基于互相關(guān)移位相乘BOC(m,n)無模糊捕獲算法

李明，胡輝，郭萌，禹飛，謝虹群

華東交通大學 信息工程學院，南昌 330013

全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)(Global Navigation Satellite System，GNSS)在各行各業(yè)的應用越來越廣泛，目前衛(wèi)星導航正由單GPS(Global Positioning System)進入多星座聯(lián)合的GNSS時代，傳統(tǒng)的衛(wèi)星導航信號的調(diào)制方式使得各種導航信號在有限頻段內(nèi)重疊，相互干擾。二進制偏移載波(Binary Offset Carrier，BOC)調(diào)制是以方波作為子載波對偽隨機(Pseudo Random Noise，PRN)碼進行預調(diào)制，使得信號頻譜對稱分裂于頻帶邊緣，并且可以通過選擇不同的調(diào)制參數(shù)來調(diào)整兩個分裂主瓣的間距，從而有效解決導航信號間的相互干擾，實現(xiàn)頻譜資源的有效利用。

雖然BOC調(diào)制有效解決了上述問題，但在±1碼片內(nèi)，BOC信號自相關(guān)函數(shù)(AutoCorrelation Function,ACF)存在多峰性，使得BOC信號捕獲存在兩方面的問題：一是誤捕到旁峰造成捕獲模糊，影響了測距精度；二是相關(guān)峰存在的多個零點導致信號漏捕。

近年來，針對上述存在的問題，已經(jīng)提出了多種方法，目前國內(nèi)外主要成果有：多載波模型BPSK-Like法，將BOC信號視為無窮個疊加的BPSK(Binary Phase Shift Keying)信號之和，通過本地產(chǎn)生對應的載波來剝離主載波和子載波，最終生成一個類似BPSK信號的單相關(guān)峰。這雖然解決了誤捕旁峰的問題，但其主峰寬度與BPSK相同，為2個碼片，不能保證BOC信號窄相關(guān)峰特性。自相關(guān)旁鋒消除法(Autocorrelation Side-peak Cancellation Technique, ASPeCT)利用了BOC(,)信號自相關(guān)函數(shù)和BOC(,)/PRN的互相關(guān)函數(shù)在相同碼相位處，旁峰具有類似的特點，通過調(diào)整權(quán)值系數(shù)，減小旁峰與主峰的峰值比，但最優(yōu)效果難以保證。另外，該算法僅適用于=的情況。子載波相位消除法(Subcarrier Phase Cancellation, SCPC)借鑒了主載波剝離的思想，首先本地產(chǎn)生兩路子載波相位正交的BOC信號，然后將BOC、QBOC(Quadrature BOC)的互相關(guān)函數(shù)平方與BOC的自相關(guān)函數(shù)平方相加，最終得到了檢測峰不含零點的相關(guān)曲線，該方法解決了漏捕問題，但BOC信號窄相關(guān)峰特性得不到保證。綜上所述，目前的主流算法或者能消除多峰性而不能保留BOC信號窄相關(guān)峰特性，或者能夠保留BOC信號窄相關(guān)峰特性，但多峰性明顯，甚至有些僅適用于BOC(,)類信號。

目前，相關(guān)函數(shù)重構(gòu)算法是一個比較熱門的方向，它的核心思路是將相關(guān)函數(shù)分離成一系列子相關(guān)函數(shù)，利用子相關(guān)函數(shù)之間的特點，通過翻轉(zhuǎn)、非線性、截取移位、線性等方法，重新構(gòu)造一個無旁峰干擾的新相關(guān)函數(shù)，進而解決BOC信號存在的誤捕和漏捕問題。文獻[18]提出的CSSPeCT(Correlation Shift-SidePeak Cancellation Technique)技術(shù)，將相關(guān)函數(shù)分離為奇偶兩部分，降低了分離和重構(gòu)過程的復雜度，但其僅適用于=的情況。文獻[19]利用自相關(guān)函數(shù)與自相關(guān)絕對值函數(shù)主峰大小相等、方向相同、旁峰大小相等、方向相反的特點，給出了一種合成互補方法：該方法對自相關(guān)函數(shù)的調(diào)幅、截取等操作，受接收信號的碼相位偏移及多普勒頻移影響，而接收信號的相關(guān)信息是隨機的。文獻[20]提出了一種運算量更低且適用于任意階數(shù)BOC信號的捕獲算法，其結(jié)果存在一定的負峰，犧牲了一定的性能。

針對現(xiàn)有技術(shù)存在的問題，本文提出了一種基于互相關(guān)函數(shù)分離重構(gòu)的無模糊捕獲算法。同時，為了解決該算法運算量大以及適用性單一的問題，提出了一種快速算法。

1 算法分析

1.1 BOC調(diào)制信號模型

通常，BOC調(diào)制信號以BOC(,)來表示，其中表示信號的子載波頻率與基準頻率之比，為PRN碼碼速率與的比值，=1.023 MHz，記=2為BOC調(diào)制階數(shù)，其信號特性主要受子載波頻率和PRN碼碼速率的比值影響，即與調(diào)制階數(shù)密切相關(guān)。

由于BOC信號中的PRN碼序列和子載波具有特定的相關(guān)性，BOC(,)信號的自相關(guān)函數(shù)ACF除主峰之外還存在多個旁峰。BOC(1,1)信號的自相關(guān)函數(shù)的模型為

(1,1)()=

(1)

式中：()為高度1、寬度2、中心在=0處的三角函數(shù)；為碼相位延遲。BOC/PRN互相關(guān)函數(shù)即為BOC信號與不經(jīng)子載波調(diào)制的PRN進行相關(guān)運算得到。BOC(2,1)信號與PRN的互相函數(shù)為

(2)

圖1(a)為BPSK、BOC(1,1)和BOC(2,1)自相關(guān)函數(shù)MATLAB仿真的結(jié)果比較，圖1(b)為BOC(1,1)/BOC(2,1)與PRN碼的互相關(guān)函數(shù)對比。由圖可知，BPSK信號自相關(guān)函數(shù)只有一個峰值，而BOC(1,1)信號自相關(guān)函數(shù)主峰寬度只有BPSK的一半，BOC(2,1)則為1/4，這使得BOC信號具有更好的跟蹤精度，但其自相關(guān)函數(shù)有多個旁峰，這就導致捕獲過程中存在誤捕的情況。調(diào)制階數(shù)越高，BOC信號主峰寬度越窄，同時其旁峰數(shù)量也越多，旁峰幅值大小越接近主峰，如何將旁峰去除就成了解決問題的關(guān)鍵。

圖1 BOC信號相關(guān)函數(shù)比較Fig.1 Comparison of BOC signal correlation functions

BOC信號與PRN碼的互相關(guān)函數(shù)分為左右兩部分，這兩部分關(guān)于中心原點對稱，每一部分都是由多個三角峰組成，其峰值大小的絕對值相等。與自相關(guān)函數(shù)相同，互相關(guān)函數(shù)隨著調(diào)制階數(shù)的增加，每個部分中的相關(guān)峰個數(shù)增多，寬度變窄，其總個數(shù)隨調(diào)制階數(shù)變化的關(guān)系為=，即兩部分三角峰個數(shù)之和等于信號調(diào)制階數(shù)。

對于BOC信號來說，若在捕獲過程中沒有將旁峰消去，而誤捕到了旁峰，在后續(xù)的跟蹤相位階段將會導致誤鎖，特別是高階的BOC信號，其相關(guān)函數(shù)的主峰和子峰難以區(qū)分，更加容易造成誤鎖現(xiàn)象，這會引起不容忽視的定位偏差。

1.2 分離重構(gòu)原理

根據(jù)圖1(b)所示BOC/PRN互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，我們可對互相關(guān)函數(shù)進行如下分解重組。

本地PRN信號數(shù)學模型可表示為

(3)

式中：()為周期為的單位矩形脈沖；為單個PRN碼片寬度；∈(-1,1)為第個碼片的符號?；谏鲜鲂盘柗蛛x原理，將PRN的每個碼片分成等份，截取每一個PRN碼片的第一等份，構(gòu)成第一組子碼信號，如式(4)所示：

(4)

式中：()為周期為的矩形脈沖；為單個子載波脈沖的寬度，其與PRN碼片寬度的關(guān)系為=。這樣依次截取每個PRN碼片的第等份的碼片信號，組成第組子碼信號()：

()=(-(-1))=1，2，…，

(5)

由式(5)可得第組子碼信號()可以由延遲得到，則本地PRN信號被分成組子碼信號的和，即為

(6)

當輸入信號為BOC(2,1)時，調(diào)制階數(shù)=4，對應的本地PRN信號的分離結(jié)果如圖2所示。

圖2 本地PRN信號分離圖Fig.2 Decomposition of local PRN

當調(diào)制階數(shù)為偶數(shù)時，BOC/PRN互相關(guān)函數(shù)可表示為

()=

(7)

若定義PRN信號的第組子碼信號()與BOC(,)信號的子互相關(guān)函數(shù)為()，則BOC/PRN互相關(guān)函數(shù)為個子互相關(guān)函數(shù)之和：

(8)

圖3(a)為MATLAB仿真得到的BOC(2,1)信號與PRN信號互相關(guān)函數(shù)()以及分離后的子互相關(guān)函數(shù)()結(jié)果圖，碼相位延遲設置為400。

圖3 互相關(guān)函數(shù)分離Fig.3 Decomposition of cross-correlation functions

由圖可知子互相關(guān)函數(shù)()存在峰值相等的多峰，且相鄰峰之間的時間延遲均為。若以()為基準，按式(4)中()的定義，則()可由()延遲得到，即

()=(-(-1))=1，2，…，

(9)

若將圖3(a)所示的()延遲至與()對齊，將()延遲至與()對齊，結(jié)果即為圖3(b)所示。此時()和()、()和()關(guān)于碼相位=400成對稱關(guān)系，利用該對稱性將()和()相乘、()和()相乘可分別得到單峰，再將兩個單峰相加得到最終結(jié)果。

對于所有為偶數(shù)階的BOC(,)信號都有同樣的結(jié)論，最終構(gòu)造得到的相關(guān)函數(shù)即可用于無模糊度捕獲，具體過程如下：

1) 計算分離后的個子相關(guān)函數(shù)()。

2) 將所有子相關(guān)函數(shù)分成2組：

并把第1組中其余子相關(guān)函數(shù)時延至與()對齊，第2組中與()對齊。

3) 第1組和第2組中互相關(guān)于原點對稱的子相關(guān)函數(shù)相乘，即下標之和為的子相關(guān)函數(shù)兩兩相乘，得到/2個結(jié)果。

4) 所有結(jié)果相加得到最終重構(gòu)的相關(guān)函數(shù)()，其表達式如式(10)所示，將該算法簡記為移位相乘法。

(-1))

(10)

1.3 基于互相關(guān)函數(shù)分離重構(gòu)的移位相乘算法

綜合1.2節(jié)分離重構(gòu)原理，提出了基于互相關(guān)函數(shù)分離重構(gòu)的移位相乘算法，圖4顯示了該捕獲算法的原理框圖。圖中：NCO為數(shù)控振蕩器；IFFT表示快速傅里葉逆變換。

輸入中頻BOC(,)信號的數(shù)學模型如下：

cos(2π(+))+()

(11)

式中：為信號接收功率；()為PRN碼序列；()為導航電文；SC()為子載波；為信號中頻；為接收信號的多普勒頻移；()為噪聲部分。

首先，根據(jù)式(4)～式(6)將本地信號分離，得到組子碼信號；將分離的組子碼信號分別和輸入中頻信號進行互相關(guān)運算，這里采用FFT實現(xiàn)。

由于導航電文()在處理過程中幅值恒定，此處忽略其影響，不考慮數(shù)據(jù)位跳變。假設總共有段數(shù)據(jù)處理，則第段的數(shù)據(jù)經(jīng)積分處理并求模后的輸出為

=1,2,…,

(12)

簡記為

(13)

圖4 移位相乘算法原理圖Fig.4 Schematic diagram of cross-correlation-shift multiplication algorithm

=

(14)

(15)

(16)

對于所有的段數(shù)據(jù)進行非相干累加，即得到圖4所示的最終檢測量：

(17)

圖5 BOC(2，1)重構(gòu)后的相關(guān)函數(shù)Fig.5 Reconstruction of BOC(2,1) sub-correlation function

1.4 快速算法

由式(10)所示的移位相乘法，有效消除了旁峰對捕獲的影響，但重構(gòu)結(jié)果并未完全消去旁峰，且實現(xiàn)復雜，存在調(diào)制階數(shù)為奇數(shù)時效果不好的局限性。為解決該算法存在的問題，基于上述移位相乘法提出了一種快速算法。

圖6為快速算法原理框圖。在圖3中，對于分離得到的子自相關(guān)函數(shù)，取第1個和第個，即()和()，將其相乘得到單峰，以此來降低運算的復雜度，獲得較快的處理速度，同時解決了移位相乘法在BOC信號調(diào)制階數(shù)為奇數(shù)時不適用的局限性。此時得到的結(jié)果仍和移位相乘法一樣，并未完全將旁峰消去，令()和()乘積為1，觀察結(jié)果可知，只需將1取絕對值，再和1相減，原來存在的旁峰即可正負相抵消，完全消去，快速算法最終的重構(gòu)函數(shù)為

=|1|+(-1)

(18)

根據(jù)式(18)得到圖7所示的最終檢測量為

(19)

(20)

結(jié)合兩者優(yōu)勢，快速算法具有比移位相乘法更低的復雜度、更快的處理速度和旁峰消去能力。該算法通過犧牲一部分能量來換取更低的運算量，但其最終輸出相當于將主峰疊加，減少了能量的損失，對于低階BOC調(diào)制信號的情況，該算法能量反而有所提高。圖7為以BOC(2,1)為例的快速算法結(jié)果圖。

圖6 快速算法原理圖Fig.6 Schematic diagram of fast algorithm

圖7 快速算法相關(guān)函數(shù)重構(gòu)結(jié)果Fig.7 Reconstruction results of sub-correlation function of fast algorithm

雖然本文提出的移位相乘法及其快速算法均以正弦型BOC調(diào)制信號為例分析，但同樣適用于余弦型的BOC調(diào)制信號。對于余弦型BOC調(diào)制信號，當其調(diào)制階數(shù)為偶數(shù)時，移位相乘法及快速算法與正弦型BOC調(diào)制信號消除旁峰的方式基本相同。但是對于奇數(shù)階數(shù)的BOC調(diào)制信號，其子相關(guān)函數(shù)個數(shù)為奇數(shù)，而移位相乘法需將子相關(guān)函數(shù)分為兩組，此時只能使用快速算法，消除旁峰的方式與偶數(shù)階數(shù)BOC調(diào)制信號相同。

2 檢測統(tǒng)計量分析

2.1 移位相乘法檢測統(tǒng)計量

(21)

將式(21)整理得到3部分，純信號項、純噪聲項以及信號與噪聲的交叉項，分別如下所示。

純信號項：

=|()|×|-+1()|

(22)

純噪聲項：

(23)

交叉項：

(24)

(25)

(26)

式中：K(·)為第二類階修正貝塞爾函數(shù)；Γ()為伽瑪函數(shù)；的方差為

(27)

根據(jù)中心極限定理，當數(shù)據(jù)段數(shù)的值很大時，最終檢測量中的純噪聲項為類似高斯變量，近似服從正態(tài)分布，其方差如式(28)所示：

(28)

信號與噪聲的交叉項相當于高斯噪聲乘以一個常數(shù)，其仍然服從高斯分布，因此的方差為

(29)

最終檢測量中的交叉項方差為

(30)

綜上是高斯噪聲與常量的累加，亦服從均值為()、方差為()的高斯分布，的均值和方差如式(31)、式(32)所示：

(31)

(32)

(33)

虛警概率可表示為

(34)

式中：為檢測門限值。根據(jù)奈曼皮爾遜準則，可計算得條件移位相乘法的門限值。

(35)

式中：為信噪比；I()表示第一類零階修正貝塞爾函數(shù)。因此檢測概率為

(36)

同理可得條件下移位相乘法的門限值。

2.2 快速算法檢測統(tǒng)計量

對于快速算法，按照式(21)～式(36)的分析方法，對式(19)所示的檢測量分析有：

在的條件下，的概率密度函數(shù)為

(37)

虛警概率為

(38)

在的條件下，的概率密度函數(shù)為

(39)

檢測概率為

(40)

根據(jù)奈曼皮爾遜準則即可得到和條件下的快速算法門限值。

2.3 性能分析

檢測概率是反映捕獲算法優(yōu)劣最好的指標。與傳統(tǒng)BPSK信號檢測性能的影響因素不同，BOC信號的檢測性能由噪聲和旁峰共同影響。為了從理論上證明本文算法的有效性，根據(jù)2.1節(jié)和2.2節(jié)分析得到的門限值和檢測概率表達式，繪制信噪比與檢測概率關(guān)系圖，分析本文算法的檢測性能。圖8為通過蒙特卡洛法模擬5種算法在相同條件下，BOC(2,1)的檢測概率對比，設置仿真環(huán)境的非相干積分時間為1 ms，虛警概率為=001，碼長為2 046個碼片，采樣率為81.84 MHz，信噪比范圍為[25，45] dBHz。捕獲判定的依據(jù)為不同信噪比條件下，最大峰值出現(xiàn)的位置與碼相位時延大小之間的誤差在±1/4個碼片內(nèi)。

從圖8中可以看出，本文算法檢測概率較3種傳統(tǒng)算法有明顯優(yōu)勢。從檢測概率的角度來看，本文算法在相同信噪比條件下，檢測概率均高于3種傳統(tǒng)算法。假設檢測概率=90%，移位相乘法在信噪比約37 dBHz時可達到相應的檢測性能，快速算法所需信噪比約為37.5 dBHz，而ASPeCT法需在41 dBHz左右,本文算法捕獲性能優(yōu)于ASPeCT法約4 dB和3.5 dB，且優(yōu)于SCPC和BPSK-Like法3 dB、2.5 dB和6 dB、5.5 dB。原因是本文算法在保留BOC信號窄相關(guān)峰特性的同時，有效抑制了旁峰，ASPeCT法不能很好的抑制旁峰的影響，且對于高階BOC信號其不再適用，而BPSK-Like法和SCPC法雖然達到了抑制旁峰的效果，但兩者均未保留窄相關(guān)峰特性。在相同條件下，噪聲更容易使相關(guān)峰值在±1/4個碼片之外高于預設的門限值，降低捕獲性能；移位相乘法相較快速算法雖具有更多的能量，但并未將旁峰完全消去，快速算法在完全消去旁峰的同時，其最終輸出相當于將主峰進行疊加，減少了能量的損失，理論曲線表明快速算法性能與移位相乘法相當，兩者差距在0.5 dB以內(nèi)。

圖8 檢測概率與信噪比的關(guān)系Fig.8 Relationship between detection probability and carrier to noise ratio

3 實驗結(jié)果與分析

為了驗證本文算法的性能，根據(jù)第1、第2節(jié)部分的算法原理和理論分析，基于MATLAB平臺對算法進行仿真實驗，設輸入中頻信號的頻率=4.092 MHz，碼長為2 046個碼片，信噪比為-25 dB，采樣率= 81.84 MHz，積分時間= 1 ms，設置多普勒頻移= 3 000 Hz，多普勒頻率的搜索范圍為[-10，10] kHz，頻率搜索步長為500 Hz，碼相位延遲= 401采樣點。給出了本文算法的捕獲仿真結(jié)果，同時對比了本文算法與SCPC、ASPeCT以及BPSK-Like法的二維捕獲結(jié)果，分析本文算法的旁峰消除效果。

3.1 三維仿真結(jié)果

以BOC(2,1)信號為仿真信號源進行捕獲，圖9(a)為移位相乘法三維捕獲結(jié)果圖，圖9(b)為快速算法三維捕獲結(jié)果圖。

圖9 三維捕獲結(jié)果Fig.9 The 3D acquisition result

由上述實驗結(jié)果可知，以最大相關(guān)峰值作為搜索門限，本文兩種算法捕獲多普勒均為3 000 Hz， 碼相位延遲為401個碼片，捕獲估計參數(shù)與預設參數(shù)一致，驗證了本文算法的可靠性。

3.2 二維仿真結(jié)果

圖10為5種算法標準化后的旁峰消除效果的二維對比圖。從結(jié)果圖可以明顯看出，ASPeCT法并沒有很好的旁峰消除能力，其結(jié)果存在兩個峰值較高的旁峰和多個較小的旁峰，主峰寬度為20個 采樣點。隨調(diào)制階數(shù)的增大，ASPeCT法中的旁峰數(shù)量不斷增多，不再適用于BOC信號捕獲。移位相乘算法雖然并沒有將旁峰完全消去，但僅存在兩個峰值較小的正值旁峰，相較主峰峰值，影響基本可以忽略，在相同碼相位誤差范圍內(nèi)估計，ASPeCT法旁峰檢測量的值為0.548，移位相乘法中旁峰檢測量的值為0.105 7，ASPeCT法的誤捕概率高出移位相乘法約7 dB，而主峰寬度與ASPeCT相當，為20個采樣點。SCPC、BPSK-Like和快速算法均消去了旁峰，但SCPC和BPSK-Like沒有保留BOC信號的窄帶特性，主峰寬度固定為80個采樣點，即兩個碼片寬度，不滿足BOC信號高精度捕獲要求；而快速算法在將旁峰完全消除的同時，還保留了主峰的窄帶性，其寬度和ASPeCT法、移位相乘法相同。在主峰寬度方面本文算法同ASPeCT法明顯優(yōu)于SCPC、BPSK-Like法，且本文算法隨著調(diào)制階數(shù)增大，主峰寬度會越窄；在旁峰消除方面，快速算法完全消去了旁峰且保留了窄帶特性。

圖10 5種算法二維捕獲對比Fig.10 2D acquisition result of five acquisition methods

3.3 算法復雜度

積分時間=1 ms，共81 840個采樣點，根據(jù)多普勒檢測范圍和步進可計算得到41個頻點。本文提出的快速算法經(jīng)2次復數(shù)乘法運算、1次實數(shù)相乘運算和1次實數(shù)加法運算，再經(jīng)5次FFT得到最終檢測結(jié)果；ASPeCT法的運算量為，8次FFT運算、4次復數(shù)乘法運算、2次實數(shù)相乘運算；BPSK-Like法的運算量為，4次復數(shù)乘法運算、2次實數(shù)相乘運算、8次FFT運算；SCPC法則是5次FFT運算、2次復數(shù)乘法運算、2次實數(shù)相乘運算。

一般來說，一次復數(shù)乘法可以分解成4次實數(shù)乘法和3次實數(shù)加法運算，一次復數(shù)加法等同于兩次實數(shù)加法運算，結(jié)合式(41)、式(42)可得5種算法的總運算量。表1為5種算法捕獲過程中的計算復雜度對比。

表1 5種算法運算量對比Table 1 Comparison of calculation between five algorithms

若假設一次乘法運算時間和一次加法運算時間均為，將實際參數(shù)帶入到表1中，可以得到實際的乘法和加法運算次數(shù)。以=81 920點FFT為例，比較發(fā)現(xiàn)快速算法的計算量為ASPeCT和BPSK-Like算法的58.54%，效率提高了約40%；而與SCPC相比，兩者運算量一樣。移位相乘法在調(diào)制階數(shù)為2時，運算量和SCPC以及快速算法相同，但隨調(diào)制階數(shù)增大，其運算量要遠高于其他四種算法，最為復雜。

4 結(jié) 論

1) 本文研究了BOC/PRN互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，對本地PRN信號進行分離，提出了一種基于互相關(guān)函數(shù)分離重構(gòu)的移位相乘法。結(jié)果表明，移位相乘法能夠消除旁峰對捕獲的影響，有效解決BOC信號捕獲模糊度問題，同時能夠保留相關(guān)主峰的窄帶特性。

2) 為了進一步提高性能，解決移位相乘法實現(xiàn)復雜，在調(diào)制階數(shù)為奇數(shù)時效果差的問題，提出了一種快速算法。理論分析和仿真實驗表明，快速算法的性能優(yōu)于傳統(tǒng)算法，與移位相乘法相當，且實現(xiàn)復雜度較低，同時適用于所有類型的BOC調(diào)制信號，具有很好的適用性，對于我國北斗三代衛(wèi)星B1C信號的捕獲具有一定參考意義。

下一步工作將研究本文算法在實際衛(wèi)星信號捕獲以及跟蹤中的應用，未來還將研究本文方法思路在聯(lián)合捕獲中的應用。