在數(shù)學(xué)課堂中滲透美育
——以“數(shù)列的綜合應(yīng)用”教學(xué)為例

申臻臻 王仕光

(山東省淄博市周村區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué),255300) (山東省淄博市周村區(qū)第一中學(xué),255300)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出:學(xué)會(huì)審美不僅可以陶冶情操,而且能夠改善思維品質(zhì)[1].數(shù)學(xué)是美的藝術(shù),它抽象、嚴(yán)謹(jǐn)、深沉而含蓄,是一種理智的美.培養(yǎng)學(xué)生的美感,對(duì)于幫助學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)有很大的積極作用.在數(shù)學(xué)教學(xué)中可以充分利用現(xiàn)代教學(xué)手段,創(chuàng)設(shè)美的教學(xué)情境,將數(shù)學(xué)活動(dòng)變?yōu)楦兄馈⑿蕾p美、表現(xiàn)美、創(chuàng)造美的綜合審美活動(dòng),從而使學(xué)生熱愛(ài)數(shù)學(xué),學(xué)好數(shù)學(xué).本文以“數(shù)列的綜合應(yīng)用”教學(xué)為例對(duì)此進(jìn)行探究.

一、數(shù)學(xué)游戲，激發(fā)興趣

實(shí)驗(yàn)中學(xué)“數(shù)學(xué)王子”張小明在自習(xí)課上,對(duì)正整數(shù)1,2,3,…,n按圖1形式排成數(shù)陣,好朋友王大安問(wèn)他“由上而下第20行中從左到右的第三個(gè)數(shù)是多少？”張小明自上而下逐個(gè)排了兩節(jié)課,終于找到了這個(gè)數(shù),聰明的你一定知道這個(gè)數(shù)是( )

圖1

生:發(fā)現(xiàn)每一行的第一個(gè)數(shù)組成一個(gè)數(shù)列1,2,4,7,…,令第i行的第一個(gè)數(shù)為ai，會(huì)發(fā)現(xiàn)a2-a1=1,a3-a2=2,a4-a3=3,…a20-a19=19利用累加求通項(xiàng)的方法求得第20行的第一個(gè)數(shù)為191,再結(jié)合數(shù)列橫向依次遞增的特點(diǎn),求得第20行的第三個(gè)數(shù)為193.

師:這里運(yùn)用了數(shù)列知識(shí)中累加求通項(xiàng)的方法.咱們不妨順著這位同學(xué)的思路,運(yùn)用數(shù)列的思想去思考,還能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律呢?

師:仔細(xì)觀察不難發(fā)現(xiàn),前1行有1個(gè)數(shù),恰好這個(gè)數(shù)為1,前2行有3個(gè)數(shù),恰好最后一個(gè)數(shù)是3,前3行有6個(gè)數(shù),恰好最后一個(gè)數(shù)是6,前4行有10個(gè)數(shù),恰好最后一個(gè)數(shù)是10,那么大家猜一下前n行會(huì)有什么規(guī)律呢?

生:前n行數(shù)字的個(gè)數(shù)與第n行最后一個(gè)數(shù)相同.

師:要求第20行的第3個(gè)數(shù),需要讓n取幾呢?

生:取20?

師:若求出第20行的最后一個(gè)數(shù),是不是離第20行的第3個(gè)數(shù)有點(diǎn)遠(yuǎn)呢?

生:取19,利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式計(jì)算出前19行的個(gè)數(shù)為1+2+3+…19=190,故第19行的最后一個(gè)數(shù)為190,再利用數(shù)字排列方式得出第20行的第3個(gè)數(shù)為193.

設(shè)計(jì)意圖該圖形的展示給人以美的感受,利用數(shù)字排列的序列美、對(duì)稱美激發(fā)學(xué)生自發(fā)地產(chǎn)生研究的熱情,進(jìn)而激發(fā)學(xué)習(xí)興趣.通過(guò)不同思考角度解決同一問(wèn)題的思維訓(xùn)練,培養(yǎng)學(xué)生觀察問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.這種分析問(wèn)題、探討問(wèn)題、最后在老師的引導(dǎo)下自主解決問(wèn)題的過(guò)程,也是一種美妙的體驗(yàn).

美育分析以上問(wèn)題從形式上看體現(xiàn)數(shù)字排列的秩序美,從不同的思維角度看體現(xiàn)一題多解、一解多思的思維發(fā)散美,從方法技能上看體現(xiàn)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化、化歸的統(tǒng)一美,從學(xué)生感受來(lái)看體現(xiàn)數(shù)學(xué)的奇異變化之美.

二、通法引路，感受美妙

例1在等差數(shù)列{an}中,已知a1=20,前n項(xiàng)的和為Sn,且S10=S15,求當(dāng)n取何值時(shí),Sn取得最大值,并求出它的最大值.

師:數(shù)列問(wèn)題首先考慮通性通法,利用基本量解決問(wèn)題,這是遇到此類問(wèn)題首先應(yīng)該考慮的方法,需要同學(xué)們?cè)鷮?shí)掌握.

生:為什么前12項(xiàng)和與前13項(xiàng)和都最大呢?

師:請(qǐng)同學(xué)們觀察基本量(首項(xiàng)和公差)思考一下,這個(gè)等差數(shù)列有什么特點(diǎn)呢?

生:公差為負(fù)值,數(shù)列是遞減數(shù)列,并且首項(xiàng)為正值,數(shù)列前正后負(fù).

師:分析得很全面,那么第13項(xiàng)為?說(shuō)明什么呢?

生:前12項(xiàng)都是正數(shù),第14項(xiàng)開(kāi)始往后全是負(fù)項(xiàng).

師:分析很到位,同學(xué)們還有疑問(wèn)嗎?那還有其它處理方法嗎?

師:既然同學(xué)們想到了二次函數(shù),哪位同學(xué)在黑板上把圖象畫出來(lái),并說(shuō)明橫縱坐標(biāo)分別是什么,看該同學(xué)所畫圖象發(fā)現(xiàn)橫坐標(biāo)是n，縱坐標(biāo)是Sn.現(xiàn)在請(qǐng)大家把S10,S15在圖中標(biāo)出來(lái),看有什么發(fā)現(xiàn).

評(píng)注畫圖要注意,二次函數(shù)無(wú)常數(shù)項(xiàng)則圖象必過(guò)原點(diǎn),強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性,若有問(wèn)題可提示學(xué)生發(fā)現(xiàn)并糾正.

生甲:對(duì)稱軸過(guò)10和15的中點(diǎn)12.5,因此S12=S13是最大值.

生乙:觀察已知等式S10=S15發(fā)現(xiàn)a11+a12+a13+a14+a15=0,利用等差中項(xiàng)得a13=0，從而找到正負(fù)分界點(diǎn),由數(shù)列遞減得前12項(xiàng)和與前13項(xiàng)和相等且最大,再利用求和公式求出最大值即可.

設(shè)計(jì)意圖在掌握應(yīng)用數(shù)列基本量的(通性通法)方法解決數(shù)列問(wèn)題的前提下,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維、多角度思考問(wèn)題,通過(guò)對(duì)該問(wèn)題的解決,讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的抽象與直觀、嚴(yán)謹(jǐn)而簡(jiǎn)潔、深沉而含蓄的理智之美、變化之美.數(shù)學(xué)教學(xué)中的美學(xué)教育有四個(gè)層次:美觀、美好、美妙、完美.在解決以上問(wèn)題的過(guò)程中感受數(shù)學(xué)的美妙,會(huì)使人感受到天地造化數(shù)學(xué)之巧妙,數(shù)學(xué)家創(chuàng)造數(shù)字之深邃,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)領(lǐng)悟之歡快.達(dá)到這一步,學(xué)生才算真正感受到數(shù)學(xué)美的真諦,被數(shù)學(xué)所吸引,喜歡數(shù)學(xué),熱愛(ài)數(shù)學(xué)[2].

美育分析基本量法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)解題方法的統(tǒng)一美.將數(shù)列問(wèn)題化歸為二次函數(shù)問(wèn)題,借助二次函數(shù)求最值的方法求解,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)關(guān)聯(lián)的協(xié)調(diào)美和數(shù)學(xué)方法的融合美.二次函數(shù)的對(duì)稱性,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)問(wèn)題的對(duì)稱美與奇異美，運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì),使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)明化,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)方法的簡(jiǎn)潔美和應(yīng)用美.

三、融會(huì)貫通，步入佳境

(劃分小組開(kāi)展討論,各小組派代表展示討論結(jié)果)

師:觀察圖象發(fā)現(xiàn)在e的左右兩側(cè)的值有什么關(guān)系?

生:e右側(cè)有一個(gè)值與f(2)相等,那么那個(gè)數(shù)是多少呢?

師:觀察所給數(shù)字2,3,5的規(guī)律,大家會(huì)想到缺少什么?

師:該小組同學(xué)運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)和數(shù)形結(jié)合的方法解答,充分展示對(duì)問(wèn)題的把握能力、思維能力、分析和解決問(wèn)題的能力已經(jīng)達(dá)到一定的高度.知識(shí)越學(xué)越薄,能力越來(lái)越強(qiáng),希望同學(xué)們保持這種敢于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題,并能綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí),創(chuàng)造性地解決問(wèn)題的能力狀態(tài).

師:比較大小的問(wèn)題,大家最容易想到的方法應(yīng)該就是作差(商)的方法.該小組利用比較大小的常用方法之一(作差法),并利用對(duì)數(shù)化同底的辦法使解決問(wèn)題的方法變得簡(jiǎn)潔,處理辦法運(yùn)用非常好.

設(shè)計(jì)意圖通過(guò)對(duì)該問(wèn)題的研究,掌握構(gòu)造函數(shù)模型的思想,掌握比較大小常用的方法即作差法、作商法、數(shù)形結(jié)合的方法等.從中體驗(yàn)題目本身的巧妙,以及發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并解決問(wèn)題的成就感和愉悅感.數(shù)學(xué)美是理性的美、內(nèi)蘊(yùn)的美、深邃的美,美在數(shù)學(xué)的方法、思想和結(jié)論內(nèi)部.通過(guò)對(duì)本題的探究,培養(yǎng)學(xué)生感受、鑒別、欣賞數(shù)學(xué)美和創(chuàng)造數(shù)學(xué)美的意識(shí)和能力[3].

四、當(dāng)堂檢測(cè)，鞏固提高

(1) 一同學(xué)在電腦中打出如下若干個(gè)圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○

●…若將此若干個(gè)圈依此規(guī)律繼續(xù)下去得到一系列的圈，那么在前120個(gè)圈中●的個(gè)數(shù)是( )

(A)12 (B)13 (C)14 (D)15

(2)圖3中實(shí)心點(diǎn)的個(gè)數(shù)5,9,14,20…為梯形數(shù).根據(jù)圖形的構(gòu)成,記此數(shù)列第2 013項(xiàng)為a2 013,則a2 013-5=( )

(A) 2 019×2 013 (B) 2 019×2 012

(C) 1 006×2 013 (D) 2 019×1 006

(注:用盡可能多的方法解決)

本節(jié)課采用教師引領(lǐng)、自主探究、合作交流的方式展開(kāi)教學(xué).通過(guò)一個(gè)有趣的數(shù)字游戲引入新課,誘發(fā)學(xué)生形成發(fā)散思維與多角度思考問(wèn)題的意識(shí).通過(guò)對(duì)兩個(gè)思考問(wèn)題的探究和分析,培養(yǎng)學(xué)生構(gòu)建函數(shù)模型、數(shù)形結(jié)合等思想方法,養(yǎng)成一題多解、一解多思的思維習(xí)慣.在學(xué)習(xí)中體驗(yàn)成功的樂(lè)趣,感悟數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含的序列美、對(duì)稱美、發(fā)散美、抽象美、直觀美、統(tǒng)一美、融合美等美的感受，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng),最終達(dá)到提高教與學(xué)的有效性和幸福感的目的.但也存在一些不足,比如說(shuō)平時(shí)個(gè)別學(xué)生展示的機(jī)會(huì)較少,在問(wèn)題的觀點(diǎn)表達(dá)上還有欠缺.在討論環(huán)節(jié),有個(gè)別學(xué)生不能迅速地參與其中.在美育達(dá)成效果上,還需要在教學(xué)過(guò)程中不斷滲透.