深度學(xué)習(xí)視角下的數(shù)學(xué)概念課教學(xué)設(shè)計(jì)研究

湯 鴻

(江蘇省張家港市塘橋高級(jí)中學(xué),215600)

深度學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)課堂需要理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)．理解數(shù)學(xué),就是要高屋建瓴地把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì),站在系統(tǒng)的高度認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué),特別是對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法要有深入理解;理解學(xué)生,就是要全面了解學(xué)生的思維規(guī)律,把握學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn);理解教學(xué),就是要把握教學(xué)的基本規(guī)律,按教學(xué)規(guī)律辦事[1]．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)要做到“不在知其然,而在知其所以然;不在知其所以然,而在何由以知其所以然”．由此才能實(shí)現(xiàn)“啟發(fā)學(xué)者,示以思維之道”的教學(xué)．

在概念課的教學(xué)設(shè)計(jì)中，需要深入思考隱藏在客觀事物背后的是什么數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)規(guī)律?這個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)屬性是什么?統(tǒng)攝具體數(shù)學(xué)知識(shí)與技能的數(shù)學(xué)思想方法是什么?某個(gè)具體內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)既表現(xiàn)為隱藏在客觀事物背后的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)規(guī)律,又表現(xiàn)為隱藏在數(shù)學(xué)知識(shí)背后的本質(zhì)屬性,還表現(xiàn)為統(tǒng)攝具體數(shù)學(xué)知識(shí)與技能的數(shù)學(xué)思想方法.由此深度學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)概念課堂尤其重要[2]．本文對(duì)此進(jìn)行探究.

一、重視概念的形成和發(fā)展,對(duì)概念本質(zhì)及思想深度學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)概念作為數(shù)學(xué)最為關(guān)鍵的構(gòu)成內(nèi)容之一,需要予以充分的關(guān)注．在開展數(shù)學(xué)概念教學(xué)的過(guò)程中,要讓學(xué)生充分體會(huì)到數(shù)學(xué)概念的形成以及發(fā)展過(guò)程,進(jìn)而讓學(xué)生能夠更加深入了解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)以及其中的思想,主動(dòng)對(duì)自身的知識(shí)體系進(jìn)行優(yōu)化,這也是數(shù)學(xué)概念深度學(xué)習(xí)的機(jī)遇點(diǎn)．在進(jìn)行授課前,需要做好充足的準(zhǔn)備工作．

對(duì)“數(shù)系的擴(kuò)充”這節(jié)內(nèi)容,可以和學(xué)生一起沿著歷史的足跡,重溫?cái)?shù)的發(fā)展歷程即數(shù)系不斷擴(kuò)充的過(guò)程,了解數(shù)系發(fā)展的兩個(gè)重要方面:一是數(shù)系的擴(kuò)充是生產(chǎn)實(shí)踐與社會(huì)發(fā)展的需要;二是數(shù)系的擴(kuò)充是數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展的需求(如解決運(yùn)算中的矛盾等).

(1)負(fù)數(shù)是如何產(chǎn)生的?《九章算術(shù)》是世界上最早詳細(xì)記載負(fù)數(shù)和運(yùn)算法則的著作．

(2)分?jǐn)?shù)是如何產(chǎn)生的?《九章算術(shù)》第二章“粟米”，糧食的按比例折換;第三章“衰分”，比例分配問題;第六章“均輸”，合理攤派賦稅等，對(duì)此都有明確記載．

無(wú)論是負(fù)數(shù)、分?jǐn)?shù)的確切定義和科學(xué)表示,還是分?jǐn)?shù)的算法,最早建立起來(lái)的都是中國(guó),比歐洲早1 400年．

(3)無(wú)理數(shù)是如何產(chǎn)生的?公元前500年,畢達(dá)哥拉斯學(xué)派提出“萬(wàn)物皆數(shù)”;門徒希伯索斯發(fā)現(xiàn)一個(gè)驚人的“悖論”:兩直角邊長(zhǎng)均為1的直角三角形的斜邊長(zhǎng)不是整數(shù)或分?jǐn)?shù)!

瑞士數(shù)學(xué)家歐拉取imaginary(想像的、假想的)一詞的詞頭i表示平方等于-1的“新數(shù)”.“新數(shù)”i,叫做虛數(shù)單位．

在備課時(shí)要注意將數(shù)學(xué)概念的形成以及發(fā)展過(guò)程融入教學(xué),讓學(xué)生能夠在學(xué)習(xí)的過(guò)程中更好地理解數(shù)學(xué)概念.同時(shí)還需要引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)進(jìn)行數(shù)學(xué)概念的探究和理解,進(jìn)而讓學(xué)生能夠充分發(fā)揮自身的思維能力,最終讓學(xué)生的深層次思維水平得到有效提升．

二、巧妙利用現(xiàn)有知識(shí),引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行概念的深度學(xué)習(xí)

要注意在新舊知識(shí)體系之間建立起合理的聯(lián)系,讓學(xué)生在溫習(xí)已學(xué)知識(shí)的同時(shí),更好地了解新的知識(shí)．特別是在進(jìn)行一些抽象概念的學(xué)習(xí)時(shí),需要引導(dǎo)學(xué)生借助舊的知識(shí)進(jìn)行思考,進(jìn)而有效增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)的能力．

在必修內(nèi)容“立體幾何初步”中,學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了如何求兩條異面直線所成的角,所用的方法是通過(guò)平移把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角,這是研究的基本思路,但這種轉(zhuǎn)化往往需要一定的技巧,具體計(jì)算也比較煩雜．從本質(zhì)上講,角度是組成角的兩條射線的“方向差”,因此只要知道兩條直線的方向向量,就能利用向量工具求出兩條異面直線所成角的度數(shù),而不需要進(jìn)行平移,再構(gòu)造三角形進(jìn)行計(jì)算．利用向量方法求兩條異面直線所成的角、直線與平面所成的角以及平面和平面所成的夾角,都可以不作出角.研究?jī)蓷l直線之間的角只需研究?jī)蓷l直線的方向向量的夾角；研究直線與平面所成角只需研究直線方向向量和平面法向量的夾角;研究?jī)蓚€(gè)平面所成角只需研究?jī)善矫娣ㄏ蛄康膴A角．解題步驟如圖1所示.

這種類比舊知、引入新知的教學(xué)方法,不僅能夠大幅提升教學(xué)的效率,還能夠很好地讓學(xué)生體會(huì)學(xué)習(xí)新知的重要性．概念課的引入可以充分利用知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系,針對(duì)學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備或易混淆的概念,采用數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部的聯(lián)系創(chuàng)設(shè)問題情境,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行對(duì)比、總結(jié),得出相關(guān)結(jié)論．這樣不僅能激發(fā)學(xué)生探究問題的動(dòng)機(jī),也有助于學(xué)生形成知識(shí)結(jié)構(gòu)．在數(shù)學(xué)概念課中,問題情境起著至關(guān)重要的作用,通過(guò)情境引出需要探究的問題,激發(fā)學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行探究的欲望．

三、借助問題式教學(xué),幫助學(xué)生構(gòu)建深度數(shù)學(xué)概念

深度學(xué)習(xí)的核心內(nèi)容是學(xué)生自身的學(xué)習(xí)以及體驗(yàn),需要引導(dǎo)學(xué)生積極進(jìn)行新知識(shí)的學(xué)習(xí)以及探索．可以結(jié)合實(shí)際的教學(xué)內(nèi)容,設(shè)計(jì)一系列由淺入深、層層遞進(jìn)的問題,引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)對(duì)所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行進(jìn)一步的思考和理解,并借助這些知識(shí)去解決一些實(shí)際問題,讓學(xué)生充分了解數(shù)學(xué)概念的整個(gè)形成和發(fā)展周期,進(jìn)而讓學(xué)生能夠在使用知識(shí)、學(xué)習(xí)知識(shí)的過(guò)程中進(jìn)行知識(shí)的深度構(gòu)建．

在“函數(shù)零點(diǎn)”概念課教學(xué)時(shí),先提出:

問題1(1)方程x2-x-6=0有根嗎?

(2)方程x6+x-3=0有根嗎?

問題2作出函數(shù)f(x)=x2-x-6的圖象,觀察函數(shù)圖象與方程x2-x-6=0的根有沒有聯(lián)系?

設(shè)計(jì)意圖先從“數(shù)”的角度研究方程x2-x-6=0的根,再引出本節(jié)課的新課內(nèi)容,把使函數(shù)f(x)=x2-x-6的值為0的實(shí)數(shù)x稱為函數(shù)f(x)=x2-x-6的零點(diǎn)．問題2從形的角度,由函數(shù)f(x)=x2-x-6的圖象與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo),進(jìn)一步理解零點(diǎn)定義．

問題3判斷函數(shù)f(x)=x2-2x-1在區(qū)間(2,3)上是否存在零點(diǎn)?

再作出函數(shù)f(x)=x2-2x-1的圖象,因?yàn)閒(2)=-1<0,f(3)=2>0,發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)f(x)=x2-2x-1圖象在區(qū)間[2,3]上是不間斷的,這表明此函數(shù)圖象在區(qū)間(2,3)內(nèi)一定與x軸相交,即函數(shù)在區(qū)間(2,3)上存在零點(diǎn).

問題4若函數(shù)y=f(x)為二次函數(shù),則它滿足下列哪個(gè)條件時(shí),函數(shù)y=f(x)在(a,b)上有零點(diǎn)?

(1)f(a)<0,f(b)>0；

(2)f(a)>0,f(b)<0；

(3)f(a)>0,f(b)>0；

(4)f(a)<0,f(b)<0.

問題5函數(shù)y=f(x)滿足什么條件時(shí),函數(shù)在區(qū)間(a,b)上有零點(diǎn)?

在經(jīng)歷上面5個(gè)問題后,學(xué)生能通過(guò)自己的語(yǔ)言將零點(diǎn)存在定理描述出來(lái),完成本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)．

在數(shù)學(xué)概念教學(xué)時(shí),設(shè)計(jì)的問題需要具有啟發(fā)性,能夠幫助學(xué)生通過(guò)思考去提高自身的思維深度以及廣度；需要符合學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”,具有層次性、遞進(jìn)性,能激發(fā)思維,有效實(shí)現(xiàn)課程目標(biāo)的達(dá)成．設(shè)計(jì)好的數(shù)學(xué)問題,需要讓學(xué)生感到問題有難度,但是經(jīng)過(guò)努力能夠達(dá)到,解答后能體會(huì)一種“成功”的喜悅,渴望繼續(xù)解決一個(gè)問題．通過(guò)這樣的問題, 能夠突破教學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn),培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力．

四、設(shè)計(jì)情境創(chuàng)設(shè)中的變式,促進(jìn)數(shù)學(xué)概念深度學(xué)習(xí)

創(chuàng)設(shè)情境進(jìn)行教學(xué)本身就可以提升學(xué)習(xí)興趣,幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)理論知識(shí)．如果在情境創(chuàng)設(shè)中設(shè)計(jì)變式訓(xùn)練,則學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和積極性將會(huì)得到更大激發(fā),而且其中的知識(shí)也會(huì)比單獨(dú)的情境教學(xué)更加直觀和更易理解,從而有效地幫助學(xué)生深度學(xué)習(xí)．

在圓錐曲線教學(xué)時(shí),雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程與橢圓很類似,學(xué)生已有學(xué)習(xí)橢圓的一些經(jīng)驗(yàn),怎么由橢圓的定義自然過(guò)渡到雙曲線的定義？可設(shè)計(jì)教學(xué)(片段)如下.

復(fù)習(xí)橢圓的定義．

探究與拓展用圓規(guī)畫一個(gè)圓O,然后在圓內(nèi)標(biāo)記點(diǎn)A,并把圓周上的點(diǎn)P1折疊到點(diǎn)A,連結(jié)OP1標(biāo)記出OP1與折痕l1的交點(diǎn)M1(如圖2),若不斷在圓周上取新的點(diǎn)P2,P3…，進(jìn)行折疊并得到標(biāo)記點(diǎn)M2,M3…則點(diǎn)M1,M2,M3…形成的軌跡是什么?并說(shuō)明理由.

變式當(dāng)定點(diǎn)A在圓外,此時(shí)形成的軌跡是什么?

題目的本質(zhì)就是到兩定點(diǎn)的距離之和是定值,過(guò)渡到兩定點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值是定值，從而得出相關(guān)點(diǎn)的軌跡是雙曲線．

變式思維與情境教學(xué)結(jié)合在一起可以更

好地展示數(shù)學(xué)知識(shí)的相通性,同時(shí)也可以更好地啟發(fā)學(xué)生思維,深度挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)涵,從更深的層次理解知識(shí)．

變式教學(xué)是數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)中重要的內(nèi)容．通過(guò)變式訓(xùn)練的方式,讓學(xué)生掌握知識(shí)的本質(zhì),在解決問題的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)復(fù)雜問題背后的屬性,進(jìn)而有效提升學(xué)習(xí)效果的同時(shí),幫助學(xué)生建立更加優(yōu)良的數(shù)學(xué)思維．

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)方法的集中體現(xiàn),在數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計(jì)中,要充分關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的達(dá)成;要深入理解數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的內(nèi)涵、價(jià)值、表現(xiàn)、水平及其相互聯(lián)系;要結(jié)合特定教學(xué)任務(wù),思考相應(yīng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)在數(shù)學(xué)中的孕育點(diǎn)、生長(zhǎng)點(diǎn)[3]．深度學(xué)習(xí)下的數(shù)學(xué)概念課設(shè)計(jì)，為教師提供了課堂變革的基本思路和原則,有助于提高教師的專業(yè)素養(yǎng),使教師能夠精準(zhǔn)設(shè)計(jì)每一堂課教學(xué)．基于深度學(xué)習(xí)的教學(xué)設(shè)計(jì)，在圍繞理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)下開展,遵循學(xué)科特點(diǎn),找準(zhǔn)數(shù)學(xué)學(xué)科價(jià)值引領(lǐng)的支撐點(diǎn),關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科目標(biāo)在教學(xué)中的可實(shí)現(xiàn)性．同時(shí)，深度學(xué)習(xí)是內(nèi)源性學(xué)習(xí),需要給予學(xué)生充分的指導(dǎo)和幫助,并為他們營(yíng)造出更多的自主解決、分析知識(shí)以及問題的環(huán)境,進(jìn)而讓學(xué)生的綜合素養(yǎng)水平得到有效提升．