考慮錨節(jié)點誤差的凸松弛聯(lián)合定位方法

劉玉杰 李漢君

（1.中國電子科技集團公司第二十七研究所 河南省鄭州市 450047 2.電子科技大學(xué) 四川省成都市 611730）

近年來，隨著科技的迅速發(fā)展，無線定位早已不僅被應(yīng)用于航海、航空、測繪等等方向。無論是聲納、雷達抑或自動定位，在這些領(lǐng)域中無線定位都已經(jīng)被廣泛地運用，甚至軍事行動、安全業(yè)務(wù)等都將無線定位作為重要的信息手段。在實際應(yīng)用環(huán)境中，定位所需的錨節(jié)點位置信息往往有所偏差，因此，基于該環(huán)境對高精度定位算法進行研究是十分必要的。

針對存在站址誤差的定位場景，Ma 等人于2011年提出了一種兩步加權(quán)最小二乘（TSWLS）定位算法。該算法在到達時間（TOA）測量方程中，同時使用了測量值及誤差表述錨節(jié)點的實際位置，且協(xié)方差矩陣中也反映了錨節(jié)點已知位置誤差的統(tǒng)計信息，經(jīng)過設(shè)置中間變量、對原方程開方、忽略二次項等一系列步驟，并在第二步解算中利用目標位置變量和中間變量之間的關(guān)系，即可通過兩步加權(quán)最小二乘的方法求解得到待定目標位置。而在多目標定位問題中，往往更多地使用協(xié)作定位。在協(xié)作定位系統(tǒng)中，待定位盲節(jié)點之間可以相互進行通信，對比非協(xié)作系統(tǒng)，能夠利用更少的錨節(jié)點取得更好的定位效果。

本文將基于考慮錨節(jié)點誤差的定位場景，采用協(xié)作定位，在校準錨節(jié)點站址誤差的同時，提升盲節(jié)點定位精度?，F(xiàn)有協(xié)作定位方法中，往往缺少對錨節(jié)點間測距的考慮，本文將在考慮這一信息的基礎(chǔ)上，構(gòu)建極大似然估計（MLE）問題，采用半正定松弛（SDR）算法，將原非凸目標函數(shù)轉(zhuǎn)換為凸函數(shù)求解，從而實現(xiàn)多平臺聯(lián)合的精確定位。仿真結(jié)果顯示，本文所提出算法，在定位精度上優(yōu)于TSWLS 算法，具有良好的定位效果。

1 無線定位概述

無線定位問題，可以認為是通過距離估計技術(shù)以及信號測量技術(shù)對相關(guān)信息進行采集，并處理采集到的信息從而實現(xiàn)目標位置坐標求解的過程。若從數(shù)學(xué)模型角度分析，可以將定位問題視為位置坐標集合與采集信息集合之間的映射問題。

在基于距離進行定位的方法中，根據(jù)測距方式，可以將無線定位劃分為以下三類：基于信號到達時間，基于信號到達角度/相位，以及基于信號強度。

基于信號到達時間的無線定位方法中，又可以劃分為TOA 和TDOA 兩類。TOA 方法通過對信號傳播的時長進行檢測，再利用信號傳輸?shù)乃俾?，對距離進行估計。TDOA 則利用了信號傳輸?shù)臅r間差實現(xiàn)定位。TOA 技術(shù)也是本文后續(xù)研究所利用的定位方式。

基于信號到達角度，即AOA，通過將多個超聲波接收器或天線陣列配備于接收端，同時為各節(jié)點設(shè)置對應(yīng)的主軸方向，使用角度檢測系統(tǒng)即可獲取發(fā)射端方向與各節(jié)點主軸間的角度。而在基于信號到達相位，即POA 方法中，傳輸?shù)氖穷l率相同，零補償相位的信號以及純正弦信號，待測距離則通過載波信號的相位或相位差進行估計。基于POA 的定位系統(tǒng)與AOA 相同，都只能應(yīng)用于LOS 的環(huán)境中，這限制了該方法的適用范圍。

基于信號強度的無線定位方法有RSSI 與CSI 兩類。前者應(yīng)用廣泛，但其測量精度會因為環(huán)境干擾引起的數(shù)值波動而降低，尤其在極限傳播距離下測距會出現(xiàn)很大的誤差情況，在應(yīng)用于某個實際環(huán)境時，需要先使用測量值對傳播模型進行修正。而CSI 技術(shù)相比于RSSI，無論是時間分辨率還是頻率分辨率都得到了提升，它能夠利用更大的信道容量，而且能夠?qū)Ω鞣N類型的傳播環(huán)境使用更為恰當?shù)男盘柼幚砑夹g(shù)，產(chǎn)生各種類型的子載波幅度和相位特性，進行更為精確的位置估計。

此外，根據(jù)盲節(jié)點間的拓撲關(guān)系以及錨節(jié)點的數(shù)量進行分類，則能夠?qū)o線定位的模型劃分為單目標多邊定位模型和多目標協(xié)作定位模型。

單目標定位模型利用多個錨節(jié)點與單個盲節(jié)點間的測距關(guān)系，對單個盲節(jié)點進行定位。這種定位模型中，錨節(jié)點誤差往往會對定位結(jié)果產(chǎn)生較大影響。而在多目標協(xié)作定位模型中，往往存在多個待定位盲節(jié)點，每個錨節(jié)點會與多個盲節(jié)點進行測距，而定位過程也會利用到多個盲節(jié)點間的相互測距關(guān)系。該定位模型可以更好地適應(yīng)錨節(jié)點位置存在誤差的環(huán)境。本文在傳統(tǒng)多目標協(xié)作定位模型的基礎(chǔ)上，對錨節(jié)點間測距關(guān)系加以利用，在解算盲節(jié)點坐標的同時校準錨節(jié)點位置信息。

2 建立系統(tǒng)模型

假定有N 個待測目標，其中包括M 個具有帶誤差已知坐標的錨節(jié)點，以及N-M 個位置未知的待定位盲節(jié)點平臺。以上節(jié)點的真實坐標即為本章待估計未知變量，以矢量形式表示如下：

其中，x和y即為第i 個節(jié)點的坐標，當i ≤M 時其表示錨節(jié)點坐標，否則為盲節(jié)點坐標。

將錨節(jié)點帶誤差坐標向量表示為：

本文中，在錨節(jié)點與盲節(jié)點間測距的基礎(chǔ)上，特別考慮加入錨節(jié)點間測距，則將各節(jié)點間距離測距值向量表示為：

其中，r表示第i 個節(jié)點和第j 個節(jié)點之間的距離實際值。n表示均值為0，方差為 的高斯隨機誤差。

假設(shè)各錨節(jié)點位置誤差及各節(jié)點間測距誤差都相互獨立，則定義待求解MLE 問題為：

通過對上式進行求解，可以對錨節(jié)點與盲節(jié)點的位置信息進行聯(lián)合估計。

在本文中，僅對二維空間中的多平臺聯(lián)合定位進行了研究討論。在實際應(yīng)用及后續(xù)研究中，可以通過一些簡單的調(diào)整方式，如將多平臺的坐標向量擴展至三維，并將其他變量也相應(yīng)調(diào)整至更高維度空間，即可以在三維空間的多平臺定位問題中，應(yīng)用本文所提出的定位算法。

3 基于MLE的半正定松弛算法

本節(jié)中，將基于上節(jié)中構(gòu)建的MLE 問題，利用半正定松弛得到待求解凸優(yōu)化問題。

接著引入變量：

通過對上述變量的引入，可以將目標函數(shù)展開為仿射函數(shù)，具體形式如下：

接下來，將依然非凸的等式約束進行松弛，通過使用不等式約束替代等式約束，實現(xiàn)約束的凸化，可以得到：

以及：

根據(jù)Schur complement 定理，可以將上式等價于如下形式：

至此，通過目標函數(shù)和約束關(guān)系的松弛，我們可以得到下面的凸優(yōu)化問題：

上式即為原MLE 問題的最終半正定松弛形式。半正定規(guī)劃的松弛模型較為復(fù)雜，解算復(fù)雜度也較高，同時，這種松弛模型的解算效果對錨節(jié)點部署位置的依賴程度較低，能夠在不同環(huán)境中進行更為精確的定位。

4 仿真結(jié)果

在仿真實驗中，使用所有節(jié)點的累積定位誤差定義RMSE，從而進行定位效果的比較，RMSE 表示如下：

仿真實驗的設(shè)置中，將錨節(jié)點分別置于(0,0)m，(0,100)m，(100,0)m 及(100,100)m 的位置上，兩個盲節(jié)點則隨機生成于[-50,150]m×[-50,150]m 的范圍內(nèi)。在這種仿真設(shè)置中，盲節(jié)點可能位于錨節(jié)點所圍成的凸包內(nèi)或凸包外，可以有效地測試本文所提出算法在不同環(huán)境中的定位性能。在仿真過程中，將本文所提出的半正定松弛算法與傳統(tǒng)TSWLS 算法的定位效果進行對比，實驗的統(tǒng)計結(jié)果來源于1000 次蒙特卡洛實驗。單次仿真實驗的節(jié)點位置示意圖如圖1所示。

圖1：實驗環(huán)境節(jié)點位置示意圖

圖2中，展示了測距誤差σ=0.2m，錨節(jié)點位置誤差σ～[0.1,0.4]m 時候各算法定位效果的比較。圖3中，展示了錨節(jié)點位置誤差σ=0.3m，測距誤差σ～[0.2,0.5]m 時候各算法定位效果的比較。

圖2：不同測距誤差下的定位效果對比

圖3：不同錨節(jié)點位置誤差下的定位效果對比

從仿真結(jié)果中可以看出，本文算法在考慮錨節(jié)點間測距信息，并利用多平臺測量信息進行聯(lián)合解算后，在不同定位環(huán)境中，均具有優(yōu)于傳統(tǒng)TSWLS 算法的定位性能，即仿真結(jié)果證明了本文算法的有效性。

5 結(jié)論

本文中，基于錨節(jié)點位置信息存在誤差的環(huán)境，構(gòu)建多平臺聯(lián)合定位模型，特別考慮加入錨節(jié)點間測距信息。利用多平臺測量信息構(gòu)建MLE 問題，推導(dǎo)了半正定松弛算法得出待求解凸優(yōu)化問題。通過仿真實驗，將本文算法與傳統(tǒng)TSWLS 算法對比，本文算法不僅能得到更精確的盲節(jié)點定位結(jié)果，同時能有效校準站址誤差，驗證了算法的有效性。