動(dòng)態(tài)過(guò)程中容器底部液體壓強(qiáng)的分析

黃 亮

（重慶市南開(kāi)中學(xué)校，重慶 400030）

非柱體類容器，各高度的橫截面積不為定值.容器內(nèi)的液體量在增減過(guò)程中，液體深度和增減量（體積、質(zhì)量）之間不是簡(jiǎn)單的線性關(guān)系.因此，在增減流量一定的情況下，容器底部受到的液體壓強(qiáng)與時(shí)間的函數(shù)表達(dá)式往往會(huì)比較復(fù)雜，給學(xué)生理解、教師講授造成困擾.

例題.如圖1，往浴缸中勻速注水直至注滿，下列表示此過(guò)程中浴缸底部受到水的壓強(qiáng)隨時(shí)間變化的曲線（圖2），其中合理的是

圖1

圖2

該問(wèn)題屬于較典型的非柱體類容器底部液體壓強(qiáng)分析.定性講解時(shí)，強(qiáng)調(diào)浴缸“口大底小”，勻速注水過(guò)程中，單位時(shí)間內(nèi)對(duì)應(yīng)的液面上升會(huì)逐步減緩.因此，隨著時(shí)間推移，浴缸底部液體壓強(qiáng)總體增大且增速放緩，曲線“上凸”.答案為（B）.雖可順利解題，但未經(jīng)定量分析得出的結(jié)論難以反映壓強(qiáng)的變化細(xì)節(jié)，致使學(xué)生對(duì)動(dòng)態(tài)過(guò)程的認(rèn)識(shí)過(guò)于感性.

以“生活實(shí)踐情境”為依托對(duì)問(wèn)題進(jìn)行實(shí)境化歸，[1]并借助數(shù)據(jù)處理軟件實(shí)施工程計(jì)算，得出壓強(qiáng)-時(shí)間（p-t）特性曲線.能直觀展現(xiàn)壓強(qiáng)變化特點(diǎn).可幫助學(xué)生探索動(dòng)態(tài)過(guò)程的內(nèi)在規(guī)律.

1 模型建立

將浴缸簡(jiǎn)化為圓錐體的一部分，則已注入的水體可看作圓臺(tái)（圖3），水體體積可視為兩個(gè)圓錐體積之差.設(shè)Q為注水流量，h0為容器底距所屬圓錐體頂點(diǎn)距離，α為水體所屬圓錐的半角，t為注水時(shí)間，且零時(shí)刻時(shí)容器內(nèi)無(wú)水.

圖3 浴缸示意圖

2 實(shí)境化歸

參考普通圓形浴缸尺寸且注水流量取家用水龍頭開(kāi)啟后的平均值（可參考家用12L燃?xì)鉄崴鞴ぷ鲿r(shí)的出水流量）.將模型生活化、具體化.參數(shù)如下.Q=12L·min-1=0.2×10-3m3·s-1，α=55°，則有tanα≈1.428，h0=0.5m，ρ水=1.0×103kg·m-3，g=10N·kg-1.將各參數(shù)代入（3）式后，則容器底部液體壓強(qiáng)p與注水時(shí)間t關(guān)系的解析式為

可知，當(dāng)Q、h0、α均確定后，液體壓強(qiáng)p是一個(gè)只隨時(shí)間t變化的函數(shù).

不考慮水的溢出（設(shè)容器可向上無(wú)限延伸），且忽略該過(guò)程中水流的激蕩、沖擊、涌動(dòng)等，認(rèn)為容器內(nèi)水體處于理想的平衡態(tài).忽略水的密度變化，認(rèn)為容器底部所受液體壓強(qiáng)，只與容器內(nèi)水的深度有關(guān).[3]

3 曲線繪制

在Geogebra中輸入（4）式生成p-t特性曲線（圖4）.

圖4 p-t特性曲線

經(jīng)觀察得：壓強(qiáng)隨時(shí)間延續(xù)而增大，“增速”逐漸“放緩”，曲線“上凸”.該圖生動(dòng)直觀，說(shuō)服力強(qiáng).可根據(jù)問(wèn)題需要靈活確定起止時(shí)間，關(guān)注動(dòng)態(tài)過(guò)程中的變化細(xì)節(jié).

4 理論分析

將已注入容器中的水體旋轉(zhuǎn)90°后放入直角坐標(biāo)系：x軸與圓臺(tái)軸線重合，其所屬圓錐的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合（圖5）.則容器內(nèi)的水體可看作是直線y=（tanα）x上的某一部分線段，與其兩端點(diǎn)到x軸的垂線段及垂足間線段組成的直角梯形平面，繞x軸旋轉(zhuǎn)后形成的圓臺(tái).該旋轉(zhuǎn)體體積為

圖5 圓臺(tái)示意圖

該體積等于時(shí)間t內(nèi)注入的水的體積則有

由（5）、（6）兩式聯(lián)立可推出Δh隨時(shí)間t的關(guān)系式為

若容器不為標(biāo)準(zhǔn)圓臺(tái)，而是某一函數(shù)曲線形成的旋轉(zhuǎn)體，可沿用（5）式推導(dǎo)思路計(jì)算出新的關(guān)系 若為錐臺(tái)類則可用Δh-t.的方式來(lái)論證，此處不作展開(kāi).

容器底部壓強(qiáng)隨注水時(shí)間的關(guān)系為

為定量討論p的變化規(guī)律，求出p關(guān)于時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)為

可得：在當(dāng)Q、h0、α均確定后.該導(dǎo)數(shù)是一個(gè)只隨時(shí)間t變化的函數(shù).此函數(shù)值表征容器底受到的液體“壓強(qiáng)變化快慢”也就是p-t特性曲線的斜率k即“壓強(qiáng)增速”.[4]且Q、h0、α只是定義了注水快慢與容器幾何形態(tài)，實(shí)際情況中均取正值，不會(huì)對(duì)該類問(wèn)題的變化規(guī)律與分析方案產(chǎn)生本質(zhì)上的影響.實(shí)境化后得出的結(jié)論具有一般性.代入Q、h0、α值后有

用Excel繪制（10）式圖像，如圖6所示.

圖6 斜率k隨時(shí)間變化關(guān)系

不難發(fā)現(xiàn)：隨注水時(shí)間t的推移，容器底所受液體壓強(qiáng)的變化率始終為正且降低.意為壓強(qiáng)始終增大，但是增速放緩.則p-t圖像整體在第一象限內(nèi)單調(diào)遞增，斜率放緩，曲線上凸.理論分析的結(jié)果同前述結(jié)論一致.

該方案具有良好的拓展性：容器倒置類、錐臺(tái)容器類、旋轉(zhuǎn)體容器類、“放水”類、注放結(jié)合類等問(wèn)題均可適用.特別是在學(xué)生能列出過(guò)程函數(shù)表達(dá)式，但無(wú)法進(jìn)一步求解時(shí)，“描點(diǎn)繪圖”作為較底層的數(shù)理思維，易于理解，可讓定量探究有效推進(jìn).相應(yīng)理論分析中的具體求解算式及參數(shù)值隨問(wèn)題條件變化做適當(dāng)調(diào)整即可.