與叢管子相關(guān)的代數(shù)的剛性模

龍婷，謝云麗

（西南交通大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，四川 成都 611756）

與叢管子相關(guān)的代數(shù)的剛性模

龍婷，謝云麗*

（西南交通大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，四川 成都 611756）

設(shè)是叢管子，是中的極大剛性對(duì)象，是T對(duì)應(yīng)的自同態(tài)代數(shù)，由函子誘導(dǎo)的的某個(gè)滿子范疇的商范疇等價(jià)于有限生成-模范疇，基于此，通過中的對(duì)象刻畫了的不可分解剛性模，并給出一個(gè)當(dāng)且僅當(dāng)?shù)臈l件。

叢管子；極大剛性對(duì)象；剛性模

0 引言

2001年，F(xiàn)OMIN等［1］提出了叢代數(shù)概念，并對(duì)叢變量有限的叢代數(shù)進(jìn)行了分類［2］，將有限型叢代數(shù)分為反對(duì)稱的，，，，型和可反對(duì)稱化的，，，型。此后，利用代數(shù)表示論中豐富的范疇結(jié)構(gòu)研究叢代數(shù)成為熱點(diǎn)，如BUAN等［3］利用叢范疇和叢傾斜對(duì)象將，，，，型叢代數(shù)范疇化；BUAN等［4］、ZHOU等［5］、FU等［6］利用叢管子中的極大剛性對(duì)象及其自同態(tài)代數(shù)將，型叢代數(shù)范疇化。叢管子最早被看作管子（某種特殊的遺傳阿貝爾范疇）的叢范疇。與一般的叢范疇不同，叢管子中沒有叢傾斜對(duì)象［7］，BUAN等［4］證明了叢管子具有叢結(jié)構(gòu)，其中的極大剛性對(duì)象與叢代數(shù)中相應(yīng)的叢對(duì)應(yīng)。IYAMA等［8］證明了存在叢管子的某個(gè)滿子范疇，其商范疇等價(jià)于極大剛性對(duì)象的自同態(tài)代數(shù)的有限生成模范疇。文獻(xiàn)［9-10］證明了在叢管子中極大剛性對(duì)象的自同態(tài)代數(shù)的支撐-傾斜模與極大剛性對(duì)象對(duì)應(yīng)。

在上述研究基礎(chǔ)上，本文研究叢管子中極大剛性對(duì)象的自同態(tài)代數(shù)的剛性表示。結(jié)構(gòu)如下：第1節(jié)介紹叢管子和叢管子中極大剛性對(duì)象的自同態(tài)代數(shù)，第2節(jié)利用Iyama-Yoshino等價(jià)刻畫叢管子中極大剛性對(duì)象的自同態(tài)代數(shù)的剛性模。

1 叢管子及其極大剛性對(duì)象的基本性質(zhì)

圖1 秩為的管子的-箭圖Fig.1 The -quiver of a tube of rank

引理1［12］設(shè)是中的對(duì)象，的長(zhǎng)度為。若態(tài)射在的-箭圖中對(duì)應(yīng)的路含有不少于個(gè)向下的箭頭，則。

引理2［12］（1）當(dāng)時(shí)，；

記

定義1設(shè)是叢管子中的對(duì)象，

關(guān)于叢管子和叢管子中的極大剛性對(duì)象，有［4，6］

引理3設(shè)是中的不可分解對(duì)象，則

引理4設(shè)是中的不可分解對(duì)象且。若，則。

引理5（1）是中的不可分解剛性對(duì)象當(dāng)且僅當(dāng)；

關(guān)于叢管子中極大剛性對(duì)象的自同態(tài)代數(shù)，給出以下具體例子。

例1設(shè)是秩為4的叢管子，對(duì)象在叢管子中的具體位置如圖2所示。

圖2 在叢管子中的具體位置Fig.2 The specific position of in cluster tube

圖3 代數(shù)的Gabriel箭圖Fig.3 The Gabriel quiver of algebra

2 叢管子中極大剛性對(duì)象的自同態(tài)代數(shù)的剛性模

定義2設(shè)是一個(gè)-模，

引理6設(shè)為叢管子中的對(duì)象，為對(duì)應(yīng)的-模，則為剛性的充分必要條件是

為方便敘述，引入記號(hào)：

注1由叢管子中不可分解剛性對(duì)象、和3個(gè)集合組成，且3個(gè)集合兩兩互不相交。文獻(xiàn)［15］中定理4.8指出，函子給出了與由不可分解-模組成的集合一一對(duì)應(yīng)。文獻(xiàn)［12］中命題3.7證明了對(duì)中不可分解對(duì)象而言，如果態(tài)射在的-箭圖中對(duì)應(yīng)的是從出發(fā)，經(jīng)過個(gè)向下的箭頭映至，再合成個(gè)向上的箭頭指向的路，則通過分解的充分必要條件是

引理7當(dāng)時(shí)，是剛性-模。

可得長(zhǎng)正合列：

所以滿射

有

引理8當(dāng)時(shí)，不是剛性-模。

所以

綜上，可得

定理1設(shè)是秩為的叢管子，是的極大剛性對(duì)象，是對(duì)應(yīng)的自同態(tài)代數(shù)。若是中不屬于的不可分解對(duì)象，為對(duì)應(yīng)的-模，則為剛性-模的充分必要條件是滿足：

例2延續(xù)例1，的剛性模如圖4所示，其中，○表示中的不可分解模，?表示映至中的是剛性模而不是-剛性模，●表示-剛性模，表示-箭圖中的間隙。

圖4 中的剛性模Fig.4 The rigid modules of

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Rigid modules of the algebras arising from cluster tubes

LONG Ting, XIE Yunli

（School of Mathematics，Southwest Jiaotong University，Chengdu611756，China）

Letbe a cluster tube,be a maximal rigid object of,be the endomorphism algebra of.induces an equivalence between some quotient category and the category of finitely generated-modules. This note uses this equivalence to characterize the indecomposable rigid modules over,and gives an if and only if condition for this indecomposable rigid modules.

cluster tube; maximal rigid object; rigid module

O 154.1

A

1008?9497（2022）05?527?05

2021?05?25.

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（12171397）.

龍婷（1996—），ORCID：https：//orcid.org/0000-0003-4905-8329，女，碩士研究生，主要從事代數(shù)表示論的研究.

通信作者，ORCID：https：//orcid.org/0000-0003-1514-7403，E-mail：xieyunli@swjtu.edu.cn.

10.3785/j.issn.1008-9497.2022.05.002