學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn) 享受精彩

郭 煒

(江蘇省揚(yáng)中高級(jí)中學(xué)，212200)

教科書中蘊(yùn)藏著許多典型問題,在平時(shí)的課堂教學(xué)和高三復(fù)習(xí)時(shí)也存在著大量相互聯(lián)系、相互印證規(guī)律和相互啟發(fā)的問題.但往往是零散地出現(xiàn)在課堂例題和作業(yè)練習(xí)中,“不識(shí)廬山真面目”,無法發(fā)現(xiàn)它們的整體性質(zhì),無法歸納它們之間的共同解題方法,無法揭示它們之間的必然規(guī)律．因此，就需要在數(shù)學(xué)教學(xué)中讓這些好的問題一次次地“偶遇”，變成探究數(shù)學(xué)世界的一個(gè)個(gè)“必然”，把許多看起來孤立的問題“串聯(lián)”起來,整體研究,共同享受更精彩的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程,認(rèn)識(shí)更完整的數(shù)學(xué)．本文舉例說明．

一、問題原型

教科書顯示,橢圓是由圓經(jīng)過均勻壓縮得到的,還可以由以下變換得到:

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中,過O點(diǎn)作射線與圓C1:x2+y2=b2,圓C2:x2+y2=a2(a>b>0)分別交于A,B兩點(diǎn),過點(diǎn)B作直線BH垂直于x軸，且與x軸交于點(diǎn)H,過A作AP垂直于直線BH,且與BH交于點(diǎn)P,則點(diǎn)P的軌跡是橢圓．

從上述過程可知,圓C1，圓C2是橢圓的生成圓,這兩個(gè)圓與橢圓之間有密切的聯(lián)系,有許多性質(zhì)值得探究．例如:

性質(zhì)2如圖3，過圓C1:x2+y2=b2右半圓上任意一點(diǎn)P作圓的切線交橢圓于M,N兩點(diǎn),F2是橢圓的右焦點(diǎn),則MP+MF2=a,NP+NF2=a．同理得若P點(diǎn)是左半圓上任意一點(diǎn),作圓的切線與橢圓交于M,N兩點(diǎn),設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F1,則MP+MF1=a,NP+NF1=a．

除了以上這兩個(gè)與橢圓密切聯(lián)系的生成圓外,其它圓是否與橢圓之間存在關(guān)聯(lián)性質(zhì)?例如,若圓x2+y2=r2(0

二、類比聯(lián)想

聯(lián)想橢圓的一個(gè)性質(zhì),橢圓上任意一點(diǎn)到長軸兩端點(diǎn)的連線斜率之積為定值．一個(gè)容易想到的猜想是:直線OM,ON的關(guān)系如斜率之積是否為定值?

因此獲得一個(gè)特殊圓與橢圓的性質(zhì):

若考慮直線OM與ON的斜率之積是否可能為定值?

三、逆向探究

換一個(gè)角度考慮問題,如果在橢圓上任取一點(diǎn)作圓的兩條切線與圓分別交于M,N兩點(diǎn),若PM,PN的斜率存在,kPM·kPN是否可以為某一個(gè)定值?

四、類比猜想

從而得到以下性質(zhì):

五、逆向類比

若過圓x2+y2=r2(r>a)上任一點(diǎn)P(x0,y0)作橢圓的兩條切線,切點(diǎn)為M,N,類比圓在橢圓內(nèi),進(jìn)行如下探究:

由上可知，教師要有一雙“慧眼”,善于發(fā)現(xiàn)一個(gè)個(gè)好的問題．好問題往往蘊(yùn)藏著一系列相互聯(lián)系的問題,研究這些問題可以引導(dǎo)學(xué)生通過觀察源問題,發(fā)現(xiàn)新問題,提高發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的能力,增強(qiáng)探究意識(shí)．

此外，在進(jìn)行解題教學(xué)中,要認(rèn)真“備題”．許多問題被退化為一個(gè)個(gè)題目，如果讓學(xué)生通過不斷刷題來提升解題能力,久而久之,學(xué)生可能學(xué)會(huì)解題,但對(duì)如何用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)問題和數(shù)學(xué)對(duì)象,發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題,構(gòu)造數(shù)學(xué)模型并思考解決,會(huì)逐漸淡化甚至麻木不仁．因此，在備題時(shí)不僅要立足備幾種解法,更要備問題的探究和發(fā)現(xiàn)問題的方法,通過對(duì)具體的源問題進(jìn)行類比思考、歸納猜想、逆向思維、發(fā)散聯(lián)想，獲得新的問題．在探究發(fā)現(xiàn)的過程中,學(xué)生不僅提高了解題能力,而且提升了發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問題的能力,學(xué)會(huì)研究數(shù)學(xué)的一般方法．