例析無理數(shù)蘊含的數(shù)學(xué)思維與價值

高師

（平潭城關(guān)中學(xué)，福建 平潭 350400）

數(shù)學(xué)發(fā)展不是一帆風(fēng)順的，它需要為堅持真理而獻身的精神。在約公元前550 年古希臘數(shù)學(xué)家畢達哥拉斯“萬物皆數(shù)”（宇宙間的一切現(xiàn)象都可以歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)的比），畢達哥拉斯的學(xué)生希伯索斯發(fā)現(xiàn)了邊長為1 的正方形對角線長為，它是實實在在存在的一個數(shù)，既不是整數(shù)，也不是整數(shù)的比。他的發(fā)現(xiàn)讓畢達哥拉斯驚駭極了?！叭f物皆數(shù)”的權(quán)威理論競招來“天外來客”。這是數(shù)學(xué)史上的第一次數(shù)學(xué)危機，畢達哥拉斯既無法解釋又不敢承認，只好將希伯索斯沉入愛琴海。

距今1800 年前，我國秦漢時期數(shù)學(xué)結(jié)晶《九章算術(shù)》第四章“少廣”中記載了開平方和開立方法的運算。它說明“無限不循環(huán)小數(shù)”的發(fā)現(xiàn)，有著中國智慧和中國貢獻，這種貢獻承載著數(shù)學(xué)思想和文化的輝煌歷史，成為人類文明的重要組成部分。讓學(xué)生感受到中華文化淵源流長，培養(yǎng)家國情懷，增強文化自信。在教材引課中滲透數(shù)學(xué)文化，介紹數(shù)學(xué)史上第一次危機，不但能夠調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，引發(fā)思考，還能起到很好的德育效果。

初一學(xué)生在課前對無理數(shù)有一定的了解，但對無理數(shù)產(chǎn)生過程不了解，對身上的數(shù)學(xué)思想更不了解。本節(jié)課通過五個教學(xué)活動，既要讓學(xué)生感受無理數(shù)存在的必要性和合理性，也要讓學(xué)生感悟身上的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

（一）在觀察發(fā)現(xiàn)中滲透數(shù)形結(jié)合的思想

圖1

圖2

（二）在多方驗證感悟中滲透轉(zhuǎn)化思想

設(shè)計意圖：這里滲透了形數(shù)轉(zhuǎn)化的思想。面積是幾何問題，通過面積反求邊長則是幾何向代數(shù)的轉(zhuǎn)化。要用數(shù)學(xué)概念、方法和結(jié)論來認識理解和表達現(xiàn)實世界，就要讓學(xué)生經(jīng)歷將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的過程，這個過程體驗越深，學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維方式來思考，用代數(shù)方法解決幾何問題的感悟就越深。

（三）在夾逼活動中感知代數(shù)推理

4.在計算器的應(yīng)用中體驗科技文化

活動4：用計算器求算術(shù)平方根，估計非負有理數(shù)的算術(shù)平方根，鼓勵學(xué)生借助計算器求一個非負有理數(shù)a 的算術(shù)平方根。

活動5：介紹我國古代勞動人民智慧算法：

設(shè)計意圖：體會古人的智慧；古代算法解決了用筆算求出一個非負數(shù)的算術(shù)平方根值的大小，這一過程本質(zhì)上是對無理數(shù)進行“有理化”處理，是迎合學(xué)生對“數(shù)”的表達形態(tài)的習(xí)慣性理解。但是，這種有理化處理是“沒完沒了”的，結(jié)果是無限不循環(huán)的，因而，學(xué)生在這一教學(xué)過程中感悟無理數(shù)的兩種表達方式——無限不循環(huán)小數(shù)的表述形式和根號的表示形式（簡潔而方便）。這樣，既能培養(yǎng)學(xué)生計算能力，養(yǎng)成良好的計算習(xí)慣，也讓學(xué)生體會的內(nèi)涵。史寧中教授在2022 年版新課標解讀中強調(diào)，教師要像保護自己的眼睛一樣保護孩子們的奇思怪想。在課堂上學(xué)生自然會有對任意數(shù)進行開平方筆算的探究欲望，如：圓周率π 能算嗎？是不是所有的無理數(shù)都可以用筆算？……

四、引導(dǎo)探尋數(shù)學(xué)價值

蘇霍姆林斯基說過，教師要嘗試把獨立發(fā)現(xiàn)問題的路讓學(xué)生們自己嘗試地去走，要嘗試把獨立解決問題的方法讓學(xué)生們自己去試，要嘗試讓學(xué)生借助已有的知識去獲取新知，大膽地讓學(xué)生們主動尋找問題的“可疑點”來獲取知識，讓學(xué)生們的智力在數(shù)學(xué)課堂中因“疑點”而“起飛”。教師的作用是在于讓學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過程，努力促進學(xué)生由“被動學(xué)習(xí)”向“主動探究”轉(zhuǎn)化。要逐步由“以教會為目的”向“會學(xué)為目標”轉(zhuǎn)變，讓學(xué)生動腦閱讀教材，把能依靠自身努力獲得的知識先行納入自己的知識系統(tǒng)。［2］在“探究無理數(shù)值的大小”的教學(xué)過程中，要引導(dǎo)學(xué)生自己探尋得到，其核心是對“探究”的定位與理解。一是探究的存在。無疑，這種探索不只是對數(shù)學(xué)歷史的挖掘和回味，更是對幾何形態(tài)與代數(shù)抽象的揭示：求面積為2 的正方形邊長是很現(xiàn)實的幾何問題。既然是邊長，那么它就是一個具體的量，并表現(xiàn)為具體的數(shù)值，從中可以感悟的存在。因而，學(xué)生的探究要始終圍繞知識產(chǎn)生與發(fā)展來展開，要以學(xué)生經(jīng)歷動手操作的過程中才能實現(xiàn)這種感悟。只有讓學(xué)生體會到有理數(shù)可以用數(shù)軸上的點表示出來，無理數(shù)也可以用數(shù)軸上的點表示出來，幾何形態(tài)與代數(shù)抽象的初步感悟才有基礎(chǔ)。二是探究值的大小。通過作圖的方式在數(shù)軸上直觀地刻畫的大小，這種探究雖然直觀、具體，但對學(xué)生而言還是不夠的。因為，既然是一個數(shù)，那么它到底有多大？這是十分符合學(xué)生思維邏輯思考的。因此，用夾逼的方式來逐步探究大小，自然地成為學(xué)生樂意進行的自主活動；“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行?！蔽覈湃擞霉P算的大小，就是用到的有理化計算。此時的才真正成為學(xué)生自己探尋得到的，才是教學(xué)的價值。此時的教師應(yīng)該只是學(xué)生活動的欣賞者和激勵者。三是對任意數(shù)的開方運算的探究。雖然，這不是這節(jié)課教學(xué)的重點，但是，由于有的筆算過程的演示，學(xué)生自然就會有對任意數(shù)怎樣進行開方筆算的探究欲望。這是很自然的思維遷移，也是教師時刻要關(guān)注和保護的學(xué)生的學(xué)習(xí)思維品質(zhì)。

除此以外，注重數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)，通過結(jié)構(gòu)化教學(xué)，讓學(xué)生對所學(xué)的數(shù)學(xué)知識進一步深化，對相關(guān)的數(shù)學(xué)思想、解題方法進行歸納總結(jié)，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，［3］也是本節(jié)課堂教學(xué)的目標。教師不只是教這個數(shù)，學(xué)生也不只是僅僅認識這個無理數(shù)；只是實數(shù)數(shù)系中的一個，要將它放在無理數(shù)的大家庭中來認識。這樣才能夠讓學(xué)生在身臨其境中獲得幾何形態(tài)與代數(shù)抽象的直覺結(jié)構(gòu)化情境。