有關(guān)復(fù)變函數(shù)中一類復(fù)積分的研究

荊柏瑞，龐慧慧，陳 靜*

（1.中國農(nóng)業(yè)大學(xué)信息與電氣工程學(xué)院，北京 100083；2.中國農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院，北京 100083）

0 引言

《復(fù)變函數(shù)》[1]是我國高等院校工科專業(yè)，特別是電氣工程及其自動化、電子信息工程、通信、自動化、熱能與動力工程、測控技術(shù)與儀器等專業(yè)必修的重要基礎(chǔ)課程，是學(xué)好相關(guān)專業(yè)課程的基礎(chǔ)，是解決流體力學(xué)、電磁學(xué)、熱學(xué)及工程力學(xué)等領(lǐng)域中平面向量場問題的有力工具。在學(xué)習(xí)時，要求學(xué)生具備《高等數(shù)學(xué)》及《線性代數(shù)》的理論基礎(chǔ)，具備一定的邏輯抽象能力及運用數(shù)學(xué)觀點分析問題、解決問題的能力。

在“跨學(xué)科融合”及“點線面體”等教學(xué)新模式[2-4]研究下，注重學(xué)生思維的延拓性、發(fā)散性、方法的多樣性和創(chuàng)新性的培養(yǎng)。復(fù)積分是復(fù)變函數(shù)中一個非常重要的內(nèi)容，其中一類復(fù)積分的研究難度非常大，文章結(jié)合代數(shù)、幾何及分析等方法，從不同角度反復(fù)思考、分析問題，深入挖掘問題中隱含條件，以新穎獨創(chuàng)的方法解決該類問題，給出了非常全面且更有意義的教學(xué)研究途徑及方法。

1 問題提出與分析

問題（1.1）：求一類復(fù)積分[1]

2 多種研究過程

2.1 利用函數(shù)在無窮遠點處留數(shù)與在圓環(huán)域內(nèi)洛朗展開式的系數(shù)關(guān)系研究問題（1.1）

2.2 利用函數(shù)在無窮遠點處留數(shù)與在原點處留數(shù)的轉(zhuǎn)化關(guān)系研究問題（1.1）

2.3 利用有限奇點處的留數(shù)研究問題（1.1）

2.3.2 借助n為偶數(shù)情況輔助去研究（6）式

由于該方程得到的復(fù)根在復(fù)平面上對應(yīng)的點剛好是以原點為圓心單位圓的內(nèi)接正n邊形的n個頂點。利用復(fù)數(shù)的向量表示法與向量合成法則可知，n為偶數(shù)時，對任意一個根，必然存在一個與其關(guān)于原點對稱的根，故

3 結(jié)論

通過對復(fù)變函數(shù)中難度非常大的一類復(fù)積分多方面展開研究，多角度得到了一致性的結(jié)果，既可以在教學(xué)研究過程中引導(dǎo)學(xué)生變換角度思考問題，利用自己擅長的領(lǐng)域?qū)?fù)雜的問題進行剖析，取得更好的教學(xué)研究效果，同時鼓勵學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中要通過不同角度研討問題，今后遇到問題時，不拘泥于現(xiàn)有學(xué)科的分析思路或已有的解決方法。引導(dǎo)學(xué)生充分調(diào)動學(xué)習(xí)積極性，打通不同課程間的知識壁壘，靈活應(yīng)用所學(xué)知識解決實際問題。