問題驅(qū)動(dòng) 自主探究 反思升華*
——一道高考題的教學(xué)實(shí)錄與反思

楊 勇 戚有建

(江蘇省鎮(zhèn)江市實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué),212003) (江蘇省揚(yáng)州市教育科學(xué)研究院,225007)

一、試題呈現(xiàn)

該題綜合性較高,涉及直線與圓的位置關(guān)系、向量、參數(shù)方程等考點(diǎn)，考查學(xué)生對(duì)向量運(yùn)算的知識(shí)、技能、方法的掌握程度以及對(duì)數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解水平.該題從不同的思維角度可以有不同的解法,既注重基礎(chǔ),又考查能力,是學(xué)生平時(shí)訓(xùn)練的一個(gè)良好素材.筆者將本題選為高三習(xí)題課教學(xué)的例題,發(fā)現(xiàn)學(xué)生的解法異彩紛呈,引發(fā)對(duì)高三解題教學(xué)的深入思考.

二、課堂實(shí)錄

1.回歸起點(diǎn)——“為有源頭活水來”

師:處理向量問題的一般策略是什么?

生1:坐標(biāo)化,基底化,幾何化等.

師:結(jié)合本題,你打算如何處理,理由是什么?

生1:坐標(biāo)化,本題很容易建立平面直角坐標(biāo)系,把相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來,則向量的坐標(biāo)就可以求出來,從而可以求出λ+μ的目標(biāo)函數(shù).

師:言之有理.請(qǐng)展示你的解題過程.

師:很棒,思路清晰,計(jì)算準(zhǔn)確!還有其他解法嗎?

2.相信直覺——“而今識(shí)盡愁滋味”

師:以上解答錯(cuò)在哪里?為什么上面求出的點(diǎn)P處不是使λ+μ取最大值時(shí)的點(diǎn)?那最大值點(diǎn)在哪里呢?

3.自主探究——“千呼萬喚始出來”

4.反思升華——“此情可待成追憶”

根據(jù)以上推理可知,x+y越大,則m越大；反之x+y越小,m越小.因此當(dāng)求x+y的取值范圍時(shí)，可以通過平移找到m取得最大和最小的情況,進(jìn)而求出最值.所以等和線是系數(shù)和恒為定值時(shí)動(dòng)點(diǎn)所在的直線,例如圖4與AB平行的直線都可稱為等和線.

等和線并不難理解,在處理特定問題時(shí)，等和線確實(shí)可以起到簡化計(jì)算量的作用,利用等和線重點(diǎn)還是注意系數(shù)和為1即三點(diǎn)共線的情況,根據(jù)所求的最值,將系數(shù)和為1時(shí)的等和線平行移動(dòng)即可.

三、幾點(diǎn)思考

1.問題驅(qū)動(dòng)是解題教學(xué)的立足點(diǎn)

“問題是數(shù)學(xué)的心臟”.解題教學(xué)應(yīng)該運(yùn)用問題驅(qū)動(dòng),要在了解學(xué)生思維起點(diǎn)、摸清運(yùn)算難點(diǎn)、掌握探究疑點(diǎn)后，提出能夠促進(jìn)學(xué)生理解題意、提煉方法、積累經(jīng)驗(yàn)的好問題.問題要能站在全章、全局的高度,具有統(tǒng)攝性和指引性,不應(yīng)該是單向的、單維的.所謂問題不能是單向的,是指提出的問題不能局限在解該題本身,或掌握此題解法的單向目標(biāo).問題不能是單維的,是指思維的角度、解題的方法等應(yīng)該有不同層面.如本課教學(xué)過程中首先跳出題目之外,問學(xué)生處理向量問題的一般策略是什么?給學(xué)生以整體觀、全局觀.

2.自主探究是解題教學(xué)的支撐點(diǎn)

在解題教學(xué)中要把握好學(xué)生的最近發(fā)展區(qū),重視學(xué)情分析,給學(xué)生足夠的時(shí)間去思考,引導(dǎo)學(xué)生多角度分析, 大膽嘗試,陪伴學(xué)生挖掘出不同的解法,培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力.當(dāng)學(xué)生思維達(dá)到“憤悱”狀態(tài)時(shí),老師要及時(shí)啟發(fā)、點(diǎn)撥、引導(dǎo),然后針對(duì)學(xué)生實(shí)際困難引導(dǎo)他們糾正并完善解法.如本課教學(xué)中學(xué)生通過觀察幾何圖形,直觀分析得出結(jié)論:當(dāng)連結(jié)AC并延長交圓C于點(diǎn)P時(shí),取得λ+μ的最大值,算出此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo),進(jìn)而發(fā)現(xiàn)沒有選項(xiàng),老師及時(shí)引導(dǎo),和學(xué)生一起研究錯(cuò)誤原因,讓學(xué)生在自主探究、合作交流中找到正確答案,體會(huì)成功的喜悅.

3.反思升華是解題教學(xué)的落腳點(diǎn)

解題教學(xué)是“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)”、“數(shù)學(xué)方法”和“數(shù)學(xué)思想”的有機(jī)結(jié)合,其中“數(shù)學(xué)思想和方法”是數(shù)學(xué)的靈魂.在教材中，數(shù)學(xué)思想和方法大都沒有直接的文字表述,它是從具體數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)中提煉和概括出來的,其在后繼認(rèn)識(shí)活動(dòng)中反復(fù)得到驗(yàn)證,帶有一般意義和相對(duì)穩(wěn)定的特征.在解題時(shí)應(yīng)盡力去挖掘和提煉知識(shí)背后所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想,然后把它巧妙地融入到探究過程中,讓學(xué)生去感悟、體驗(yàn)這其中的數(shù)學(xué)味.本節(jié)課只講了一道高考題,但從不同的角度將數(shù)學(xué)中處理和向量有關(guān)問題的建系、消元、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合等思想方法滲透其中.生2通過向量共線的過渡，將λ+μ的最大值轉(zhuǎn)化為圓上一點(diǎn)到直線的距離的最大值.生3通過參數(shù)方程,將二元問題轉(zhuǎn)化為一元問題.教師針對(duì)生5的解法,揭示了 “等和線”的原理.學(xué)生在數(shù)學(xué)方法的運(yùn)用中、在問題的轉(zhuǎn)化中、在經(jīng)驗(yàn)的積累中加深了對(duì)數(shù)學(xué)概念、公式、定理、結(jié)論的理解,提高了數(shù)學(xué)能力和思維品質(zhì),促進(jìn)數(shù)學(xué)思想方法的真正內(nèi)化,在潛移默化中實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)的提升.

總之,解題教學(xué)應(yīng)充分展示其過程,提煉其方法,并不斷探究擴(kuò)展,力求拓寬學(xué)生的視野,完善學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)；應(yīng)深入挖掘其中的數(shù)學(xué)思想,從數(shù)學(xué)方法發(fā)生發(fā)展過程的合理性和學(xué)生思維過程的合理性上加強(qiáng)設(shè)計(jì).這兩個(gè)合理性是提升學(xué)生解題能力的關(guān)鍵點(diǎn).前一個(gè)的核心是數(shù)學(xué)的學(xué)科思想問題,后一個(gè)是學(xué)生的思維規(guī)律、認(rèn)知特點(diǎn)問題,只有長期堅(jiān)持,學(xué)生才會(huì)達(dá)到“知其然,知其所以然,何由以知其所以然”的三重境界.