論相對(duì)論坐標(biāo)變換的線性特性

郜 青，龔云貴

(1. 西南大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，重慶 400715；2. 華中科技大學(xué) 物理學(xué)院，湖北 武漢 430074)

狹義相對(duì)論與量子力學(xué)是現(xiàn)代物理的兩大支柱. 愛(ài)因斯坦于1905年提出了相對(duì)論的兩個(gè)基本假設(shè)：相對(duì)性原理與光速不變?cè)韀1]. 相對(duì)性原理指的是所有慣性參考系都是等價(jià)的，物理規(guī)律比如力學(xué)現(xiàn)象、電磁現(xiàn)象等對(duì)于所有慣性參考系都可以表示為相同形式. 光速不變?cè)碇傅氖钦婵罩械墓馑傧鄬?duì)于任何慣性系沿任一方向速度恒為c，與光源運(yùn)動(dòng)無(wú)關(guān). 基于這兩個(gè)基本假設(shè)，以及時(shí)空是均勻各向同性的特點(diǎn)，我們可以推導(dǎo)出兩個(gè)慣性坐標(biāo)系之間的洛倫茲變換及間隔不變性. 在間隔不變性及洛倫茲變換的推導(dǎo)中，相對(duì)論變換的線性特性是非常關(guān)鍵的一步. 在很多力學(xué)、普通物理、電動(dòng)力學(xué)及相對(duì)論的教科書中，關(guān)于相對(duì)論變換必須是線性變換通常都是一筆帶過(guò)[2-8]. 這些教課書利用勻速運(yùn)動(dòng)(所有慣性參考系中的運(yùn)動(dòng)都是勻速運(yùn)動(dòng))及時(shí)空均勻各向同性論斷相對(duì)論坐標(biāo)變換必須是線性變換，它們給出的基本理由是非線性變換會(huì)導(dǎo)致一個(gè)參考系中的勻速運(yùn)動(dòng)在另外一個(gè)參考系中變?yōu)榧铀龠\(yùn)動(dòng). Rindler在他所著《相對(duì)論：狹義，廣義與宇宙學(xué)》(Relativity: special, general and cosmological)中利用原時(shí)(間隔)不變性對(duì)上述理由給出了一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)證明[9]. 而郭碩鴻在他所著的《電動(dòng)力學(xué)》中則是先利用線性變換去證明間隔不變性，然后才推導(dǎo)出洛倫茲變換. 其實(shí)溫伯格在他所著的《引力論與宇宙學(xué)》(Gravitation and cosmology: principle and applications of the general theory of relativity)書中嚴(yán)格證明了保持間隔不變性的相對(duì)論變換一定是線性變換[10]. 同時(shí)溫伯格也指出保持間隔為零不變的相對(duì)論變換可以是非線性變換.

在實(shí)際教學(xué)中，部分學(xué)生無(wú)法理解保持勻速運(yùn)動(dòng)的相對(duì)論坐標(biāo)變換一定是線性變換的論斷. 物理學(xué)的本質(zhì)就是要利用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)來(lái)說(shuō)明簡(jiǎn)單豐富的物理思想. 本文作者正是為了解答學(xué)生的疑問(wèn)及闡釋線性變換的物理思想，找到了一個(gè)證明慣性參考系之間的相對(duì)論坐標(biāo)變換只能是線性變換的證明，供同行們參考. 本文先證明相對(duì)論變換函數(shù)是一個(gè)單變量函數(shù)，然后利用相對(duì)性原理證明線性變換，最后利用光速不變性確定線性變換系數(shù)，從而最終得到洛倫茲變換.

1 變換函數(shù)是單變量函數(shù)

考慮兩個(gè)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的慣性坐標(biāo)系，即∑′系以速度v相對(duì)于∑系運(yùn)動(dòng)(注意v≠c)，這兩個(gè)慣性系的空間坐標(biāo)和時(shí)間已經(jīng)利用光速不變?cè)戆赐ǔ５霓k法定義好了(這里假設(shè)定義了時(shí)間和空間坐標(biāo)的時(shí)空是均勻各向同性的). 初始時(shí)刻，∑′系坐標(biāo)原點(diǎn)和∑系坐標(biāo)原點(diǎn)重合，且∑′系坐標(biāo)原點(diǎn)的時(shí)鐘和∑系坐標(biāo)原點(diǎn)的時(shí)鐘對(duì)準(zhǔn)，x=0,t=0,x′=0,t′=0(可以是任意一點(diǎn)，為方便討論，選取坐標(biāo)原點(diǎn)). ∑′系與∑系之間最一般坐標(biāo)變換關(guān)系為

x′=fa(x,t)

(1)

t′=ga(x,t)

(2)

它們之間的微分變換關(guān)系為

(3)

(4)

函數(shù)fa及ga滿足fa(0,0)=ga(0,0)=0.

1.1 引理1

函數(shù)fa(x,t)是一個(gè)單變量函數(shù)，且fa(x,t)=f(x-vt).由于∑′系的原點(diǎn)x′=0(可以是任意一點(diǎn))在∑系看來(lái)是在做勻速運(yùn)動(dòng)dx=vdt，代入到式(3)則得到

(5)

所以有

(6)

對(duì)式(6)兩邊求時(shí)間導(dǎo)數(shù)可得

(7)

由上式可知，如果?2fa/?x?t=0，則函數(shù)fa為線性函數(shù). 對(duì)式(6)兩邊求x導(dǎo)數(shù)并結(jié)合式(7)可得

(8)

顯然函數(shù)f滿足波動(dòng)方程，滿足初始條件f(0,0)=0的解為

fa=f(x-vt)

(9)

上述解也可通過(guò)引入新變量l1=x+vt及l(fā)2=x-vt得到. 利用這些新變量式(6)簡(jiǎn)化為?fa/?l1=0，加上條件fa(0,0)=0則得到上述解fa=fa(l2)=f(x-vt).

由相對(duì)性原理可知，∑系相對(duì)于∑′以速度-v做勻速運(yùn)動(dòng)，因此式(1)的逆變換為x=f(x′+vt′). 由此可知x′+vt′=fa+vga只是x的函數(shù)，fa+vga對(duì)時(shí)間t的偏導(dǎo)數(shù)為零，即

(10)

及

(11)

上述關(guān)系式(10)及式(11)也可以直接由∑系中原點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)得到. ∑系中原點(diǎn)(任意一點(diǎn))在∑′系以-v運(yùn)動(dòng)，dx=0且dx′=-vdt′，代入式(3)和式(4)則可得到式(10)及式(11).

1.2 引理2

(12)

上述式(12)最后兩行給出函數(shù)g所滿足的方程：

(13)

如果u′=u-v，此即牛頓力學(xué)中的速度相加公式，這與光速不變?cè)砻?，可以被排? 實(shí)際上這種情況就是伽利略變換. 由牛頓力學(xué)中的速度相加公式u′=u-v得到?ga/?x=0，有

t′=ga(x,t)=Ga(t)

(14)

(15)

另外，結(jié)合式(11)及式(13)可得

(16)

(17)

2 慣性坐標(biāo)系之間的相對(duì)論變換

定理：慣性坐標(biāo)系之間的相對(duì)論變換一定是線性變換.

現(xiàn)在我們可以證明函數(shù)f和g為線性函數(shù). 為了表述方便，把式(10)、(11)及(16)統(tǒng)一寫成

(18)

(19)

(20)

(21)

即函數(shù)f與g為線性函數(shù)，線性變換得證.

目前，發(fā)電企業(yè)、電網(wǎng)公司和用戶是中國(guó)電力市場(chǎng)中三大市場(chǎng)主體。為便于分析，這里所指的電力行業(yè)的市場(chǎng)結(jié)構(gòu)由發(fā)電企業(yè)(發(fā)電商)、電網(wǎng)公司(購(gòu)電商)和用戶組成，模型見圖1。

(22)

f(x′+vt′)=f[p(-v);-v]，

g(x′-αt′)=g[q(-v);-v]

其中變量

p(v)=x-vt，p(-v)=x′+vt′

由于空間是各向同性的，x以速度v運(yùn)動(dòng)與-x以速度-v運(yùn)動(dòng)是等價(jià)的，所以有

f(x-vt)=-f[-(x+vt);-v]，

df(p;v)/dp=df(p;-v)/dp

由引理1及引理2可知

f[f(x′+vt′;-v)-vg(x′-αt′;-v);v]

(23)

(24)

(25)

(26)

式(26)給出

(26)

把這個(gè)結(jié)果式(27)代入式(25)可得

(27)

(28)

且dg(q;v)/dq=-vγ/c2. 由此很容易得到洛倫茲變換為

(29)

(30)

式中β=v/c.

總之，我們利用時(shí)空的均勻各向同性及狹義相對(duì)論的兩個(gè)基本原理，證明了慣性系之間的相對(duì)論坐標(biāo)變換一定是線性變換，并且由此推導(dǎo)出了洛倫茲變換.