拉梅系數(shù)在力學(xué)中的應(yīng)用

周 健，馬瑛晗，毛英臣

(遼寧師范大學(xué) 物理與電子技術(shù)學(xué)院,遼寧 大連 116029)

拉梅(G. Lamé)系數(shù)，又被稱為度規(guī)元，反映了在任意點(diǎn)P處沿坐標(biāo)(q1,q2,q3)方向的長度(微元)增量分別與沿各自坐標(biāo)增量的比值，在數(shù)學(xué)與物理中有重要的應(yīng)用.如沈孝明利用拉梅系數(shù)給出了動(dòng)力學(xué)方程的一種新形式[1]，張春雷等利用拉梅系數(shù)給出了正交曲線坐標(biāo)系中加速度的矢量求法[2]，謝樹藝?yán)美废禂?shù)給出了梯度、散度、旋度與調(diào)和量的表達(dá)式[3], 上述工作僅對拉梅系數(shù)在某一知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用進(jìn)行了介紹.本文對拉梅系數(shù)在力學(xué)方面的應(yīng)用做了系統(tǒng)梳理，為方便讀者理解、記憶給出了對應(yīng)物理量的一般表達(dá)式，并結(jié)合具體事例介紹了其在運(yùn)動(dòng)學(xué)和分析力學(xué)里的應(yīng)用．

1 拉梅系數(shù)

在空間中任意一點(diǎn)，如果3個(gè)坐標(biāo)曲線都互相正交，并且3個(gè)坐標(biāo)曲面也互相正交，則稱這樣的坐標(biāo)系為正交曲線坐標(biāo)系．若空間某一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(q1,q2,q3)，位矢為r，則位矢r的增量為

(1)

(2)

(3)

由式(3)可知，拉梅系數(shù)反映了任意點(diǎn)P沿(q1,q2,q3)方向的長度(微元)增量分別與沿各自坐標(biāo)增量的比值．

圖1 球坐標(biāo)示意圖

如圖1所示，可通過對球坐標(biāo)系中拉梅系數(shù)的計(jì)算來加深對其定義的理解．在點(diǎn)P沿(r,θ,φ)方向的長度增量分別為

dlr=dr， dlθ=rdθ， dlφ=rsinθdφ

根據(jù)定義很容易得到球坐標(biāo)系中拉梅系數(shù)為

(4)

同理，易求得其他坐標(biāo)系中的拉梅系數(shù)，如表1第2列所示．

2 拉梅系數(shù)在運(yùn)動(dòng)學(xué)中的應(yīng)用

2.1 弧長、面元和體元

(5)

進(jìn)一步，利用上式可以將弧長表示為

(6)

曲線的弧長微元ds在坐標(biāo)軸上的投影為dsi，通常取弧長增大的方向與對應(yīng)的曲線增大時(shí)坐標(biāo)曲線的走向一致，這樣dsi與dqi就有相同的正負(fù)號(hào)，從而有

dsi=hidqi

(7)

由此可將面元和體元分別表示為

dSij=dsidsj=hihjdqidqj， (i≠j)

(8)

dV=hihjhkdqidqjdqk， (i≠j≠k)

(9)

2.2 速度

設(shè)點(diǎn)P處位矢r可表示為曲線坐標(biāo)的函數(shù)r=r(q1,q2,q3)，其中q是時(shí)間t的函數(shù)，故點(diǎn)P處的速度可表示為

(10)

利用式(3)可將點(diǎn)P處的速度表示為如下形式：

(11)

式(11)給出的速度是正交曲線坐標(biāo)系中的一般形式，實(shí)際問題中最常用的直角坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系以及球坐標(biāo)系都可看作正交曲線坐標(biāo)系的特殊情況．為表述方便，可將正交單位向量基用ei(α)(下標(biāo)標(biāo)注對應(yīng)不同的坐標(biāo)參量)表示．下面以極坐標(biāo)系為例，來看一下點(diǎn)P處速度的具體表達(dá)式．

極坐標(biāo)系下的位矢r=rer，從表1可知其拉梅系數(shù)為hr=1、hθ=r，將其代入式(11)可以得到在點(diǎn)P處的速度為

(12)

所得結(jié)果即大家所熟悉的形式．

為方便理解和記憶，筆者在表1中列出了不同坐標(biāo)系中點(diǎn)P的拉梅系數(shù)、位移dr、體元和速度．

表1 不同坐標(biāo)系中點(diǎn)P的拉梅系數(shù)、位移dr、體元和速度

3 拉梅系數(shù)在分析力學(xué)中的應(yīng)用

3.1 廣義力

分析力學(xué)是對經(jīng)典力學(xué)的高度數(shù)學(xué)化的表達(dá)[5]，它通過用廣義坐標(biāo)來描述質(zhì)點(diǎn)系．對受穩(wěn)定、理想約束的體系，一般將廣義力定義為

(13)

其中qα為廣義坐標(biāo)，將不同坐標(biāo)系的拉梅系數(shù)代入公式(13)，可得極坐標(biāo)系中廣義力為

Qr=Fr

Qθ=rFθ

以及球坐標(biāo)系中廣義力為

Qr=Fr

Qθ=rFθ

Qφ=rsinθFφ

其他坐標(biāo)系中的廣義力被展示在表2中，通過對比表2的第2列，利用拉梅系數(shù)可將廣義力表示為

(14)

顯然廣義力Qα是主動(dòng)力Fi在其坐標(biāo)方向的投影與相應(yīng)拉梅系數(shù)乘積的代數(shù)和．結(jié)合虛功的定義和式(14)，我們可以得到廣義坐標(biāo)下虛功的表達(dá)式為

(15)

下面，可通過對質(zhì)點(diǎn)在球坐標(biāo)系中運(yùn)動(dòng)方程[6]的求解過程來理解應(yīng)用拉梅系數(shù)的便捷性．

將球坐標(biāo)系中的拉梅系數(shù)hr=1、hθ=r、hφ=rsinθ代入式(6)可得

(ds)2=(dr)2+r2(dθ)2+r2sin2θ(dφ)2

故質(zhì)點(diǎn)的速度可表示為

進(jìn)而可得質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能為

將質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能和廣義力代入基本形式的拉氏方程,有

整理可得質(zhì)點(diǎn)在球坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)方程為

這里需要指出的是，在求解質(zhì)點(diǎn)速度時(shí)，還可直接應(yīng)用式(11)，這樣計(jì)算更加簡潔．從上述分析中可以看出，應(yīng)用拉梅系數(shù)可串聯(lián)對線元、速度和廣義力的求解，從而利于對這些知識(shí)的整合理解．

3.2 哈密頓量

對于穩(wěn)定的保守系統(tǒng)，哈密頓量H等于系統(tǒng)的總機(jī)械能，即哈密頓量H=T+V.H的物理意義是代表廣義能量，它是用正則坐標(biāo)和正則動(dòng)量表示的函數(shù)，而利用拉梅系數(shù)hα可將廣義動(dòng)能表示為

(16)

因此利用拉梅系數(shù)可將系統(tǒng)的哈密頓量表示為

(17)

一般地，勢能是已知項(xiàng)，利用帶有拉梅系數(shù)的廣義動(dòng)能函數(shù)很容易求出體系的哈密頓量．例如在求解平面開普勒問題的哈密頓量時(shí)，我們可以直接由極坐標(biāo)系下的動(dòng)能函數(shù)求得系統(tǒng)的哈密頓量[7]．

取極坐標(biāo)r、θ為廣義坐標(biāo)，則勢能為

其中κ為比例系數(shù).將極坐標(biāo)系的拉梅系數(shù)hr=1、hθ=r代入式(16)，可得

故開普勒問題的哈密頓量為

由此我們發(fā)現(xiàn)，可不用求解體系的拉格朗日量，便可利用拉梅系數(shù)直接寫出體系的動(dòng)能函數(shù)，從而得到哈密頓量，簡化了運(yùn)算過程．表2展示了利用拉梅系數(shù)表示的廣義力、虛功和動(dòng)能函數(shù)的一般表達(dá)式．實(shí)際上，也可通過坐標(biāo)變換關(guān)系得到用廣義坐標(biāo)、廣義速度表示的力和動(dòng)能等物理量．結(jié)合表1和表2可以看出，利用拉梅系數(shù)，我們可以把運(yùn)動(dòng)學(xué)和分析力學(xué)串聯(lián)起來，從而很容易得出力學(xué)量的一般表達(dá)式，有利于對相關(guān)知識(shí)的串聯(lián)整合．

4 小結(jié)

本文首先介紹了拉梅系數(shù)的定義，然后以球坐標(biāo)系為例，求解了該坐標(biāo)系的拉梅系數(shù)，進(jìn)而系統(tǒng)分析了拉梅系數(shù)在求解面元、體元、位移以及速度中的應(yīng)用．為充分理解拉梅系數(shù)的使用范圍，我們通過兩個(gè)具體問題討論了拉梅系數(shù)在表示廣義力、虛功和哈密頓量中的應(yīng)用．通過分析，我們可知拉梅系數(shù)揭示了一類物理問題的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，利用該量可簡化對這類問題的理解．此外，利用拉梅系數(shù)表示力學(xué)量的過程可以增強(qiáng)對力學(xué)中相關(guān)知識(shí)的整合與梳理．

表2 利用拉梅系數(shù)表示的廣義力、虛功和動(dòng)能函數(shù)