基于不確定微分方程的疲勞可靠性建模

李曉陽，陶昭，張慰

1.北京航空航天大學 可靠性與系統(tǒng)工程學院，北京 100083 2.北京航空航天大學 可靠性與環(huán)境工程技術國防重點實驗室，北京 100083

目前對于疲勞的研究已經(jīng)取得許多進展，建立起描述疲勞裂紋擴展的模型。通常，疲勞裂紋擴展模型描述裂紋擴展速率與材料、幾何形狀、載荷等因素的確定性因果關系。然而，在疲勞裂紋擴展過程中，由于材料組織和缺陷的不均勻性、環(huán)境條件變化等因素的影響，疲勞裂紋擴展速率會隨時間波動，表現(xiàn)出裂紋擴展過程在時間維度的不確定性，并且這種不確定性具有隨時間動態(tài)變化的特征。即使在控制良好的實驗室條件下，疲勞裂紋擴展實驗結果中通常也會表現(xiàn)出顯著的統(tǒng)計離散性，同樣也顯示出疲勞規(guī)律的統(tǒng)計特性。因此，為了進一步準確認知疲勞裂紋擴展規(guī)律，需要從疲勞裂紋擴展的物理機理出發(fā)，建立描述疲勞裂紋擴展的理論模型，通過對理論模型輸入變量的干預與控制，開展疲勞裂紋擴展實驗，驗證疲勞裂紋擴展理論模型的正確性，并基于實驗數(shù)據(jù)量化不確定性，從而實現(xiàn)對疲勞裂紋擴展過程的確定性規(guī)律的準確認知，以及對時間維度不確定性的動態(tài)變化特征的正確量化。

從材料的微觀層面來研究疲勞裂紋擴展過程，有位錯滑移和熱激活引起原子鍵破裂等物理解釋。由于材料微觀結構的不均勻性和熱漲落的動態(tài)性，帶來疲勞裂紋擴展過程在時間維度的不確定性的動態(tài)變化，宏觀層面表現(xiàn)于疲勞裂紋擴展速率隨時間波動的統(tǒng)計特性。近40年來，針對疲勞裂紋擴展過程在時間維度的不確定性動態(tài)變化開展的建模研究可分為2類：一類是直接利用隨機過程來描述疲勞裂紋擴展過程，從而建立疲勞裂紋擴展隨機模型；另一類是在疲勞裂紋擴展確定性模型(即基于實驗數(shù)據(jù)的經(jīng)驗模型或基于斷裂力學的理論模型)的基礎上，引入以隨機過程表征的隨機因子來建立疲勞裂紋擴展隨機模型。直接利用隨機過程開展的建模研究中，Bogdanoff和Kozin用馬爾可夫鏈來分析裂紋萌生和擴展中損傷隨時間的變化。Hao等基于維納過程構建出退化模型，并應用于描述疲勞裂紋擴展。這類直接利用隨機過程建模的方法，本質(zhì)上屬于統(tǒng)計數(shù)據(jù)驅(qū)動的方法，缺乏對物理過程的描述，從而導致人們對疲勞裂紋擴展的本質(zhì)認知不清。

而在基于物理機理構建的疲勞裂紋擴展確定性模型基礎上，引入隨機過程的研究就能較好地解決上述問題。Lin和Yang在疲勞裂紋擴展速率模型中引入一個隨機因子來代表未知因素對疲勞裂紋擴展速率隨時間變化的綜合影響，且考慮相關時間較短時將疲勞裂紋擴展過程視為擴散馬爾可夫過程，并以隨機微分方程來表示。Li等的研究中引入的隨機因子考慮為對數(shù)正態(tài)隨機過程，從而建立起隨機疲勞裂紋擴展模型。Sobczyk引入一個非負的隨機過程作為隨機因子建立了疲勞裂紋擴展隨機模型，并分析了該非負隨機過程是高斯白噪聲時模型的特性。但是高斯白噪聲不能解釋疲勞裂紋擴展過程的相關性，并且由于其服從高斯分布的特征，而不能滿足非負隨機因子的條件。對于高斯白噪聲的缺陷，研究中引入輔助隨機過程，構建疲勞裂紋擴展的兩態(tài)模型。例如，Spencer等引入輔助隨機過程和非負函數(shù)構造隨機因子，考慮了疲勞裂紋擴展過程的歷史依賴性，并以郎之萬方程表示引入的輔助隨機過程，且郎之萬方程中的噪聲項為高斯白噪聲。高斯白噪聲可以視為維納過程的導數(shù)形式dd(維納過程不可導，本文僅借此導數(shù)形式來展開說明)，因此第二類方法構建的疲勞裂紋擴展隨機模型可以表示為隨機微分方程的形式，這表明隨機微分方程可以用于刻畫裂紋擴展過程在時間維度的不確定性的動態(tài)變化。Allen基于伊藤隨機微分方程描述疲勞裂紋擴展過程，其中漂移系數(shù)和擴散系數(shù)表示為疲勞載荷循環(huán)次數(shù)的指數(shù)函數(shù)形式。

上述基于隨機微分方程構建的疲勞裂紋擴展隨機模型，實際上表征的是每個時間微元d下疲勞裂紋擴展的規(guī)律，從小時間尺度(即宏觀上相對較小的時間單位，例如1個載荷循環(huán))出發(fā)進行建模，并利用動態(tài)噪聲解釋疲勞裂紋擴展過程在時間維度的不確定性的動態(tài)變化特征。然而，基于隨機微分方程給出的疲勞裂紋擴展速率表達式中動態(tài)噪聲表示為dd，該項服從正態(tài)分布(0,1d)，時間微元d趨近無窮小時方差趨近于無窮大，從而表明疲勞裂紋擴展速率趨近于無窮大，顯然與實際認知相違背。在概率理論中，維納過程用來描述微觀粒子的不規(guī)則運動(即布朗運動)，可由維納過程推出時間趨近無窮小時粒子運動速度為無窮大，從微觀層面此結論與觀測是相符的，然而在宏觀層面以維納過程來描述系統(tǒng)狀態(tài)變化過程就會出現(xiàn)系統(tǒng)的宏觀狀態(tài)變化速率是無窮大的情況，這與實際認知不符。為了解決這個問題，在不確定理論中以Liu過程描述布朗運動，Liu過程是一個平穩(wěn)獨立增量過程(詳見1.1節(jié)定義5)。在Liu過程的基礎上提出的不確定微分方程中用于表示動態(tài)噪聲的項為Liu過程的導數(shù)形式dd，該項服從正態(tài)不確定分布(0,1)，即方差恒為1，避免了隨機微分方程在時間微元無窮小時所描述的系統(tǒng)的宏觀狀態(tài)變化速率無窮大的問題。

通過上述調(diào)研和分析，本文在不確定理論框架下，考慮疲勞裂紋擴展過程是小時間尺度下?lián)p傷的動態(tài)累積變化過程，結合疲勞裂紋擴展確定性模型描述疲勞裂紋隨時間動態(tài)變化的確定性規(guī)律，基于不確定微分方程描述時間維度的不確定性的動態(tài)變化特征；此外，本文還考慮物理屬性、外界載荷和裂紋閾值3個方面由于實驗數(shù)據(jù)量有限帶來的認知不確定性，這些不確定性具有靜態(tài)特征，并基于不確定分布進行量化；進而，構建出小時間尺度下基于不確定微分方程的疲勞裂紋擴展模型，并推導出確信可靠度函數(shù)。

1 不確定理論與疲勞裂紋擴展模型概述

本節(jié)介紹不確定理論的相關概念，以及描述疲勞裂紋擴展確定性規(guī)律的模型，作為本文理論建模的基礎。

1.1 不確定理論的相關概念

本節(jié)主要介紹一些不確定理論的基礎知識以及本文中用到的定義定理等。

考慮一個非空集合，將集合上的-代數(shù)記為L，L中的每個元素是一個事件，則不確定測度M是一個滿足以下4個公理的從到[0,1]的集函數(shù)：

(規(guī)范性)對于全集，M{}=1。

(對偶性)?∈L，M{}+M{}=1，式中：為的補集。

不確定變量是一個從不確定空間(,L，M)到實數(shù)集的函數(shù)，即對于任意的Borel集，{∈}是一個事件。

不確定變量的不確定分布定義為()=M{≤}，其中為任意實數(shù)。相應地，反函數(shù)()是不確定變量的逆不確定分布，其中為信度。

對于正態(tài)不確定變量，定義其不確定分布形式為

(1)

式中：為期望；為標準差，>0。將滿足式(1)的不確定分布記為(,)，相應的逆不確定分布形式為

(2)

對于相互獨立的不確定變量,,…,，其不確定分布分別為,,…,，連續(xù)函數(shù)(,,…,)關于,,…,嚴格遞增且關于+1,+2,…,嚴格遞減，則不確定變量=(,,…,)的逆不確定分布為

(3)

對于不確定變量和正整數(shù)，的階矩表示為

(4)

對于不確定空間(,L，M)和全序集(如時間)，不確定過程是一個從×(,L，M)到實數(shù)集的函數(shù)，即不確定過程在任意時刻都是一個不確定變量。Liu過程是一個滿足以下3個條件的不確定過程：①=0且?guī)缀跛械臉颖拒壍蓝际荓ipschitz連續(xù)的；②具有平穩(wěn)獨立增量；③ 每個增量+Δ-是期望為0，方差為(Δ)的正態(tài)不確定變量。

對于給定的函數(shù)、和一個Liu過程，不確定微分方程表示為

d=(,)d+(,)d

(5)

在任意時刻滿足該方程的不確定過程稱為該不確定微分方程的解。

1.2 考慮裂紋閉合和高載遲滯效應的疲勞裂紋擴展模型

本節(jié)介紹描述疲勞裂紋擴展確定性規(guī)律的模型，這些模型考慮了裂紋閉合和高載遲滯效應對裂紋擴展過程的影響。本節(jié)僅給出本文理論建模中所必需的模型表達式，關于模型的具體建模過程可參考文獻[19]。

考慮裂紋閉合對裂紋擴展過程的影響，疲勞裂紋擴展速率表示為

(6)

式中：為裂紋長度；為載荷循環(huán)次數(shù)；d/d為裂紋擴展速率；和為與材料相關的參數(shù)；為最大應力強度因子；為裂紋閉合時的應力強度因子；為應力強度因子。在疲勞裂紋擴展實驗中，通常的計算公式由相應的試驗標準給出。例如在GB/T 6398—2017中，對于如圖1所示中心裂紋拉伸試樣，的計算公式為

(0707 1-0007 2+0007 0)

(7)

式中：為中間變量，且=π(2)；為載荷，與應力可以相互轉(zhuǎn)化；和分別為樣件的厚度和寬度。因此，本文將給定試樣幾何尺寸時應力強度因子表達式統(tǒng)一記為=(,,,)，其中表示函數(shù)，那么式(6)可以寫為

圖1 中心裂紋拉伸試樣(2W≤75 mm)Fig.1 Center cracked tension specimen (2W≤75 mm)

(8)

式中：為最大應力水平；為裂紋閉合應力水平。

對于裂紋閉合應力水平的研究，Zhang和Liu通過考慮裂紋尖端塑性區(qū)與裂紋擴展過程的關系，給出下列計算公式：

(9)

式中：為材料的屈服應力；為加載過程中的正向塑性區(qū)尺寸；和分別為最大應力水平和最小應力水平。在Zhang和Liu的研究中考慮裂紋尖端塑性區(qū)尺寸遠小于裂紋長度，即?，對于恒幅載荷加載的疲勞裂紋擴展過程，易解得=(2+3)/5。

考慮高載引起的遲滯效應，最大應力水平表示為

(10)

式中：為高載幅值；為恒幅載荷的最大應力水平；為過載比，即與的比值。

2 疲勞可靠性建模方法

2.1 基于不確定微分方程的疲勞可靠性模型

2.1.1 小時間尺度下基于不確定微分方程的疲勞裂紋擴展模型

疲勞裂紋擴展過程是小時間尺度下?lián)p傷隨時間的累積變化過程，裂紋長度隨時間增長呈現(xiàn)出確定性趨勢，同時也伴隨著時間維度的不確定性。疲勞裂紋擴展過程是確定性趨勢和不確定性的綜合體現(xiàn)，同時確定性趨勢和不確定性在該過程中都是動態(tài)變化的。因此，對疲勞裂紋擴展過程的建模需要綜合考慮小時間尺度下的確定性趨勢和不確定性的動態(tài)變化特征。

小時間尺度下通常以疲勞裂紋擴展速率來描述疲勞裂紋擴展過程，本文以疲勞裂紋擴展速率式(8)來表征疲勞裂紋擴展的確定性趨勢，在此基礎上考慮疲勞裂紋擴展速率加上動態(tài)噪聲來解釋不確定性的動態(tài)變化。在不確定理論框架下，本文假設該動態(tài)噪聲項為·dd，其中常數(shù)為擴散系數(shù)，且>0；為Liu過程，服從正態(tài)不確定分布(0,)；為累積載荷循環(huán)次數(shù)。因此，小時間尺度下描述疲勞裂紋擴展過程的確定性趨勢以及不確定性的動態(tài)變化特征的方程為

(11)

式中：為累積載荷循環(huán)次數(shù)為時的裂紋長度，初始裂紋長度為；函數(shù)(,)為疲勞裂紋擴展速率，表達式如式(8)所示。進一步，將式(11) 表示為不確定微分方程的形式：

d=[(,,,)-

(,,,)]d+d

(12)

如引言所述，樣件自身物理屬性、外界載荷和裂紋閾值3個方面也存在不確定性，并且這些不確定性具有靜態(tài)特征。本文將基于文獻[19]對相關參數(shù)進行分類和量化，具體將從如下3個方面展開說明：

1) 在物理屬性方面。當樣件數(shù)量有限時帶來物理屬性的認知不確定性。假設物理屬性的不確定性僅來源于材料特性。式(6)在描述疲勞裂紋擴展時，和都代表與材料相關的參數(shù)，如果我們認為和都是具有不確定性，那么多個材料參數(shù)就需要對應多個不確定性來源，而顯然當前只有材料特性這一個來源。所以，只需用和的其中一個來表征這類不確定性即可。根據(jù)文獻[19，23]中基于實際數(shù)據(jù)得到的材料參數(shù)和的估計結果，可以發(fā)現(xiàn)通常的變異系數(shù)相比更大，表明的分散性更加顯著。因此，本文以材料參數(shù)來刻畫物理屬性方面的不確定性，并假設材料參數(shù)服從期望為，標準差為的正態(tài)不確定分布(,)，其分布形式如式(1)所示。

2) 在外界載荷方面。本文考慮與高載信息相關的實驗數(shù)據(jù)不足帶來的認知不確定性，假設高載施加的條件是確定的，高載幅值具有不確定性，這種不確定性可以用過載比來刻畫。因此，假設過載比服從期望為、標準差為的正態(tài)不確定分布(,)，其分布形式如式(1)所示。

3) 在裂紋閾值方面。以裂紋長度為性能參數(shù)，對應的閾值即為臨界裂紋長度，臨界裂紋長度表示材料斷裂時的裂紋長度，記為。當樣件數(shù)量有限時帶來臨界裂紋長度的認知不確定性，本文假設其服從期望為、標準差為的正態(tài)不確定分布(,)，其分布形式如式(1)所示。

綜上所述，式(12)對于疲勞裂紋擴展過程的確定性趨勢和不確定性的動態(tài)變化特征進行了量化描述，同時正態(tài)不確定分布(,)、(,)和(,)分別對物理屬性、外界載荷和裂紋閾值3個方面的認知不確定性的靜態(tài)特征進行了量化描述，從而構建出小時間尺度下基于不確定微分方程的疲勞裂紋擴展模型。

2.1.2 確信可靠度函數(shù)

在確信可靠性理論中，可靠度被定義為產(chǎn)品裕量大于0的可能性。首先，確信可靠度和常規(guī)可靠度都是嚴格遵循可靠度的基本定義的，即規(guī)定條件下規(guī)定時間內(nèi)產(chǎn)品完成規(guī)定功能的能力。然而，常規(guī)可靠度并不區(qū)分隨機不確定性和認知不確定性(比如小樣本帶來的認知不確定性)，均將可靠性定義中的“能力”定義為概率。而確信可靠性理論對隨機和認知2類不確定性進行了區(qū)分，隨機不確定性情況下可靠度仍然采用概率度量，而小樣本認知不確定性情況下，由不確定測度度量。

在確信可靠性理論中，為了推導疲勞確信可靠度函數(shù)，首先需要建立裕量方程(該方程也即機械、力學領域普遍的極限狀態(tài)方程)。本文以裂紋長度作為性能參數(shù)，臨界裂紋長度作為閾值，則疲勞裂紋擴展的裕量定義為臨界裂紋長度與當前裂紋長度的距離，即裂紋裕量方程表示為

=-

(13)

式中：為裂紋裕量；為臨界裂紋長度；為當前累積載荷循環(huán)次數(shù)為時的裂紋長度。

式(8)～式(10)描述了疲勞裂紋擴展的確定性規(guī)律，隨著的增加，當前裂紋長度增加，對應的裂紋裕量減小。式(12)以及(,)、(,)和(,)則表征了疲勞裂紋擴展過程中不確定性的量化結果，即材料參數(shù)、過載比、臨界裂紋長度以及裂紋擴展過程在時間維度的動態(tài)變化均存在不確定性，且均采用不確定測度進行量化。因此，根據(jù)式(13)可知，裂紋裕量也是一個不確定變量，且相應的疲勞確信可靠度定義為裂紋裕量大于0的信度。當樣件給定時，裂紋裕量與恒幅載荷的最大應力水平和累積載荷循環(huán)次數(shù)有關，則將裂紋裕量記為(,)，其不確定分布記為()。那么確信可靠度函數(shù)的表達式為

(,)=M{(,)>0}=1-(0)

(14)

(15)

設滿足式(12)所示不確定微分方程的解為=(,,)，即表示為材料參數(shù)、過載比和Liu過程的函數(shù)，的函數(shù)形式由式(9)、式(10)和式(12)唯一確定。通過附錄A的分析得到，(,,)關于材料參數(shù)和Liu過程嚴格遞增，關于過載比嚴格遞減，因此根據(jù)定理1得到

(16)

(17)

2.2 統(tǒng)計分析方法

基于不確定微分方程的廣義矩估計方法，根據(jù)每個樣件施加高載前的裂紋長度和對應的載荷循環(huán)次數(shù)估計未知參數(shù){,,,}。

1) 根據(jù)式(18)計算變量(=1, 2, …,;=1, 2, …,-1)，該變量服從正態(tài)不確定分布(0,1)。

(18)

式中：Δ,為第個樣件第次檢測的裂紋長度對應的有效應力強度因子范圍，且有效應力強度因子范圍Δ表達式為Δ=-。施加高載前裂紋在恒幅載荷下擴展，此時Δ,計算公式為

(19)

2) 根據(jù)式(20)計算不確定變量的階矩(=1, 2, 3, 4)。

(20)

3) 求解如下問題的最優(yōu)解，得到未知參數(shù){,,,}的廣義矩估計。

(21)

基于不確定最小二乘方法，根據(jù)高載幅值數(shù)據(jù)估計未知參數(shù){,}。

1) 計算過載比ol,：

(22)

(23)

3) 基于最小二乘原理，求解如下問題的最優(yōu)解，得到未知參數(shù){,}的估計值。

(24)

基于不確定最小二乘方法，根據(jù)臨界裂紋長度數(shù)據(jù)估計未知參數(shù){,}。

1) 將樣件斷裂前最后一次檢測時的裂紋長度′(=1, 2, …,)作為臨界裂紋長度，然后將′按照升序排列得到(為秩次，=1, 2, …,)，并依據(jù)近似中位秩公式給定信度：

(25)

2) 基于最小二乘原理，求解如下問題的最優(yōu)解，得到未知參數(shù){,}的估計值。

(26)

3 疲勞裂紋擴展實驗及模型應用分析

3.1 7075-T6鋁合金疲勞裂紋擴展實驗

3.1.1 實驗設置及實驗數(shù)據(jù)

本案例的數(shù)據(jù)來源于采用7075-T6鋁合金開展的疲勞裂紋擴展實驗，實驗中5個樣件的尺寸如圖2所示，樣件的載荷譜以及詳細的載荷信息分別如圖3和表1所示，在裂紋長度達到17.5 mm和22.5 mm時分別施加高載。表示恒幅載荷最大值，表示恒幅載荷最小值，表示裂紋長度17.5 mm時的高載幅值，表示裂紋長度22.5 mm時的高載幅值。實驗設計中包含3個應力水平，每個應力下2個樣件，但是恒幅載荷最大值20 kN下的另一個樣件由于應力加載方式存在缺陷造成數(shù)據(jù)結果不合理，因此20 kN下只得到一個樣件的實驗結果，這也是本文采用不確定理論解決此類小樣本問題的原因。

圖2 樣件幾何尺寸Fig.2 Geometry of components

圖3 疲勞裂紋擴展實驗載荷譜示意圖Fig.3 Illustration of loading spectrum of fatigue crack growth experiment

表1 7075-T6鋁合金疲勞裂紋擴展實驗載荷大小

實驗中采用讀數(shù)顯微鏡監(jiān)測裂紋長度，分度值為0.01 mm，并且在數(shù)據(jù)采集過程中使用安裝在顯微鏡上的叉絲作為參考線。疲勞裂紋擴展實驗(FCGE)中記錄了裂紋長度和對應的載荷循環(huán)次數(shù)，數(shù)據(jù)如圖4所示。另外，將每個樣件斷裂前最后一次檢測時的裂紋長度作為臨界裂紋長度，如表2所示。

圖4 7075-T6鋁合金疲勞裂紋擴展實驗的 裂紋長度與載荷循環(huán)次數(shù)Fig.4 Crack length and number of load cycles of FCGE with aluminium alloy 7075-T6

表2 樣件的臨界裂紋長度Table 2 Critical crack length of components

3.1.2 參數(shù)估計結果及確信可靠度評估結果

對于本案例的實驗數(shù)據(jù)，將圖4中每個樣件施加高載前的裂紋長度和對應的載荷循環(huán)次數(shù)，表1中恒幅載荷幅值和高載幅值，以及表2中臨界裂紋長度作為統(tǒng)計分析的輸入數(shù)據(jù)，然后按照2.2節(jié)統(tǒng)計分析方法，得到未知參數(shù)的估計結果如表3所示。

表3 未知參數(shù)估計結果Table 3 Estimation results of unknown parameters

同時，給出不確定變量、過載比和臨界裂紋長度的分布擬合結果，分別如圖5～圖7所示，從圖中可以發(fā)現(xiàn)不確定變量、過載比和臨界裂紋長度的信度計算值和各自相應的正態(tài)不確定分布接近，說明了未知參數(shù)估計結果的準確性。另外，不確定變量服從正態(tài)不確定分布的推論與材料參數(shù)服從正態(tài)不確定分布的假設有直接聯(lián)系，根據(jù)文獻[26]中的分布假設檢驗方法，結合圖5～圖7所示分布擬合結果，材料參數(shù)、過載比和臨界裂紋長度服從正態(tài)不確定分布通過假設檢驗，驗證了2.1節(jié)建模方法中模型假設的合理性。

圖5 不確定變量hjl的分布擬合結果Fig.5 Fit result of uncertainty distribution of uncertain variable hjl

圖6 過載比的分布擬合結果Fig.6 Fit result of uncertainty distribution of overload ratio

圖7 臨界裂紋長度的分布擬合結果Fig.7 Fit result of uncertainty distribution of critical crack length

根據(jù)參數(shù)估計結果和確信可靠度函數(shù)式(14)， 計算確信可靠度隨恒幅載荷最大值和載荷循環(huán)次數(shù)的變化關系，結果如圖8所示。

圖8 7075-T6鋁合金試樣的確信可靠度評估結果Fig.8 Result of belief reliability evaluation of specimens with taluminium alloy 7075-T6

3.1.3 裂紋擴展過程確定性趨勢預測

為了預測裂紋擴展的確定性趨勢，以表3中不確定變量的期望,,分別代表不確定變量、和，結合式(8)～式(10)預測恒幅載荷最大值分別為20 kN、23 kN和26 kN時的裂紋擴展過程的確定性趨勢。預測結果如圖9所示，在圖中同時展示了實驗數(shù)據(jù)。從圖中可以看出，預測結果和實驗數(shù)據(jù)比較接近，說明本文提出的模型對于疲勞裂紋擴展確定性趨勢的預測較準確。

圖9 7075-T6鋁合金試樣裂紋擴展的確定性趨勢預測Fig.9 Predicted determinate trends of crack growth of specimens with aluminium alloy 7075-T6

3.1.4 模型對比分析

本文所提出的模型考慮了小時間尺度下疲勞裂紋擴展過程中時間維度的不確定性的動態(tài)變化特征以及物理屬性、外界載荷和裂紋閾值3個方面的認知不確定性的靜態(tài)特征，記為模型，本節(jié)對該模型在疲勞裂紋擴展的確定性趨勢描述和不確定性量化中的表現(xiàn)展開討論和分析。為此，需要選擇不同的對比模型。

文獻[19]中考慮了疲勞裂紋擴展實驗中物理屬性、外界載荷和裂紋閾值的認知不確定性，并采用不確定分布量化描述(記為模型)。其模型形式為在式(8)～式(10)的基礎上，假設其、和分別服從正態(tài)不確定分布，具體模型可參考文獻[19]。模型與本文所提出模型都是在不確定理論框架下量化不確定性，主要區(qū)別在于未考慮時間維度的不確定性的動態(tài)變化特征。該文獻中為了對比概率論和不確定理論在不確定性量化方面的表現(xiàn)，用于與對比的模型考慮物理屬性、外界載荷和裂紋閾值具有隨機不確定性，并采用概率分布量化(記為模型)。其模型形式為在式(8) ～式(10)的基礎上，假設其中的、和分別服從正態(tài)分布。相比本文所提出的模型，模型未考慮時間維度的不確定性的動態(tài)變化特征，并且在概率論框架下量化不確定性。

本文選用模型和作為對比模型展開討論分析，且模型中不確定分布的參數(shù)估計以及模型中概率分布的參數(shù)估計均基于最小二乘原理，詳細參數(shù)估計方法可參考文獻[19]。

1) 確定性趨勢預測對比

根據(jù)圖4、表1和表2的實驗數(shù)據(jù)，進行統(tǒng)計分析分別得到模型和的未知參數(shù)估計值。與3.1.3節(jié)方法一樣，利用、和的數(shù)學期望，結合式(8)～式(10)得到裂紋擴展的確定性趨勢，并與實驗數(shù)據(jù)進行對比，結果如圖10所示。從圖中可以發(fā)現(xiàn)，模型對于裂紋擴展確定性趨勢的預測相比和更為準確，并且模型和的預測結果基本重合。進一步地，本文提出預測結果與實驗數(shù)據(jù)的均方根誤差RMSE作為確定性趨勢預測準確性的衡量指標，其計算公式為

(27)

圖10 模型M1、M2和M3對于7075-T6鋁合金試樣疲勞裂紋擴展確定性趨勢預測的對比Fig.10 Comparison of models M1, M2 and M3 in predicting determinate trends of fatigue crack growth of specimens with aluminium alloy 7075-T6

2) 不確定性量化結果對比

對不確定性是否細致分類和科學量化，會影響裂紋擴展過程的預測，為此本文利用模型、和在預測裂紋擴展過程時的90%置信區(qū)間進行對比分析。

通過仿真得到500組裂紋擴展曲線，并將這500組裂紋擴展曲線上裂紋長度的第5和95百分位數(shù)分別作為下邊界和上邊界，從而得到模型、和預測裂紋擴展過程時的90%置信區(qū)間。通過上述方法計算不同模型在預測裂紋擴展過程時的90%置信區(qū)間，并與實驗數(shù)據(jù)進行對比，結果如圖11所示。從圖中可以看出，模型的90%置信區(qū)間的范圍相比模型和更小，體現(xiàn)了本文所提出的模型在不確定性量化結果中的優(yōu)勢。

圖11 模型M1、M2和M3對于7075-T6鋁合金試樣疲勞裂紋擴展中不確定性量化的對比Fig.11 Comparison of models M1, M2 and M3 in quantifying the uncertainty of fatigue crack growth of specimens with aluminium alloy 7075-T6

通過上述模型對比分析發(fā)現(xiàn)，本文所提出模型在裂紋擴展確定性趨勢預測和不確定性量化結果中均體現(xiàn)出優(yōu)勢。一方面是因為本文所提出的模型從小時間尺度出發(fā)，基于不確定微分方程進行疲勞裂紋擴展建模，能夠更加細致刻畫裂紋擴展過程和充分利用實驗數(shù)據(jù)信息，從而在確定性趨勢預測中更加準確；另一方面是因為本文所提出的模型相比模型和考慮了疲勞裂紋擴展過程在時間維度的不確定性的動態(tài)變化特征，更加全面地考慮了不確定性的來源，同時基于不確定理論量化描述了不確定性的動態(tài)變化特征，從而在不確定性量化方面所得到的區(qū)間范圍更接近實際數(shù)據(jù)。這表明從小時間尺度出發(fā)進行疲勞裂紋擴展建模以及對不確定性進行細致分類和科學量化的重要意義。

表4 模型M1、M2和M3對于確定性趨勢預測的RMSE計算結果

3.1.5 參數(shù)不確定性的敏感性分析

在工程應用中，可以通過控制或干預不確定性來減小風險，那么就需要辨識各種不確定性的影響，即物理屬性、外界載荷和裂紋閾值3個方面的不確定性的靜態(tài)特征以及時間維度的不確定性的動態(tài)特征對裂紋擴展過程預測的影響。

物理屬性、外界載荷和時間維度的不確定性會影響整個裂紋擴展過程，而裂紋閾值的不確定性僅影響裂紋擴展過程的終止條件。因此進行物理屬性、外界載荷和時間維度3個方面的參數(shù)不確定性的敏感性分析時，采用3.1.4節(jié)中的方法比較裂紋長度的90%置信區(qū)間。而對于裂紋閾值的參數(shù)不確定性的敏感性分析，因為裂紋閾值對于裕量的影響伴隨著整個裂紋擴展過程，因此采用裂紋裕量的90%置信區(qū)間來表征裂紋閾值的不確定性的影響。

時間維度、物理屬性、外界載荷和裂紋閾值4個 方面的不確定性分別以動態(tài)噪聲項·dd、 材料參數(shù)、過載比和臨界裂紋長度的標準差來表征，為了比較這4個方面的不確定性對于裂紋擴展過程預測的影響，作以下分析和計算：

1) 在時間維度方面。式(11)中擴散系數(shù)表示了動態(tài)噪聲項的標準差，進而反映時間維度的不確定性大小，因此設置擴散系數(shù)分別為0.5、0.8、1.2和1.5，其中的取值為3.420 9×10，4組擴散系數(shù)設置下其余模型參數(shù)均如表3所示。4組不同的擴散系數(shù)設置下通過仿真分別得到500組裂紋擴展曲線，從而計算裂紋長度的90%置信區(qū)間，結果如圖12(a)所示。

2) 在物理屬性方面。設置材料參數(shù)的標準差分別為0.5、0.8、1.2和1.5，其中的取值為7.605 9×10，4組材料參數(shù)標準差設置下其余模型參數(shù)與表3一致，然后通過仿真方法計算裂紋長度的90%置信區(qū)間，結果如圖12(b)所示。在外界載荷方面，過載比標準差的設置方法以及裂紋長度的90%置信區(qū)間計算方法與物理屬性方面類似，不再贅述，結果如圖12(c)所示。

3) 在裂紋閾值方面。設置臨界裂紋長度的標準差分別為0.5、0.8、1.2和1.5，其中的取值為1.58，4組臨界裂紋長度標準差設置下其余模型參數(shù)與表3一致。通過500次仿真得到500組裂紋擴展曲線和500組裂紋閾值，然后分別以裂紋閾值減去裂紋長度得到裂紋裕量的變化曲線，從而計算裂紋裕量的90%置信區(qū)間，結果如圖12(d)所示。

圖12 恒幅載荷最大值為20 kN時不同標準差設置下裂紋長度或裂紋裕量的90%置信區(qū)間Fig.12 90% confidence intervals of crack length or crack margin under different standard deviations when the maximum of constant amplitude loadings is 20 kN

圖12展示了恒幅載荷最大值為20 kN時時間維度、物理屬性、外界載荷和裂紋閾值4個方面不同標準差大小設置下裂紋長度或者裂紋裕量的90%置信區(qū)間，反映了各方面的不確定性大小對于裂紋擴展過程預測的影響。從圖中可以看出，材料參數(shù)的標準差大小對于裂紋長度的90%置信區(qū)間影響較為明顯，即標準差設置越大，裂紋長度的90%置信區(qū)間越寬；在不同的時間維度擴散系數(shù)和過載比的標準差設置下計算得到的裂紋長度的90%置信區(qū)間比較接近，表明時間維度和過載比的不確定性大小對于裂紋擴展過程預測的影響較弱；而臨界裂紋長度的標準差大小會對裂紋裕量的90%置信區(qū)間產(chǎn)生顯著影響。

進一步，提出平均相對誤差MRE這一量化指標來對比不同參數(shù)的不確定性大小對于裂紋擴展過程預測的影響，即

×100%

(28)

根據(jù)式(28)計算恒幅載荷最大值為20 kN時時間維度、物理屬性、外界載荷和裂紋閾值4個方面在0.5倍、0.8倍、1.2倍和1.5倍標準差設置下相比1倍標準差下所預測的90%置信區(qū)間的MRE，計算結果如圖13所示。從圖中可以發(fā)現(xiàn)，材料參數(shù)和臨界裂紋長度的標準差在不同設置下得到的MRE值相比時間維度和過載比較大，表明材料參數(shù)的不確定性對于裂紋長度預測的影響較大，同樣臨界裂紋長度的不確定性對于裂紋裕量預測的影響較大。采用同樣的方法分別計算恒幅載荷最大值為23 kN和26 kN時不同標準差設置下的MRE值，計算結果如圖14和圖15所示。圖14結果表明材料參數(shù)和臨界裂紋長度的不確定性對裂紋擴展過程預測的影響較大，而圖15中在0.8倍和1.5倍標準差設置下，過載比對應的MRE值均最大，分析原因是恒幅載荷最大值為26 kN時，過載比標準差的變化會造成高載幅值范圍更大程度的變化，而高載幅值會影響裂紋尖端的力學特性，進而對裂紋擴展過程預測產(chǎn)生較大影響。

圖13 恒幅載荷最大值為20 kN時不同標準差設置下的MRE計算結果Fig.13 Calculation results of MRE under different standard deviations when the maximum of constant amplitude loadings is 20 kN

圖14 恒幅載荷最大值為23 kN時不同標準差設置下的MRE計算結果Fig.14 Calculation results of MRE under different standard deviations when the maximum of constant amplitude loadings is 23 kN

圖15 恒幅載荷最大值為26 kN時不同標準差設置下的MRE計算結果Fig.15 Calculation results of MRE under different standard deviations when the maximum of constant amplitude loadings is 26 kN

進一步，計算不同恒幅載荷最大值下MRE結果的平均值，結果如表5所示。表5中不同標準差設置下材料參數(shù)和臨界裂紋長度對應的MRE值相比時間維度和過載比均較大，這與圖13～圖15所分析的結果相對應，表明了材料參數(shù)和臨界裂紋長度的不確定性對于裂紋擴展過程預測的影響需要重點考慮。

表5 不同恒幅載荷最大值下MRE的平均值

工程生產(chǎn)中，控制或干預材料參數(shù)的不確定性可以通過篩選材料、鑒定力學特性和保證產(chǎn)品加工質(zhì)量(如表面光潔度)等措施來完成。臨界裂紋長度的不確定性是很難控制或干預的，因此可以設計裂紋長度的安全閾值，當裂紋長度接近安全閾值時采取維修或更換措施，從而降低產(chǎn)品生產(chǎn)和使用風險，例如將95%置信水平下臨界裂紋長度的單側(cè)置信限作為安全閾值，即通過求解式(29)所示方程，結果為27.61mm。

M{≤}=1-()=095

(29)

3.2 基于Virkler疲勞數(shù)據(jù)集的分析

3.2.1 實驗設置及實驗數(shù)據(jù)

本節(jié)基于Virkler疲勞數(shù)據(jù)集分析并驗證本文提出模型的有效性。Virkler等的疲勞裂紋擴展實驗中用2024-T3鋁合金制備了預制裂紋長度為9 mm的中心裂紋拉伸試樣，在相同的恒幅載荷條件和環(huán)境條件下進行了68次重復實驗，每次實驗記錄了9～49.8 mm范圍內(nèi)共計164組裂紋長度對應的載荷循環(huán)次數(shù)。試樣幾何尺寸和實驗條件的詳細信息可參考文獻[1]。該實驗得到的疲勞數(shù)據(jù)如圖16所示。

圖16 Virkler等的疲勞裂紋擴展實驗數(shù)據(jù)[1]Fig.16 Data of FCGE of Virkler et al.[1]

3.2.2 參數(shù)估計結果及確信可靠度評估結果

對照本文所提出的模型，Virkler疲勞數(shù)據(jù)集中體現(xiàn)出物理屬性的不確定性的靜態(tài)特征和時間維度不確定性的動態(tài)特征，實驗中不施加高載，臨界裂紋長度取常值49.8 mm，這種情況下本文所提出模型依然適用。因此，根據(jù)圖16中裂紋長度和載荷循環(huán)次數(shù)，通過2.2節(jié)統(tǒng)計分析方法，得到未知參數(shù)的估計結果如表6所示。實驗數(shù)據(jù)不含高載信息，所以與高載幅值相關的未知參數(shù){,}缺省。另外，對于固定的臨界裂紋長度，其標準差取0。

表6 基于Virkler等的疲勞數(shù)據(jù)集的未知參數(shù)估計結果

根據(jù)表6參數(shù)估計結果和確信可靠度函數(shù)式(14)，計算確信可靠度在恒幅載荷最大值為23.35 kN下(即實驗載荷條件)隨載荷循環(huán)次數(shù)的變化關系，得到確信可靠度評估結果如圖17所示。

圖17 2024-T3鋁合金試樣的確信可靠度評估結果Fig.17 Result of belief reliability evaluation of specimens with aluminium alloy 2024-T3

3.2.3 模型驗證分析

本節(jié)將進一步從疲勞裂紋擴展的確定性規(guī)律描述和不確定性量化方面展開分析，基于、和開展對比分析，驗證本文模型的有效性。

3.1.4節(jié)以模型預測的疲勞裂紋擴展過程的均值和90%置信區(qū)間分別表征確定性趨勢和不確定性量化結果，對模型、和進行了對比分析。本節(jié)基于Virkler疲勞數(shù)據(jù)集，采用與3.1.4節(jié)相同的方法分別計算模型、和預測的疲勞裂紋擴展過程的均值和90%置信區(qū)間，詳細計算方法和過程不再贅述，計算結果分別如圖18和圖19所示。

圖18展示了實際數(shù)據(jù)的均值，以及模型、和對于裂紋擴展過程確定性趨勢的描述結果，可以發(fā)現(xiàn)模型、和預測的均值都未完全符合實際數(shù)據(jù)均值，并且模型和預測的均值基本接近。直觀上不容易對比模型、和預測裂紋擴展過程的確定性趨勢的準確性，因此以給定裂紋長度下不同模型預測均值曲線上對應的載荷循環(huán)次數(shù)相比實際數(shù)據(jù)對應的載荷循環(huán)次數(shù)均值的平均相對誤差來表征模型的準確性。模型、和對應的平均相對誤差計算結果分別為4.50%、6.54%和6.66%，表明本文模型在裂紋擴展確定性趨勢預測中相比和更加準確。圖19展示了全部實際數(shù)據(jù)，以及模型、和預測裂紋擴展過程時的90%置信區(qū)間，可以直觀地發(fā)現(xiàn)，模型預測的區(qū)間范圍相比模型和更窄，而且模型預測的區(qū)間范圍更接近實際數(shù)據(jù)的邊界，體現(xiàn)出本文模型在不確定性量化結果中的優(yōu)勢。

圖18 模型M1、M2和M3對于2024-T3鋁合金試樣疲勞裂紋擴展的確定性趨勢預測的對比Fig.18 Comparison of models M1, M2 and M3 in predicting the determinate trends of fatigue crack growth of specimens with aluminium alloy 2024-T3

圖19 模型M1、M2和M3對于2024-T3鋁合金試樣疲勞裂紋擴展中不確定性量化的對比Fig.19 Comparison of models M1, M2 and M3 in quantifying uncertainty of fatigue crack growth of specimens with aluminium alloy 2024-T3

通過Virkler疲勞數(shù)據(jù)集的分析，本文所提出的模型相比模型和在疲勞裂紋擴展的確定性趨勢預測和不確定性量化方面都具有優(yōu)勢，與3.1.4節(jié)得到的結論相一致，驗證了本文所提出模型的有效性。關于模型、和的區(qū)別以及模型區(qū)別對于確定性趨勢預測和不確定性量化結果的影響在3.1.4節(jié)已經(jīng)詳細說明，這里不再贅述。

4 結 論

1) 不確定性具有靜態(tài)特征或者隨時間變化的動態(tài)特征，本文對物理屬性、外界載荷和裂紋閾值3個方面的不確定性的靜態(tài)特征以及時間維度的不確定性的動態(tài)特征進行了量化描述。

2) 本文考慮了疲勞裂紋擴展過程的確定性趨勢和時間維度的不確定性在小時間尺度下的動態(tài)變化特征，構建出小時間尺度下基于不確定微分方程的疲勞裂紋擴展模型，并推導出確信可靠度函數(shù)，同時給出了相應的統(tǒng)計分析方法來估計模型未知參數(shù)。

3) 在疲勞裂紋擴展實驗的案例應用中，本文給出了確信可靠度評估結果，并驗證了所建立的模型對于裂紋擴展確定性趨勢預測的準確性。

4) 通過模型對比分析發(fā)現(xiàn)，相比未從小時間尺度出發(fā)描述裂紋擴展過程并考慮時間維度不確定性的動態(tài)變化特征的模型，本文所建立的模型在疲勞裂紋擴展的確定性趨勢描述和不確定性量化中表現(xiàn)更好，同時也表明了在小時間尺度下進行疲勞裂紋擴展建模以及更加全面地考慮不確定性來源并進行科學量化的重要性。