拓展

除了基本問題外，中學(xué)數(shù)學(xué)教師還可以在考核學(xué)生“幾何直觀”能力的試題命制時(shí)，注意拓展問題的價(jià)值，以便給學(xué)生提供足夠豐富的研究材料?，F(xiàn)以兩個(gè)問題為例，對(duì)幾何直觀能力價(jià)值與應(yīng)用進(jìn)行分析。

案例2.如圖3 所示，在矩形ABCD 中，以BC 為直徑，繪制半圓O，OE⊥OA 于點(diǎn)E，對(duì)角線AC 同半圓O 另一交點(diǎn)是P，在連接AE 后，請(qǐng)證明AE 為半圓O 切線，另外，若PA=2，PC=4，那么AE 長(zhǎng)度是多少。

圖3

【案例分析】對(duì)于第一個(gè)問題，可基于構(gòu)造不同幾何模型的策略，給出不同解法。例如，學(xué)生可在教師的提示下，先做輔助線OF⊥AE 于F，從“一線三直角”模型，得到△ABO∽△OCE，再引出，繼而得出△ABO∽△AOE，借助角平分線性質(zhì)，便可證明OF=OB，接下來的過程可由學(xué)生自主推導(dǎo)，教師進(jìn)行從旁的適時(shí)提醒。

對(duì)于第二個(gè)問題，相對(duì)而言難度較大，因?yàn)橐阎c所求間關(guān)系不是特別明顯，入手不易，此時(shí)建議學(xué)生從已知出發(fā)，考慮到BC 為直徑，P 為圓周上點(diǎn)，所以可以聯(lián)結(jié)BP，產(chǎn)生△ABP∽△ACB 的結(jié)論，順勢(shì)求出AB，從而得到BC、BO，再借助△ABO∽△AOE，順利解決問題。讓學(xué)生在此過程中感受幾何直觀能力的應(yīng)用技巧，從而進(jìn)一步提高學(xué)生的幾何直觀能力。

【策略歸納】本題屬于圓的綜合題，如果站在知識(shí)角度分析，可看到它比較直接地考查了切線判定與性質(zhì)、矩形性質(zhì)，以及相似三角形和全等三角形等方面知識(shí)，若基于思想方法進(jìn)行探討，可注意其涉及轉(zhuǎn)化法和截長(zhǎng)法、補(bǔ)短法等，而如果從幾何變換、幾何模型角度分析，又有對(duì)翻折變換及等腰三角形等知識(shí)點(diǎn)。一般而言，有效提高和拓展幾何直觀能力，不僅要從問題中的知識(shí)角度進(jìn)行綜合分析，更要掌握數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用。

（三）幾何問題進(jìn)階

案例3.圖4 中，△ABC 為等腰直角三角形，其中∠BAC=90°，如果把△ABC 繞點(diǎn)C 進(jìn)行順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，可產(chǎn)生△A'B'C，標(biāo)記旋轉(zhuǎn)角α，若90°＜α＜180°，作A'D⊥AC，A'和B'C 相交點(diǎn)E。在∠CA'D=15°時(shí)，試作∠A'EC平分線EF，使之交BC 于點(diǎn)F。請(qǐng)寫出旋轉(zhuǎn)角α 是多少度，并嘗試求證EA'+EC=EF。

圖4

【案例分析】在原有條件下，設(shè)P 為直線A'D 上一動(dòng)點(diǎn)，再將PA 與PF 連接起來，在AB=2 的情況下，得到線段PA+PF 最小值。原問題與拓展問題相結(jié)合，是一道既有較強(qiáng)綜合性，又有較大難度與較高靈活性的幾何試題。

幾何問題進(jìn)階絕不是簡(jiǎn)單直觀就可以捕捉到解題方法。只有從基本幾何模型出發(fā)，基于直觀能力添加模型常用輔助線，并做更進(jìn)一步的具體分析，才能有效解決問題。

三、啟示

經(jīng)對(duì)兩個(gè)綜合性較強(qiáng)問題的分析可知，一些試題命制非常注重考查學(xué)生對(duì)幾何基本知識(shí)與基本技能的掌握。且十分關(guān)注學(xué)生在幾何證明基本方法及對(duì)應(yīng)變換方面的能力，包括圖形平移、旋轉(zhuǎn)，以及對(duì)軸對(duì)稱的利用等，其可給教師培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力進(jìn)一步啟示［2］。

其一，幾何直觀能力對(duì)于描述、分析問題很重要，對(duì)于解決問題也很重要。切實(shí)加強(qiáng)幾何直觀教學(xué)，可有效增強(qiáng)學(xué)生興趣、提高學(xué)生學(xué)習(xí)能力。優(yōu)化幾何基本圖形及基本結(jié)論教學(xué)，對(duì)于幾何教學(xué)，以及代數(shù)、統(tǒng)計(jì)和概率教學(xué)等均可成為基礎(chǔ)與重點(diǎn)，其為培養(yǎng)以幾何為載體解題能力的前提。

其二，幾何變換是圖形關(guān)系研究的重要手段，是初中階段的核心數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容之一。幾何變換包括全等變換與位似變換等幾何變換知識(shí)，其中全等變換中包括平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等變換形式。

其三，在平面幾何中，像各類試題中的平行線內(nèi)的M 角模型、三角形中的中點(diǎn)模型、角平分線中的對(duì)稱全等模型等，均可以幫助學(xué)習(xí)者處理綜合問題，快速發(fā)現(xiàn)突破口。因此加強(qiáng)數(shù)學(xué)模型意識(shí)，可以讓其幾何直觀、邏輯思維等各項(xiàng)能力得到潛移默化進(jìn)步［3］。

其四，一題多解、一題多變以及多題一解等解題方法，可培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí).在此過程中，多種數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法將得到應(yīng)用，如數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想、和差法、割補(bǔ)法等。

四、總結(jié)

幾何直觀能力一方面涉及數(shù)學(xué)知識(shí)探究過程，另一方面因其抽象性、動(dòng)態(tài)性、模型性，有助于學(xué)生將復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，促進(jìn)其學(xué)習(xí)效率的提升。從試題命制角度出發(fā)培養(yǎng)幾何直觀能力，是一種正本清源的做法，希望能夠給相關(guān)教育工作提供一些參考。