解構(gòu)·結(jié)構(gòu)·建構(gòu)
——基于“圓的認(rèn)識(shí)”單元探討“空間與圖形”的有效教學(xué)

浙江省杭州市杭州師范大學(xué)附屬競潮小學(xué) 倪燦東

“圓的認(rèn)識(shí)”是小學(xué)階段唯一的曲線平面圖形單元，也是小學(xué)數(shù)學(xué)教材中非常傳統(tǒng)的一個(gè)內(nèi)容，它涉及的知識(shí)點(diǎn)包括認(rèn)識(shí)圓的基本概念以及各部分名稱，學(xué)會(huì)畫圓，熟練掌握?qǐng)A的周長、面積計(jì)算，會(huì)用圓的知識(shí)解釋生活中的問題?？梢?，這個(gè)單元知識(shí)點(diǎn)密集、目標(biāo)諸多。筆者在教學(xué)該單元后，針對(duì)學(xué)生在單元練習(xí)中的種種錯(cuò)誤進(jìn)行了錯(cuò)因分析（見表1）。

表1 “圓的認(rèn)識(shí)”單元練習(xí)題常見錯(cuò)誤統(tǒng)計(jì)

諸多現(xiàn)狀值得深思，再次面對(duì)這個(gè)教學(xué)內(nèi)容時(shí)，筆者試圖從整體教學(xué)視角開始思量它的改進(jìn)之法。

一、溯源思考——重新審視單元目標(biāo)定位

整體教學(xué)側(cè)重對(duì)單元教學(xué)目標(biāo)的理解和把控?；氐皆c(diǎn)思考，“圓的認(rèn)識(shí)”這一單元教學(xué)究竟是為了什么？“圓的認(rèn)識(shí)”屬于空間與圖形的領(lǐng)域，與其他幾何圖形類似，其核心要求是學(xué)生對(duì)幾何圖形自身表征的認(rèn)識(shí)及圖形的測(cè)量等相關(guān)內(nèi)容的掌握。通過本單元的學(xué)習(xí)讓學(xué)生掌握?qǐng)A的概念，知道圓的周長和面積的求法，并能解決相關(guān)的實(shí)際問題，同時(shí)發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

上述狀況的出現(xiàn)，是教育的理想與現(xiàn)實(shí)之間的落差，也就是目標(biāo)定位的問題。細(xì)究產(chǎn)生落差原因，對(duì)教師來說主要是缺乏主導(dǎo)的自信，被分?jǐn)?shù)所牽，在教學(xué)中處于“被教”的狀態(tài)；對(duì)學(xué)生來說主要是空間的表象支撐不夠，為題目所累，缺少認(rèn)知間的連結(jié)能力，思維產(chǎn)生定勢(shì)。

如何適時(shí)適當(dāng)適度地加以改進(jìn)，既兼顧知識(shí)技能的獲得，又實(shí)現(xiàn)空間能力的培養(yǎng)呢？筆者提出以下兩點(diǎn)教學(xué)設(shè)想：

1.知識(shí)間的網(wǎng)絡(luò)式的結(jié)構(gòu)，不僅有助于知識(shí)的習(xí)得，更使學(xué)生在貫與聯(lián)的學(xué)習(xí)方法中形成有效的知識(shí)鏈。嘗試從單元整體教學(xué)入手，把對(duì)形的認(rèn)識(shí)和度量用聯(lián)系的觀念適當(dāng)整合。本單元以圓的教學(xué)為內(nèi)容，既包容了圖形的一維空間（形的認(rèn)知）又兼容二維空間（形的度量）的認(rèn)識(shí)，是小學(xué)階段較為集中的空間觀念的學(xué)習(xí)，具有一定的典型性。

2.六年級(jí)的學(xué)生已經(jīng)積累了一定的學(xué)習(xí)空間圖形的經(jīng)驗(yàn)，可以讓學(xué)生從特定的角度，采用一定的學(xué)習(xí)方式，利用先前學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，充分發(fā)揮主觀能動(dòng)性進(jìn)行學(xué)習(xí)。

二、實(shí)踐策略——精心構(gòu)建空間認(rèn)知體系

1.活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)——解構(gòu)圓形的美

對(duì)學(xué)生來說，圓是一個(gè)并不陌生的圖形，生活中處處可見，但它又與由直線構(gòu)成的圖形有所區(qū)別。因此在由線段構(gòu)成的平面圖形經(jīng)驗(yàn)逐漸固化時(shí)，曲線圍成的圖形的出現(xiàn)必然會(huì)產(chǎn)生認(rèn)知上的沖突。這些看似有利或不利的經(jīng)驗(yàn)均可以作為教學(xué)的助推點(diǎn)。

（1）解構(gòu)教材體系，明確教學(xué)目標(biāo)

本單元的主要內(nèi)容包括：圓的特征、圓的周長和面積計(jì)算。作為知識(shí)的基礎(chǔ)便是平面圖形的認(rèn)知。知識(shí)技能是顯性的要求，而從更為寬泛的要求看，學(xué)生的空間觀念、空間思維能力等都要獲得同等發(fā)展，兩者又相互作用，不能顧此失彼。因此，教師無論在教學(xué)哪塊知識(shí)時(shí)，都要與總體要求掛鉤，與總目標(biāo)加以聯(lián)系，做到胸有成竹，既不失偏頗，又游刃有余。

學(xué)生對(duì)于圓的知識(shí)有一定的生活經(jīng)驗(yàn)，并不陌生，所以“學(xué)習(xí)開始的地方不一定在課堂”，教師要充分利用和調(diào)動(dòng)學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，強(qiáng)化概念的建立。

比如，教學(xué)完“圓的認(rèn)識(shí)”一課后，出示一組數(shù)據(jù)，讓學(xué)生說說圓的直徑或半徑是多少，然后想一想，這樣的圓會(huì)是生活中的什么物體。

?

學(xué)生知識(shí)儲(chǔ)備的差異和個(gè)性的差異，往往會(huì)影響到他們參與學(xué)習(xí)活動(dòng)的整個(gè)過程。這樣的練習(xí)不是單純地找直徑與半徑的關(guān)系，而是與生活中的現(xiàn)象聯(lián)系起來，同時(shí)也為學(xué)習(xí)圓的周長或面積埋下了伏筆。

又如，車輪為什么都是圓形的？以這樣一個(gè)與生活緊密相連的問題作為對(duì)圓的認(rèn)識(shí)的總結(jié)，引發(fā)學(xué)生的思考，不單只為解決與此相關(guān)的一個(gè)問題，其實(shí)是引導(dǎo)學(xué)生整合自然、社會(huì)、歷史等各個(gè)領(lǐng)域?qū)ⅰ皥A”的功能有效地挖掘，放大圓的文化特性和實(shí)用價(jià)值，在與生活對(duì)話中挖掘圖形所散發(fā)的獨(dú)特功能魅力。

（2）多重感官參與，豐富表象積累

對(duì)于一個(gè)概念的認(rèn)識(shí)，尤其是幾何圖形表征的建立，更要充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的視覺、觸覺、聽覺等各種感官來共同參與，才能對(duì)空間與圖形的特征準(zhǔn)確清晰地把握。

在教學(xué)圓的認(rèn)識(shí)時(shí)，筆者以“畫”為載體，充分挖掘和調(diào)動(dòng)學(xué)生的各方面能力，把對(duì)圓的認(rèn)識(shí)由表及里，由模糊到清晰的過程展示出來。

試水“畫”：布置課前作業(yè)，要求學(xué)生試著去畫圓，想想你能用哪些方法畫，能畫出大小不一樣的圓嗎？

作業(yè)展示，互評(píng)。

生：因?yàn)閳A是由一條曲線圍成的，十分的光滑，不能徒手畫，要有工具的。

師：那你們是怎么畫的？

生1：我是用一個(gè)圓形蓋子，繞一圈畫成的。

生2：我是用圓規(guī)畫的……

交流畫法的過程，其實(shí)就是對(duì)圓的感性認(rèn)識(shí)加理性識(shí)別的過程。

畫圓是認(rèn)識(shí)圓的一個(gè)基本要求，所以課堂上的練習(xí)必不可少。標(biāo)注圓心，畫上直徑與半徑等均可讓學(xué)生在手指間的操作中完成，在交流畫不同大小和位置的圓時(shí)，我們也可畫得更生活化一些，如引出五環(huán)，重疊的圓環(huán)等。

圓心決定圓的位置

半徑?jīng)Q定圓的大小

從畫同樣大小但不同位置的圓到畫不同大小卻同一圓心的圓，教師利用這樣的畫圓經(jīng)歷引導(dǎo)學(xué)生對(duì)圓的知識(shí)點(diǎn)有了新的認(rèn)識(shí)，而且立足于不同的學(xué)生對(duì)于圓的初步印象，有的放矢地加以引導(dǎo)，達(dá)到對(duì)圓由表及里的認(rèn)識(shí)。

提升“畫”：在介紹圓的認(rèn)識(shí)時(shí)，我們會(huì)以“一中同長也”這一句古話作為圓的本義的再次應(yīng)用。如果讓學(xué)生體驗(yàn)到“一畫可識(shí)圓也”的異曲同工之妙，印象深刻，回味無窮。

讓學(xué)生嘗試畫一畫。在開始的試畫中，教師已讓學(xué)生明白“沒有規(guī)矩?zé)o以成方圓”這句話中的“矩”就是圓規(guī)。事實(shí)上當(dāng)?shù)谝还?jié)課出現(xiàn)用圓規(guī)畫圓后，學(xué)生已鮮有機(jī)會(huì)再用圓規(guī)畫圓。因此，讓學(xué)生有足夠的機(jī)會(huì)和時(shí)間用尺規(guī)畫圓顯得很有必要。于是，筆者重新梳理一些組合圖形讓學(xué)生畫一畫（主要內(nèi)容均可從后續(xù)教材中求周長、面積中獲得）。

圖1

圖2

圖4

圖5

圖6

圖7

圖8

對(duì)于圖3這樣的圖形，學(xué)生由不會(huì)到會(huì)，由不規(guī)范到規(guī)范，有一個(gè)過程。在畫中學(xué)生再次認(rèn)識(shí)到圓的特征，明白了它與我們學(xué)過的圖形的結(jié)合方式，為組合圖形的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。教師還可以出示如下的圖形，讓學(xué)生想象并說說它們是怎樣畫出來的。

圖3

圖A

圖B（注：左邊的圖均為畫的過程。）

在操作圓規(guī)的過程中，學(xué)生收獲的不僅是我會(huì)畫了，重要的是知道了圖形間的關(guān)系是怎么組成，并潤物無聲地為后續(xù)學(xué)習(xí)圓的周長和面積做了準(zhǔn)備。

2.思維歷練——結(jié)構(gòu)空間觀念

學(xué)習(xí)過程中充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的主觀能動(dòng)性，讓思維參與其中，才是真正意義上的學(xué)習(xí)。對(duì)于圓的教學(xué)要求，我們不單是讓學(xué)生會(huì)算周長和面積，會(huì)解決一些簡單的問題，重要的是在這樣的練習(xí)和思考過程中形成一種思辯的數(shù)學(xué)思維。

（1）殊途同歸促思考，再進(jìn)一步現(xiàn)意境

在教學(xué)周長的內(nèi)容時(shí)，一道讓學(xué)生疑惑的題引起了筆者的重視。

如果只是單純地解決這個(gè)問題并不是很困難，只需將兩條路徑計(jì)算出來對(duì)比即可。當(dāng)學(xué)生對(duì)計(jì)算的結(jié)果將信將疑，滿臉帶著“為什么會(huì)這樣”的神情時(shí)，老師問：“難道這是巧合嗎？”

學(xué)生隨即想出幾種方案：（1）換一組數(shù)據(jù)再計(jì)算。（2）用字母代替計(jì)算。結(jié)果發(fā)現(xiàn)計(jì)算的結(jié)果都一樣。而且從字母代表的數(shù)據(jù)中更能發(fā)現(xiàn)這個(gè)規(guī)律。設(shè)橙色小圓的直徑為a。那么螞蟻B所走的路徑就是一個(gè)直徑為a的圓的周長，就是πa。螞蟻A所走的路徑就是半徑為a的半圓周，即2πa÷2＝πa。

隨之拓展：那如果下方的兩個(gè)半圓不一樣大呢？如果再多幾個(gè)半圓呢？

接下來的思考變得更有趣了，學(xué)生在探索的過程中，漸漸明白其中的道理，更體會(huì)著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣。一道看似簡單的問題，由疑問開啟一個(gè)不同尋常的意境。

（2）化圓為方找共通，體驗(yàn)轉(zhuǎn)化顯思維

聯(lián)系和溝通是關(guān)系學(xué)中的重要一環(huán)，其實(shí)我們的學(xué)習(xí)又何嘗不是呢？圓的面積這塊內(nèi)容，能充分體現(xiàn)一個(gè)圖形與曾經(jīng)學(xué)過的圖形間的關(guān)系，而這種關(guān)系蘊(yùn)含著諸多的因素。首先，圓是個(gè)曲邊圖形，與我們以前學(xué)習(xí)的平面圖形有所不同。其次，圓面積公式的推導(dǎo)要比長方形、平行四邊形、三角形等直邊圖形面積推導(dǎo)困難些。其模式可設(shè)定為“化歸思想”助學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)“直覺的極限過程”——在“觀察有限分割”的基礎(chǔ)上“想象無限分割”。

課堂教學(xué)要化難為易，抓住問題的核心來解決。

第一環(huán)節(jié)：

師出示學(xué)過的平面圖形：同學(xué)們，這些平面圖形的面積都會(huì)求嗎？回憶一下它們的面積公式是怎么來的？簡要概括都是通過轉(zhuǎn)化變成長方形（或平行四邊形）而來的。

師繼續(xù)提問：今天我們要學(xué)習(xí)求圓的面積，你覺得剛才這些平面圖形的面積求法對(duì)你有什么提示或幫助？因?yàn)橛辛私滩牡拈喿x和課外的部分經(jīng)驗(yàn)，馬上有學(xué)生說把圓分割成大小相等的扇形，再拼成長方形就可以了。一部分同學(xué)馬上贊同。

師：可以平均分割成幾份呢？

生1：四份、八份……

生2：越多越好，這樣我可以把這些小扇形看作是小三角形，三角形面積是底乘高除以2，這些拼起來后就是圓的周長乘高（半徑）除以2，求出圓的面積。

生3：還可用這些扇形拼成別的圖形。

第二環(huán)節(jié)：

教師根據(jù)學(xué)生的提議操作，可能拼成什么呢？

看著這些“四不像”的圖形，部分學(xué)生有些疑惑。

生1：如果分得多一點(diǎn)的話，會(huì)更像。

看似不經(jīng)意的一句話，學(xué)生的思維實(shí)則跨出了一大步。

第三環(huán)節(jié)：

師補(bǔ)問：那你們想象一下，除了可以拼成長方形，還能拼成其他圖形嗎？

師：課后嘗試把一個(gè)圓平均分，像今天上課這樣拼成長方形，再拼成你所想到的圖形。

第三環(huán)節(jié)會(huì)有一定難度，但事實(shí)證明學(xué)生是感興趣的，而且表現(xiàn)出很大的探索欲望。這也是“讓不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”的一種體現(xiàn)。

3.循序漸進(jìn)——建構(gòu)數(shù)學(xué)素養(yǎng)

有人說，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的真正目的就是為了培養(yǎng)學(xué)習(xí)者的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。那么在幾何與圖形的學(xué)習(xí)過程中我們又可以培養(yǎng)學(xué)生的哪些數(shù)學(xué)素養(yǎng)呢？

（1）滲透思想沁本源，有的放矢慢積累

“化曲為直”、滲透“極限思想”、在變化中尋找變與不變的數(shù)量，既是空間知覺的鍛煉，也是辯證關(guān)系的滲透。前面論述中圓的面積公式的推導(dǎo)中就蘊(yùn)含著重要的數(shù)學(xué)思想。我們以前學(xué)過的平行四邊形、三角形、梯形的面積計(jì)算公式的得出，都是運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想把圖形轉(zhuǎn)化成會(huì)求面積的圖形。而本單元的圓的面積計(jì)算公式的推導(dǎo)，仍要運(yùn)用到這一重要的數(shù)學(xué)思想。以等積變形的思想為例，在圓與其他圖形的組合中，幻生出更多的變化，而這些變化卻有萬變不離其宗的規(guī)律。

比如，我們?cè)诮虒W(xué)中可以讓學(xué)生通過舉例歸納等方法，探究一個(gè)正方形中最大的內(nèi)接圓與正方形的關(guān)系（見表2）。

表2 正方形中最大的內(nèi)接圓與正方形的關(guān)系

通過討論，學(xué)生發(fā)現(xiàn)此時(shí)正方形的面積與圓的面積之比是4∶π。

隨即我們可以繼續(xù)出示：諸如這樣的圖形，它們又是什么關(guān)系呢？

第一層：大小有變化，數(shù)量關(guān)系沒變。

第二層：形狀有變化，面積沒變。

第三層：只要正方形的周長不變，所有陰影部分的面積總是相等的。

在不斷的深入與變化中，等積守恒的思想在學(xué)生心中慢慢生成?？梢?，幾何圖形的具象性為化解抽象而隱性的思想提供了很好的圖表說明。

（2）重視語言表思路，互為關(guān)聯(lián)言行思

在幾何概念的教學(xué)中，數(shù)學(xué)語言的培養(yǎng)也很重要。數(shù)學(xué)化的語言交流和符號(hào)表達(dá)是揭示事物共同屬性的思維形式。小學(xué)生的年齡特征，決定了他們對(duì)圖形的識(shí)別活動(dòng)處于以表象為主的直觀辨認(rèn)水平逐步向以特征為主的初級(jí)概念判斷水平發(fā)展的階段，這種發(fā)展的中介就是用語言概括、描述形體的特征。我們要以學(xué)生發(fā)展的長遠(yuǎn)目標(biāo)出發(fā)，在日常教學(xué)中重視這種素養(yǎng)的培養(yǎng)，讓學(xué)生在同伴的引領(lǐng)、師生的糾錯(cuò)和自我的調(diào)整中，提高數(shù)學(xué)語言表述的精度和嚴(yán)謹(jǐn)。

（3）形成網(wǎng)絡(luò)重結(jié)構(gòu)，整體建構(gòu)促發(fā)展

在圓的認(rèn)識(shí)單元中，筆者設(shè)計(jì)了一節(jié)“玩轉(zhuǎn)圓”的復(fù)習(xí)課。

師布置要求：每個(gè)人想象一個(gè)自己喜歡的圓，與同桌玩一玩。

在復(fù)習(xí)課上，受理性的學(xué)習(xí)遷移，我們通常會(huì)用圖表或分層的形式把學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行梳理，知識(shí)整理的條理性較強(qiáng)。但有時(shí)嘗試著用感性的思維進(jìn)行描述性的陳述，適當(dāng)?shù)臍w類，也可達(dá)到預(yù)期的效果。

三、實(shí)踐再反思——形成空間觀念養(yǎng)成機(jī)制

學(xué)生的空間觀念培養(yǎng)，并非一蹴而就，它涉及到眾多的要素，協(xié)同而成。綜上只是以“圓的認(rèn)識(shí)”單元整體契入為例，旨在通過“整體感知→部分感悟→整體回顧”的整體教學(xué)意識(shí)融入教學(xué)的過程，促成學(xué)生幾何空間觀念養(yǎng)成的一點(diǎn)實(shí)踐探索。

1.解構(gòu)教材，豐厚表象，從經(jīng)驗(yàn)中認(rèn)識(shí)。從整體的角度看問題，較之單一的視角，教師所呈現(xiàn)出來的教學(xué)視野肯定是不同的。最重要的是在處理教學(xué)環(huán)節(jié)、設(shè)計(jì)練習(xí)時(shí)會(huì)用迥然不同的角度和方法?；趯?duì)幾何與圖形領(lǐng)域的空間培養(yǎng)要求，對(duì)于單元教學(xué)的整體把握，固本培元，有了正確的方向與目標(biāo)引領(lǐng)，我們才能打開自己的思路，立足學(xué)生的現(xiàn)實(shí)，為學(xué)生量身定制數(shù)學(xué)活動(dòng)，獲取活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，在多重經(jīng)驗(yàn)與感觀參與下有效建立幾何概念。

2.結(jié)構(gòu)體系，強(qiáng)化認(rèn)知，從思索中前行。將知識(shí)納入到學(xué)生的原有認(rèn)知系統(tǒng)中，找到圖形間的聯(lián)系和主要區(qū)別，在聯(lián)系和比較中進(jìn)一步建立幾何概念。在教學(xué)中，偏重于結(jié)果，忽略過程，造成的最大損失就是對(duì)學(xué)生思維能力訓(xùn)練的缺失?？此品爆嵉倪^程，對(duì)每個(gè)學(xué)習(xí)者來說卻意義非凡——我聽過，可能忘記；我看過，我會(huì)記得；我做過，我就明白了。思維的歷練需要每個(gè)學(xué)習(xí)者的用心參與。

3.建構(gòu)思想，滲透方法，于自然中得法。知識(shí)的建構(gòu)不只是一種掌握，更是各種數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的綜合。在幾何概念的教學(xué)中，作為教師要樹立大數(shù)學(xué)觀，通過各種形式的學(xué)習(xí)，建立寬泛的空間觀念、應(yīng)用概念，促進(jìn)學(xué)生融會(huì)貫通，完善概念，建立穩(wěn)固的幾何模型思想?，F(xiàn)在新課程所提倡的幾何直觀，是幾何概念的跨越式應(yīng)用，讓思想的滲透不再顯得生硬，讓數(shù)學(xué)語言同樣開出奇葩，用發(fā)展的意識(shí)指導(dǎo)實(shí)踐，于自然中得法。

總之，在教師的反思與改進(jìn)中，不斷選擇適合學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，有效建立學(xué)生的空間觀念、解構(gòu)知識(shí)，以豐富的表象促成認(rèn)知；結(jié)構(gòu)知識(shí)，在聯(lián)和促的過程中加深認(rèn)識(shí)；建構(gòu)整體，把知識(shí)、技能和思想相互融合，提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思維含量，養(yǎng)成良好的品質(zhì)，增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)。