基于均勻圓陣相干信源的二維DOA估計(jì)

晏 輝, 司偉建

(1. 哈爾濱工程大學(xué)信息與通信工程學(xué)院， 黑龍江哈爾濱 150001；2. 哈爾濱工程大學(xué)先進(jìn)船舶通信與信息技術(shù)工業(yè)和信息化部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 黑龍江哈爾濱 150001)

0 引 言

陣列信號(hào)處理是現(xiàn)代雷達(dá)系統(tǒng)中的熱點(diǎn)研究問題，波達(dá)方向(Direction of Arrival，DOA)估計(jì)技術(shù)作為重要分支更是得到廣泛應(yīng)用。為了得到目標(biāo)精確的角度信息，許多經(jīng)典算法已經(jīng)被應(yīng)用于實(shí)際工程中，如多重信號(hào)分類法(MUSIC)和旋轉(zhuǎn)不變子空間技術(shù)(ESPRIT)。但是隨著通信環(huán)境的日益復(fù)雜，多徑傳播和同頻干擾環(huán)境下產(chǎn)生了高度相關(guān)和相干信號(hào)源，使接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣缺秩，噪聲子空間與信號(hào)子空間不再正交，上述常規(guī)算法失效，需要通過諸如空間平滑、矩陣重構(gòu)和Toeplitz化等解相干操作后才能得到準(zhǔn)確的估計(jì)結(jié)果。均勻圓陣(Uniform Circular Array，UCA)作為最常用的陣列之一，相比均勻線陣(Uniform Linear Array，ULA),不僅能夠提供[-180°，180°]的方位角估計(jì)，還具備方向圖在任何方位都有相同的波束形狀、容易共形和導(dǎo)向矢量共軛對(duì)稱等諸多優(yōu)勢(shì)。由于UCA的導(dǎo)向矢量比較復(fù)雜，不具備ULA的范德蒙結(jié)構(gòu)，許多常規(guī)方法不能直接應(yīng)用。針對(duì)上述問題，文獻(xiàn)[5]首次提出模式空間變換的概念，通過構(gòu)造模式空間變換矩陣，將UCA變?yōu)閷?dǎo)向矢量具備范德蒙結(jié)構(gòu)的虛擬ULA，學(xué)者們由此展開深入研究。文獻(xiàn)[6]提出均勻圓陣實(shí)值波束空間多重信號(hào)分類法(UCA-RB-MUSIC)和均勻圓陣旋轉(zhuǎn)不變子空間法(UCA-ESPRIT)，通過構(gòu)造實(shí)值波束變換矩陣，利用MUSIC和ESPRIT算法估計(jì)信號(hào)二維角度信息，但是該方法不能估計(jì)相干信號(hào)；文獻(xiàn)[7-8]分別利用陣列平移和劃分子陣列的方法解相干，然后利用二維譜峰搜索估計(jì)信號(hào)角度信息，計(jì)算量較大無法滿足實(shí)時(shí)需求；文獻(xiàn)[9-10]分別利用Toeplitz化和矩陣重構(gòu)法估計(jì)相干信號(hào)，分辨率高實(shí)時(shí)性好，但只能得到一維角度信息；文獻(xiàn)[11-12]提出基于稀疏重構(gòu)模型下的相干信號(hào)二維DOA估計(jì)方法，準(zhǔn)確性高且對(duì)相干信號(hào)不敏感，但是涉及復(fù)雜的數(shù)學(xué)優(yōu)化問題，求解困難；文獻(xiàn)[13-14]分別利用雙圓陣平移和雙圓陣Toeplitz重構(gòu)方法估計(jì)二維相干信號(hào)，但損失了一個(gè)子陣的陣元。

本文在文獻(xiàn)[13]的基礎(chǔ)上，采用單一圓陣軸向虛擬平移，通過對(duì)平滑后的協(xié)方差矩陣去噪處理，利用波達(dá)方向矩陣法對(duì)俯仰角的穩(wěn)健性估計(jì)出信號(hào)的俯仰角；然后將平滑后的協(xié)方差矩陣與波束空間變換矩陣相乘得到波束域協(xié)方差矩陣，使UCA變?yōu)閷?dǎo)向矢量具備范德蒙結(jié)構(gòu)的虛擬ULA，最后利用求根MUSIC算法估計(jì)信號(hào)的方位角。所提方法無需復(fù)雜的二維譜峰搜索，方位角和俯仰角自動(dòng)配對(duì)。仿真表明該方法在低信噪比、信號(hào)高度相關(guān)和相干時(shí)仍能得到準(zhǔn)確的估計(jì)結(jié)果，與傳統(tǒng)UCA-RB-MUSIC和UCA-ESPRIT算法相比，計(jì)算量更小、分辨率更高，可以應(yīng)用在彈載、機(jī)載陣列或其他移動(dòng)陣列系統(tǒng)中。

1 陣列結(jié)構(gòu)和信號(hào)模型

如圖 1所示，假設(shè)個(gè)各向同性的陣元、均勻分布在半徑為的圓周上，個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)、窄帶、波長(zhǎng)為的相干信號(hào)入射到該陣列。入射信號(hào)俯仰角∈[0,π]， 定義為入射方向與軸正向夾角；方位角∈[-π,π]， 定義為信號(hào)入射方向在平面的投影與軸正向夾角。在不考慮陣列誤差、通道不一致和互耦影響下，陣列接收數(shù)據(jù)矢量為

()=()+()

(1)

圖1 陣列結(jié)構(gòu)圖

2 基于波達(dá)方向矩陣的波束空間變換法

2.1 波達(dá)方向矩陣法

文獻(xiàn)[15]首次提出波達(dá)方向矩陣法，對(duì)于非相干信號(hào)源，基于和兩個(gè)平行線陣的數(shù)據(jù)接收矢量：

(2)

式中，′為線陣導(dǎo)向矢量，為陣列與陣列的相位差對(duì)角矩陣，該矩陣只與信號(hào)的俯仰角有關(guān)。′()的自協(xié)方差矩陣為

(3)

′()和′()的互協(xié)方差矩陣為

(4)

式中，=E[()()]，為單位矩陣。因?yàn)樵肼暿噶炕ゲ幌嚓P(guān)，互協(xié)方差矩陣中不含噪聲方差項(xiàng)。定義的信號(hào)部分為

0=-

(5)

(6)

然后通過與相乘構(gòu)造波達(dá)方向矩陣:

(7)

該文獻(xiàn)證明波達(dá)方向矩陣滿足如下關(guān)系：

=

(8)

即通過對(duì)波達(dá)方向矩陣特征分解得到特征值和特征向量，其中非零特征值對(duì)應(yīng)對(duì)角陣，非零特征值對(duì)應(yīng)的特征向量與導(dǎo)向矢量相等，利用此對(duì)等關(guān)系即可以估計(jì)得到俯仰角和方位角。

2.2 俯仰角估計(jì)

文獻(xiàn)[13]針對(duì)相干信號(hào)采用雙圓陣軸向平移，利用兩個(gè)子陣的自協(xié)方差矩陣和不含噪聲方差項(xiàng)的互協(xié)方差矩陣構(gòu)造波達(dá)方向矩陣，然后通過特征分解估計(jì)出俯仰角和方位角。其相位差矩陣為

(9)

式中，為兩個(gè)子陣間距，diag[·]表示對(duì)角化。其俯仰角具體求解為

(10)

式中，為特征分解的非零特征值(∈[1,…，])。但是在求解方位角時(shí)，由于∈[-,]，容易出現(xiàn)測(cè)向模糊，需要解模糊處理；此外，在對(duì)波達(dá)方向矩陣進(jìn)行特征分解時(shí)，特征向量并不唯一，需要進(jìn)行額外處理使特征矢量和導(dǎo)向矢量對(duì)應(yīng)相等；且在低信噪比時(shí)，波達(dá)方向矩陣法在求解方位角時(shí)對(duì)噪聲非常敏感，文獻(xiàn)[13]采用雙圓陣列，消除互協(xié)方差矩陣中的噪聲方差項(xiàng)，但是卻損失了一個(gè)子陣的陣元，陣元數(shù)較大。

圖2 陣列平移圖

則虛擬平移陣元接收數(shù)據(jù)矢量為

()()=()()+()

(11)

式中相位差矩陣如式(9)所示，則對(duì)應(yīng)的子陣自協(xié)方差矩陣為

()(())+

(12)

相鄰子陣間互協(xié)方差矩陣為

(+1)(())+

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

去噪后的互協(xié)方差矩陣為

(19)

2.3 方位角估計(jì)

(20)

(21)

由波束導(dǎo)向矢量可以看出，導(dǎo)向矢量的俯仰角和方位角已經(jīng)分離。在利用波達(dá)方向矩陣法求出俯仰角后，可以直接利用求根MUSIC算法估計(jì)出方位角信息[]，求根多項(xiàng)式為

()

下面給出本文方法的具體步驟：

步驟： 獲取陣列接收數(shù)據(jù)矢量()；

步驟： 采用虛擬平移，分別得到平移后的各個(gè)虛擬子陣數(shù)據(jù)接收矢量()()；

步驟： 對(duì)進(jìn)行特征分解得到噪聲子空間；

步驟： 根據(jù)式()，利用求根MUSIC算法估計(jì)方位角。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證所提方法的正確性、分析所提方法的優(yōu)缺點(diǎn)，分別做如下仿真實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)為驗(yàn)證本文方法對(duì)二維相干信號(hào)估計(jì)的有效性；實(shí)驗(yàn)為驗(yàn)證本文方法對(duì)高度相關(guān)信號(hào)的有效性，對(duì)比算法為文獻(xiàn)[]中的UCAESPRIT算法和UCARBMUSIC算法；實(shí)驗(yàn)為驗(yàn)證信號(hào)相干情況信噪比對(duì)本文方法的影響，對(duì)比算法為文獻(xiàn)[]中算法；實(shí)驗(yàn)為驗(yàn)證信號(hào)相干情況陣元數(shù)對(duì)本文方法的影響，對(duì)比算法為文獻(xiàn)[]中算法。

實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證本文方法對(duì)相干信號(hào)的有效性。假設(shè)個(gè)窄帶等功率相干信號(hào)分別從(°，°)、(°，°)、(°，°)、(°，°)入射到圖所示陣列。陣元數(shù)，各相鄰陣元間距.，為了減少波束空間變化中的殘差影響，取半徑*/(*π)。仿真的快拍數(shù)為，信噪比dB，獨(dú)立進(jìn)行次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)。仿真結(jié)果散點(diǎn)圖如圖所示，在個(gè)信號(hào)完全相干情況下，所提方法仍能夠準(zhǔn)確估計(jì)出目標(biāo)信號(hào)的二維角度信息，且誤差較小準(zhǔn)確性較高。

圖3 實(shí)驗(yàn)1估計(jì)結(jié)果散點(diǎn)圖

實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證本文方法對(duì)高度相關(guān)信號(hào)的有效性。假設(shè)個(gè)窄帶等功率相關(guān)信號(hào)分別從(°，°)、(°，°)、(°，°)、(°，°)入射到圖所示陣列，各信號(hào)相關(guān)系數(shù)均為.，，陣元間距、半徑和快拍數(shù)與實(shí)驗(yàn)相同。獨(dú)立進(jìn)行次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)，仿真得到不同信噪比下本文方法、文獻(xiàn)[]中UCAESPRIT算法和UCARBMUSIC算法的估計(jì)結(jié)果均方根誤差變化。均方根誤差定義為

()

式中，為蒙特卡羅次數(shù)，(,)為信號(hào)真實(shí)值，(,)為信號(hào)的第次估計(jì)值。

仿真結(jié)果如圖所示，UCAESPRIT算法估計(jì)性能較差，UCARBMUSIC性能最好，本文方法居中。分析原因主要是因?yàn)镸USIC算法用二維譜峰搜索帶來的巨大運(yùn)算量換取了較好的估計(jì)性能；而ESPRIT算法直接計(jì)算得到二維角度信息，運(yùn)算量小，估計(jì)性能差；本文方法存在多次特征分解，計(jì)算量居中，但是性能接近MUSIC算法。顯然計(jì)算復(fù)雜度和估計(jì)性能需要折中選擇，本文方法估計(jì)性能好且計(jì)算復(fù)雜度不高，可以滿足工程實(shí)際應(yīng)用。

圖4 實(shí)驗(yàn)2均方根誤差隨信噪比變化圖

實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證信噪比對(duì)本文方法的影響。假設(shè)個(gè)窄帶等功率相干信號(hào)分別從(°，°)、(°，°)、(°，°)、(°，°)入射到圖所示陣列。，陣元間距、半徑和快拍數(shù)與實(shí)驗(yàn)相同。信噪比從dB步長(zhǎng)為dB增加到dB，蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)次數(shù)為，仿真得到本文算法和文獻(xiàn)[]中算法的估計(jì)結(jié)果均方根誤差隨信噪比變化情況，如圖所示。從圖中可以看出，信噪比較高時(shí)，本文方法性能略低于文獻(xiàn)[]中算法；當(dāng)信噪比小于dB時(shí)本文方法性能高于文獻(xiàn)[]中算法，相比二維譜峰搜索帶來的巨大計(jì)算量，本文所提方法計(jì)算量較小實(shí)時(shí)性更高，且在低信噪比條件下估計(jì)性能更好。

圖5 實(shí)驗(yàn)3均方根誤差隨信噪比變化圖

實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證陣元數(shù)對(duì)本文方法的影響。假設(shè)個(gè)窄帶等功率信號(hào)分別從(°，°)、(°，°)、(°，°)、(°，°)入射到圖所示陣列。陣元間距、半徑和快拍數(shù)與實(shí)驗(yàn)相同，dB。陣元數(shù)從步長(zhǎng)為增加到，蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)次數(shù)為，仿真得到本文算法和文獻(xiàn)[]中算法的估計(jì)結(jié)果均方根誤差隨陣元數(shù)變化情況，如圖所示。從圖中可以看到兩種算法性能無較大差別，個(gè)信號(hào)的均方根誤差都比較??；本文方法在陣元數(shù)小于性能開始逐漸變差，當(dāng)陣元數(shù)小于時(shí)已經(jīng)無法準(zhǔn)確估計(jì)目標(biāo)結(jié)果；且隨著陣元數(shù)增加，本文所提方法的估計(jì)結(jié)果均方根誤差并非嚴(yán)格單調(diào)，這是因?yàn)殛囋獢?shù)的奇偶性實(shí)際上對(duì)波束空間變換的估計(jì)結(jié)果是有一定影響的[]。但是文獻(xiàn)[]采用的是雙圓陣，損失了一個(gè)子陣的陣元，實(shí)際陣元數(shù)是本文方法的兩倍，所需陣元數(shù)是比較大的。但是本文方法無子陣列的損失，在陣元數(shù)大于時(shí)，分辨性較好，可以滿足實(shí)際工程應(yīng)用需求。

圖 6 實(shí)驗(yàn)4均方根誤差隨陣元數(shù)變化圖

4 結(jié)束語(yǔ)

本文通過均勻圓陣的軸向平移，利用波達(dá)方向矩陣法對(duì)俯仰角估計(jì)的穩(wěn)健性，通過去噪處理后估計(jì)得到俯仰角信息；然后通過波束空間變換將導(dǎo)向矢量中方位角和俯仰角分離，使圓陣導(dǎo)向矢量具備范德蒙結(jié)構(gòu)，最后利用求根MUSIC算法估計(jì)得到方位角。該方法無需復(fù)雜的二維譜峰搜索，俯仰角和方位角自動(dòng)配對(duì)，且不用損失一個(gè)子陣的陣元。通過仿真實(shí)驗(yàn)可以看出，該方法耗時(shí)較少，在低信噪比環(huán)境下仍能得到準(zhǔn)確結(jié)果，分辨率高，滿足現(xiàn)代雷達(dá)復(fù)雜移動(dòng)陣列場(chǎng)景下測(cè)向要求。但本文方法在陣元數(shù)較小時(shí)()性能顯著下降，如何將本文所提方法應(yīng)用到少陣元環(huán)境是后續(xù)工作重點(diǎn)。