“三新”背景下“基本不等式”的教學(xué)設(shè)計(jì)*

姚愛亮

(江蘇省鹽城市第一中學(xué),224005)

在“三新“背景之下,教師如何切實(shí)轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念,著力提升課堂效益,在新一輪發(fā)展中搶占先機(jī)？最近聽了組內(nèi)同仁一節(jié)公開課——基本不等式,現(xiàn)就這節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì),談?wù)勛约旱睦斫夂退伎?/p>

一、教學(xué)過程的設(shè)計(jì)與實(shí)施

1.創(chuàng)設(shè)情境,提出問題

問題1用一根長(zhǎng)為l的繩子圍成矩形,什么時(shí)候矩形的面積會(huì)最大?面積最大時(shí)是什么樣的矩形?

通過構(gòu)建面積關(guān)于邊長(zhǎng)的二次函數(shù)模型,可以得出矩形兩邊相等時(shí)面積最大.

追問若矩形的長(zhǎng)和寬分別為a,b(a>0,b>0)(如圖1)，與其周長(zhǎng)相等的正方形的邊長(zhǎng)是多少?與其面積相等的正方形的邊長(zhǎng)?兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)的大小關(guān)系?

設(shè)計(jì)意圖旨在從學(xué)生熟悉的數(shù)學(xué)問題出發(fā),引入數(shù)學(xué)知識(shí),有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.

2.推理演繹,建構(gòu)模型

比較兩個(gè)數(shù)的大小關(guān)系,學(xué)生會(huì)很容易想到將兩數(shù)作差與0比較(比較法);應(yīng)用分析法時(shí)要讓學(xué)生明白:要證A只要證B,其本質(zhì)是“B?A”，即B是A的充分條件.教學(xué)中注意引導(dǎo)學(xué)生反思和總結(jié)分析法和綜合法的步驟,并了解它們之間的關(guān)系.

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生在經(jīng)歷感性認(rèn)識(shí)后再通過嚴(yán)格的證明，上升到理性認(rèn)識(shí).三種證明方法:比較法:作差比零——回歸本源;分析法:執(zhí)果索因——順藤摸瓜;綜合法:由因?qū)Ч哒斑h(yuǎn)矚.

如果a,b中有一個(gè)或者兩個(gè)都為0,也是可以的,但不能是負(fù)數(shù),可以推廣到a≥0,b≥0.

3.深入探究,加深理解

追問在圖2中，基本不等式用語言怎么來描述?

設(shè)計(jì)意圖為便于加深對(duì)基本不等式的理解,利用幾何解釋,即“半徑不小于半弦”.這樣設(shè)計(jì),一是凸顯幾何圖形的直觀價(jià)值,二是引導(dǎo)學(xué)生從自然語言、符號(hào)語言向圖形語言的轉(zhuǎn)換,三是體現(xiàn)知識(shí)連貫性和生成性.

問題4你還能得到那些與基本不等式有關(guān)的重要不等式?

活動(dòng)1展示趙爽弦圖,讓學(xué)生找出所蘊(yùn)含的不等關(guān)系a2+b2≥2ab.

思考何時(shí)取等號(hào)?成立的條件又是什么?

思考1這些不等式為基本不等式的變式，a2+b2≥2ab和基本不等式或其變式之間有關(guān)聯(lián)嗎?

思考2這可以證明不等式a2+b2≥2ab,大家再?gòu)慕Y(jié)構(gòu)上觀察它們之間的相通之處.

設(shè)計(jì)意圖對(duì)數(shù)學(xué)公式的教學(xué),要突出公式直接應(yīng)用.公式的逆用和公式的變形應(yīng)用，基本不等式是高中數(shù)學(xué)中重點(diǎn)知識(shí),對(duì)于它的變形公式,讓學(xué)生不僅知其然,還要知其所以然,突出知識(shí)的來龍去脈,有利于學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì).

4.強(qiáng)化訓(xùn)練,鞏固四基

設(shè)計(jì)意圖進(jìn)一步理解和掌握基本不等式,讓學(xué)生知道應(yīng)用公式時(shí)所應(yīng)該注意的條件.

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生明白用基本不等式進(jìn)行證明時(shí),當(dāng)問題不滿足定值條件或同正條件時(shí),可以通過構(gòu)造來實(shí)現(xiàn).

5.歸納總結(jié),布置作業(yè)(略)

二、教學(xué)思考

1.教學(xué)設(shè)計(jì)要依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)要求

基本不等式是不等關(guān)系中的常見模型,教材將其安排在高一剛?cè)雽W(xué)不久學(xué)習(xí),可以看出基本不等式是作為高中數(shù)學(xué)預(yù)備知識(shí),是初高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過渡內(nèi)容[1].所以基本不等式的教學(xué)中應(yīng)注重基礎(chǔ)性和工具性.在教學(xué)中,應(yīng)逐步引導(dǎo)學(xué)生從初中階段相對(duì)較具體的數(shù)學(xué)知識(shí)向高中階段相對(duì)較抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)過渡與轉(zhuǎn)換.要突出對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想的學(xué)習(xí),豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)體驗(yàn).要讓學(xué)生主動(dòng)探究并了解基本不等式產(chǎn)生的背景和證明過程,并在運(yùn)用基本不等式解決數(shù)學(xué)實(shí)際問題中體會(huì)并感悟數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本方法與基本過程.在平時(shí)訓(xùn)練中要降低問題的難度,避免人為設(shè)計(jì)過復(fù)雜的問題,在細(xì)節(jié)上不要做過分的拓展和延伸,體現(xiàn)基本不等式在高中數(shù)學(xué)中的“預(yù)備性”.

2.教學(xué)設(shè)計(jì)要貼近教學(xué)實(shí)際

首先，教學(xué)設(shè)計(jì)要貼合教材意圖,合理定位教學(xué)內(nèi)容.課堂教學(xué)不能唯教材論是目前大家的共識(shí).不唯教材指的是教學(xué)不能按部就班、一層不變地套用教材,而應(yīng)該對(duì)教材的內(nèi)容進(jìn)行適當(dāng)整合,調(diào)整最佳教學(xué)順序.但無論怎么調(diào)整,合理定位教學(xué)內(nèi)容,貼合教材意圖這是底線.不少教師淡化了基本不等式的證明和應(yīng)用基本不等式證明其他不等式,而基本不等式的應(yīng)用,如求函數(shù)的最值或?qū)嶋H問題中的應(yīng)用,則占了課堂教學(xué)的很大篇幅,這明顯偏離教學(xué)重心.

其次，教學(xué)設(shè)計(jì)貼合學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu),創(chuàng)設(shè)合適問題情境.創(chuàng)設(shè)合適的問題情境可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動(dòng)機(jī),從而調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和主動(dòng)性.但情境的創(chuàng)設(shè)要貼合學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu),如果為了“情境”而憑空創(chuàng)設(shè)一些脫離學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的情境,則不能引起學(xué)生共鳴與互動(dòng).事實(shí)上，如果一味地按教材以物理中的天平稱重引入兩個(gè)均值再去比較大小,由于天平在生活中運(yùn)用很少,只是在物理實(shí)驗(yàn)中使用,學(xué)生難以產(chǎn)生共鳴,且模型不是太簡(jiǎn)單,僅為了引出這兩個(gè)均值,稍顯不“經(jīng)濟(jì)”;以基本不等式的幾何意義引入,圖形中由半弦和半徑的不等關(guān)系直接得到均值不等式,但是后繼的探究、歸納猜想就不能展開,不便于在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生分析解決問題的能力.基于這些思考,本文設(shè)計(jì)從一個(gè)學(xué)生熟悉的數(shù)學(xué)問題出發(fā),引出算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)的定義,由于貼合學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知,這個(gè)設(shè)計(jì)可激發(fā)學(xué)生對(duì)兩個(gè)平均數(shù)不等關(guān)系的思考,從而順利地引出本節(jié)課的課題.

3.教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)滲透數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

落實(shí)學(xué)科核心素養(yǎng)要從教學(xué)設(shè)計(jì)開始.因此，在設(shè)計(jì)教學(xué)的每一個(gè)環(huán)節(jié),無論是備教材、備學(xué)生、備教法、備學(xué)法,還是課堂教學(xué)活動(dòng)的組織,都要聚焦核心素養(yǎng).

目前，新一輪課程改革在全國(guó)各地正如火如荼地展開.教育主管部門從頂層設(shè)計(jì),提出了具體要求,中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系對(duì)“一核”“四層”“四翼”三部分做了詳細(xì)的說明[2].對(duì)于在一線的數(shù)學(xué)教師,應(yīng)該加強(qiáng)“三新”的深入研究,落實(shí)“四基”,培養(yǎng)“四能”,樹立以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的教學(xué)意識(shí),引導(dǎo)學(xué)生會(huì)學(xué)數(shù)學(xué),激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,促使更多的學(xué)生熱愛數(shù)學(xué).