空間引力波探測望遠(yuǎn)鏡光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計

李建聰，林宏安，羅佳雄，伍雁雄,3*，王 智

（1. 佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院 物理與光電工程學(xué)院, 廣東 佛山 528000；2. 中國科學(xué)院長春光學(xué)精密機械與物理研究所, 吉林 長春130033；3. 季華實驗室, 廣東 佛山 528000）

1 引 言

引力波的發(fā)現(xiàn)使得人類能夠探測到基于電磁波無法觀測到的宇觀尺度和天體現(xiàn)象，引力波的測量為探索宇宙的起源、形成、演化和理解引力宇宙提供了一個全新的觀測手段，借助引力波探測手段幫助人類重新認(rèn)識引力本質(zhì)、時空結(jié)構(gòu)、物質(zhì)起源和宇宙起源等基本科學(xué)問題[1]。2016 年初，地面激光干涉引力波天文臺(Laser Interferometer Gravitational-wave Observatory，LIGO)[2]直接探測到了由13 億光年外兩黑洞旋轉(zhuǎn)合并產(chǎn)生的引力波。由于受到低頻地脈震動，引力梯度噪聲以及地球曲率的限制，其探測最靈敏的頻段為10 Hz～104Hz，是目前小型黑洞和致密恒星合并的最佳探測器。為了能夠探測到0.1 mHz～1 Hz頻段的引力波信號[3-5]，需要構(gòu)建一個測量噪聲小于1 pm/的空間引力波天文臺，太極計劃、天琴計劃和激光干涉儀空間天線(Laser Interferometer Space Antenna，LISA)等空間引力波探測計劃，它們均使用3 個航天器構(gòu)成一個干涉臂長為百萬公里級別的等邊三角形空間激光干涉儀，且每個航天器帶有兩個望遠(yuǎn)鏡[6-9]。由于在空間環(huán)境中航天器容易受到非保守力的擾動，導(dǎo)致望遠(yuǎn)鏡接收到的光束發(fā)生抖動，其波前誤差與抖動光程(Tilt-To-Length，TTL)噪聲耦合，成為了探測系統(tǒng)中僅次于散粒噪聲的第二大噪聲源。為了滿足空間引力波的探測要求，光束抖動在±300 μrad 以內(nèi)時TTL 耦合噪聲不能超過25 pm/μrad[10-12]，這對望遠(yuǎn)鏡波前誤差的控制提出了較高的要求。

為了分析望遠(yuǎn)鏡波前誤差與TTL 噪聲耦合的關(guān)系，SASSO 將望遠(yuǎn)鏡出瞳處波前像差用Zernike 多項式表示，僅考慮離焦、像散、彗差、三葉草以及球差，通過LPF(LISA Path Finder)信號解析計算指向抖動和低階像差耦合的關(guān)系，指出望遠(yuǎn)鏡的波前誤差RMS 值要小于λ/65 才能滿足探測要求[13]。ZHAO Y 用前25 項Fringe Zernike多項式擬合望遠(yuǎn)鏡出瞳處的波前，將像差的擬合級數(shù)從初級提升到了三級，分析了不同波前誤差對TTL 噪聲的影響。并得出以下結(jié)論：在LPF 信號解析計算下，波前誤差RMS 值小于λ/50 時才能滿足探測要求[14-15]。針對空間引力波探測，國內(nèi)根據(jù)空間太極計劃任務(wù)需求，對望遠(yuǎn)鏡的功能及技術(shù)要求進行了分析[16-17]：陳勝楠設(shè)計了一個波前誤差RMS 值優(yōu)于0.005λ 的離軸四反望遠(yuǎn)鏡[18]；ZHAO Y 構(gòu)建了一個P-V 值為0.014λ 的望遠(yuǎn)鏡，但由于加工裝調(diào)等誤差的影響，實際的波前誤差RMS 值已惡化為0.071λ[15]，TTL 耦合噪聲超過25 pm/μrad。當(dāng)前關(guān)于空間引力波探測望遠(yuǎn)鏡的設(shè)計，尚未有針對望遠(yuǎn)鏡波前誤差對TTL 噪聲的影響確定光學(xué)像差的控制邊界的研究，也沒有以此為指導(dǎo)設(shè)計空間引力波探測望遠(yuǎn)鏡光學(xué)系統(tǒng)。

為研究空間引力波探測望遠(yuǎn)鏡出瞳處波前誤差對TTL 噪聲的耦合機理及像差控制要求，本文基于高斯光束和平頂光束干涉原理建立TTL 噪聲的光學(xué)模型?；贚PF 信號分析了不同光學(xué)像差對TTL 噪聲的貢獻程度；采用蒙特卡洛算法研究不同數(shù)值波前誤差下，低階像差占比對TTL 耦合噪聲的影響，由此確定望遠(yuǎn)鏡光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計時低階像差占比與總波前誤差的控制要求。在此基礎(chǔ)上，設(shè)計了一種望遠(yuǎn)鏡波前誤差滿足TTL 耦合噪聲低于25 pm/μrad 控制要求的空間引力波探測望遠(yuǎn)鏡光學(xué)系統(tǒng)。

2 波前誤差與TTL 噪聲耦合模型

2.1 平頂光束與高斯光束的干涉原理

如圖1 所示，望遠(yuǎn)鏡將遠(yuǎn)場波前截斷為平頂光束，與高斯光束疊加傳輸，通過成像系統(tǒng)在四象限探測器（QPD）上進行干涉。

圖1 空間激光干涉儀望遠(yuǎn)鏡光學(xué)系統(tǒng)Fig. 1 Telescope optical system of space laser interferometer

由于望遠(yuǎn)鏡光學(xué)系統(tǒng)存在波前誤差，平頂光束和高斯光束受加工和裝調(diào)等誤差影響，傳輸后相位已發(fā)生畸變。在目前的理論分析中[13-14]，通常采用復(fù)振幅來計算相位信息，并且為了簡化后面的計算，假設(shè)平頂光束Eflat和高斯光束Egauss兩個干涉光束的中心重合，并將干涉中心設(shè)置為圖2(彩圖見期刊電子版)所示的坐標(biāo)原點O，則復(fù)振幅表示為：

圖2 干涉光束與四象限探測器的相對位置Fig. 2 The relative position of the interference beam and the four-quadrant detector

式中(r,θ)是 探測器上面的極坐標(biāo)，W(r,θ)表示包括傾斜在內(nèi)的總波前誤差， ω(z)是探測器上的光斑大小。

對于LPF 信號，通過計算式(1)的幅角，便可以得到干涉光束的相位差 φLPF。由于四象限探測器存在狹縫，會導(dǎo)致部分復(fù)振幅信息丟失，故需要減去丟失部分的復(fù)振幅。四象限探測器的狹縫寬度是微米級別的，本文將狹縫寬度和干涉圓光斑交疊部分的形狀視為矩形，通過笛卡爾坐標(biāo)計算丟失部分的復(fù)振幅。φLPF的計算可表示為：

式中an為 式(1)近似計算的結(jié)果，sn為丟失部分的復(fù)振幅：

其中：L為四象限探測器溝道的狹縫寬度；干涉圓光斑中心O偏離探測器中心的距離為 εr，偏離豎直方向和水平方向的狹縫長度分別為εx和εy；Dx1、Dx2和Dy1、Dy2為干涉圓斑與探測器正交的兩條狹縫相交的弦長。

2.2 波前誤差與TTL 噪聲的耦合

Zernike 多項式由于在圓域上具有正交性，故其在描述圖像時具有最少的信息冗余度，并且與光學(xué)設(shè)計中的Seidel 像差相對應(yīng)，所以在圓瞳孔徑上常作為正交基進行波前重構(gòu)，其基本形式為：

為了精確描述光學(xué)系統(tǒng)的制造和調(diào)整誤差，采用Fringe Zernike 多項式的前25 項擬合望遠(yuǎn)鏡波前誤差。除了徑向?qū)ΨQ的離焦項及3 個球差項外，可以將其它相同像差的余弦項和正弦項進行合并，獲得這些像差的矢量形式，以此用一個公式表示對應(yīng)像差的大小和方向。如圖3(彩圖見期刊電子版)所示，為了獲得傾斜像差矢量，可以聯(lián)立余弦項(x方向)和正弦項(y方向)的傾斜像差項，其矢量形式為：

圖3 傾斜像差余弦項與正弦項合并。（a）豎直傾斜項；（b）水平傾斜項；（c）合并后的傾斜項Fig. 3 Combined cosine and sine terms of the tilt aberration. (a) Vertical tilt aberration; (b) horizontal tilt aberration; (c) combined tilt aberration

式中，ai(i=2, 3)是組合前的像差系數(shù)，和 θTI分別表示合并后像差的大小和方向角。極坐標(biāo)系下的完全正交Zernike 多項式Zj(ρ,θ)如表1 所示。

表1 由Fringe Zernike 多項式的前25 項組成的14 個Zernike 像差Tab.1 The fourteen Zernike aberrations consist of the first 25 terms of Fringe Zernike polynomials

用Fringe Zernike 多項式擬合的波前誤差W(ρ,θ)以 及RMS 值 σW表示為：

本文旨在分析光束抖動角 α和望遠(yuǎn)鏡波前誤差之間的耦合，因此在計算過程中忽略了與 α無關(guān)的項和高于二次的項，通過式(2)解析計算得到縱向路徑長度信號LPSLPF(φLPF/k)為：

v1為3 個彗差項和2 個三葉草項的像差向量的集合，v2為4 個球差項（包括離焦）、3 個像散項和初級四葉草項的像差向量的集合；系數(shù)矩陣M1和M2是歸一化半徑 ωr=ω/R， θTI和 θAber之間加減組合的余弦函數(shù)。

通過式(15) 可以分析望遠(yuǎn)鏡波前誤差中不同像差與TTL 噪聲的耦合，并以此獲得不同像差對TTL 噪聲的影響大小。

3 望遠(yuǎn)鏡波前誤差控制要求

3.1 光學(xué)像差與TTL 噪聲對應(yīng)關(guān)系分析

為確定望遠(yuǎn)鏡出瞳處總波前誤差以及不同像差的控制要求，本文通過前面解析計算得到的波前誤差與TTL 噪聲耦合關(guān)系式(15)，分析光學(xué)像差對TTL 噪聲的貢獻。為了便于分析，本文設(shè)置歸一化半徑 ωr=1， θTI和其它所有像差的方位角θAber設(shè)置為零，四象限探測器溝道狹縫的寬度為10 μm，通過加入Zernike 多項式的常數(shù)項獲得特定值的系數(shù)矩陣。為便于比較，將M1和M2矩陣中的元素分別除以它們的最大值，如圖4(彩圖見期刊電子版)所示。

圖4 歸一化的 M 1 和 M 2系數(shù)矩陣Fig. 4 Normalized coefficients of the M 1 and M 2 matrices

圖5 M 2矩陣中不同像差對TTL 噪聲的影響Fig. 5 The influence of different aberrations on TTL noise in the M 2 matrix

研究發(fā)現(xiàn)，不同級數(shù)的像差對TTL 噪聲的影響有所差異，本文將Fringe Zernike 多項式前25 項（除去傾斜項TI）表示的像差分為兩類，一類為DE、PA、PC、PS 和PTR 5 個初級像差的低階像差，其余的則為高階像差。在M1矩陣中，歸一化值超過0.9 的總共有7 個元素，其中5 個元素（圖4 中框選的區(qū)域）與低階像差相關(guān)，并且隨著像差級數(shù)的增加，對應(yīng)元素的歸一化值逐漸降低，這一情況在M2矩陣中表現(xiàn)得更為明顯。由此可知，相較于高階像差，低階像差對TTL 耦合噪聲的貢獻更大。

3.2 低階像差占比對TTL 噪聲的耦合影響

當(dāng)?shù)碗A像差在望遠(yuǎn)鏡出瞳處波前誤差中的比例不同時，對TTL 噪聲貢獻也有所不同。為分析低階像差項在波前誤差中的占比對TTL 噪聲的影響，本文在總的波前誤差RMS 值分別為λ/60、λ/50、λ/40、λ/30 和λ/20 時，分析低階像差占比分別為20%、30%、40%、50%、60%、70% 和100%時對TTL 噪聲的影響差異。利用蒙特卡洛算法分別隨機生成 1 萬個波前誤差樣本，并分別代入式(15) 進行計算。在計算過程中，不考慮和θAber， 用 α 代替 θTI，在α為±300 μrad 的條件下獲得的最大值，以考慮最壞情況是否滿足探測要求。分析結(jié)果如圖6(彩圖見期刊電子版)所示，為了更好地對比不同條件下的統(tǒng)計結(jié)果，本文將不同系統(tǒng)總的波前誤差、不同低階像差占比時的TTL 耦合噪聲平均值及不大于25 pm/μrad 的樣本比例，總結(jié)如表2 所示。從表2 可以看出，隨著低階像差在總波前誤差中的占比降低，波前誤差與TTL 噪聲耦合的平均值逐步減小。在σW=λ/20，低階像差占比為20%時， TTL 耦合噪聲小于25 pm/μrad的概率為88.1%；低階像差占比為100%時，滿足探測要求的概率僅為5.36%。另外，隨著望遠(yuǎn)鏡波前誤差降低，對低階像差占比的要求逐漸放寬，從 σW=λ/30，低階像差占比20%，變?yōu)棣襑=λ/60，低階像差占比60%。

圖6 低階像差在不同占比下對TTL 噪聲的影響Fig. 6 The effect of low-order aberration on TTL noise under different proportions

表2 不同占比低階像差下TTL 耦合噪聲平均值及耦合噪聲不超過2 5 pm/μrad 的概率統(tǒng)計Tab.2 Average value of TTL coupling noise and probability statistics for TTL coupling noise not exceeding 25pm/μrad under different proportions of low-order aberrations

4 設(shè)計結(jié)果與分析

空間引力波探測望遠(yuǎn)鏡光學(xué)系統(tǒng)除了需要滿足衍射極限的成像質(zhì)量外，更為重要的是系統(tǒng)波前誤差與TTL 噪聲耦合要滿足探測要求。表3 給出了典型空間引力波探測望遠(yuǎn)鏡光學(xué)系統(tǒng)的主要設(shè)計指標(biāo)，其中TTL 耦合噪聲不大于25 pm/μrad。

表3 空間望遠(yuǎn)系統(tǒng)指標(biāo)Tab.3 Indicators of space telescope system

本文選擇離軸四反無焦光學(xué)系統(tǒng)初始結(jié)構(gòu)進行設(shè)計與優(yōu)化。根據(jù)系統(tǒng)波前誤差對TTL 噪聲的影響機理與仿真分析結(jié)果，總的系統(tǒng)波前誤差越小，TTL 耦合噪聲越小；同時，隨著低階像差占比的降低，總的系統(tǒng)波前誤差要求可以降低。為確保TTL 耦合噪聲不超過25 pm/μrad，一方面考慮總的系統(tǒng)波前誤差不宜過小，以減小后續(xù)加工制造的難度；另一方面考慮到低階像差的占比也不宜過低，增加高階像差會導(dǎo)致加工制造的公差靈敏度變高。經(jīng)過平衡與設(shè)計，最終控制望遠(yuǎn)鏡總的波前誤差不超過λ/50 以及低階像差占比50%作為望遠(yuǎn)鏡像差的控制要求，對望遠(yuǎn)鏡光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計進行結(jié)構(gòu)調(diào)整，平衡與優(yōu)化總的波前誤差以及低階像差占比。

研究發(fā)現(xiàn)，對次鏡引入偶次非球面項有利于調(diào)控低階像差的占比，因此設(shè)計中將次鏡設(shè)置為高階偶次非球面。為避免更高階非球面項引起加工制造難度大的問題，控制非球面項最高不超過12 次項。設(shè)計完成的光學(xué)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖7 所示。望遠(yuǎn)鏡各反射鏡設(shè)計參數(shù)如表4 所示，主鏡為雙曲面，次鏡的偶次非球面高階項系數(shù)如表5 所示，三鏡和四鏡為球面。圖8(a)(彩圖見期刊電子版)為望遠(yuǎn)鏡出瞳處的波前圖，可知，其總的波前誤差RMS 值為0.019 08λ，低階像差占比為50%，由Fringe Zernike 多項式擬合的幅值大小(Mag) 和方向角(Ori) 如表6 所示。圖8(b)(彩圖見期刊電子版)為波前誤差與TTL 噪聲耦合的結(jié)果，在±300 μrad 以內(nèi)，耦合系數(shù)的最大值為8.25 pm/μrad，遠(yuǎn)低于指標(biāo)要求的25 pm/μrad，滿足空間引力波的探測需求。

圖7 優(yōu)化后的望遠(yuǎn)鏡光學(xué)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig. 7 Optimized structure of the telescope optical system

表4 優(yōu)化后望遠(yuǎn)鏡光學(xué)系統(tǒng)的設(shè)計參數(shù)Tab.4 Optimized design parameters of the telescope optical system

表5 次鏡偶次非球面的高階項系數(shù)Tab.5 High-order term coefficients of even-order aspheric surfaces of the secondary mirror

圖8 （a）優(yōu)化后望遠(yuǎn)鏡出瞳處波前；（b）TTL 耦合噪聲計算結(jié)果Fig. 8 (a) Wavefront at the exit pupil of the telescope after optimization; (b) calculation results of TTL coupled noise

表6 Zernike 多項式擬合望遠(yuǎn)鏡出瞳處波前的幅值和方向Tab.6 Amplitude and orientation of the wavefront at the exit pupil of the telescope based on Zernike polynomials

在本文設(shè)計中，通過控制望遠(yuǎn)鏡光學(xué)系統(tǒng)總的波前誤差以及調(diào)控低階像差的占比，實現(xiàn)了TTL 耦合噪聲控制要求。進一步地，考慮到加工、裝配等制造環(huán)節(jié)對波前誤差以及與TTL 噪聲耦合的變化能否滿足要求，以TTL 耦合噪聲作為評價因子，對望遠(yuǎn)鏡進行公差分析。望遠(yuǎn)鏡光學(xué)系統(tǒng)的公差主要包括加工公差和裝調(diào)公差，以主鏡作為裝調(diào)基準(zhǔn)，具體的公差分配表如表7 所示。為了檢驗公差分析結(jié)果是否滿足探測要求，通過提取200 個公差分析文件的波前誤差和Fringe Zernike 多項式幅值，通過式(15) 計算得到TTL 耦合噪聲，結(jié)果如圖9 所示。波前誤差在0.018 4λ～0.020 7λ 范圍內(nèi)，TTL 耦合噪聲的平均值為5.04 pm/μrad，最大值為15.50 pm/μrad。在典型公差條件下，望遠(yuǎn)鏡能夠滿足TTL 耦合噪聲不超過25 pm/μrad 的要求，具備可實現(xiàn)性。

圖9 蒙特卡洛公差分析下耦合系數(shù)統(tǒng)計結(jié)果Fig. 9 Statistical results of coupling coefficient with Monte Carlo tolerance analysis

表7 望遠(yuǎn)鏡公差分配Tab.7 Tolerance allocation of the telescope

5 結(jié) 論

目前，空間引力波探測望遠(yuǎn)鏡光學(xué)系統(tǒng)的設(shè)計處于起步與完善階段，在設(shè)計上有其特殊性，不僅需要滿足衍射極限的成像質(zhì)量，重點要實現(xiàn)光學(xué)像差與TTL 噪聲耦合滿足引力波的探測要求。本文建模分析了光學(xué)像差與TTL 耦合噪聲的影響機理，仿真分析了單種像差對TTL 耦合噪聲的影響程度。研究分析了低階像差在望遠(yuǎn)鏡波前誤差中的占比對TTL 噪聲的影響。在此基礎(chǔ)上，提出通過控制系統(tǒng)總的波前誤差以及低階像差占比的設(shè)計方法，滿足TTL 耦合噪聲的像差控制要求。

通過設(shè)計典型指標(biāo)下的空間引力波探測望遠(yuǎn)鏡光學(xué)系統(tǒng)，驗證了設(shè)計方法的有效性。實現(xiàn)望遠(yuǎn)鏡總的波前誤差RMS 值為0.019 08λ，低階像差占比為50%，在±300 μrad 以內(nèi)TTL 耦合噪聲的最大值為8.25 pm/μrad。公差分析結(jié)果表明，系統(tǒng)總的波前誤差RMS 值優(yōu)于0.020 7λ，TTL 耦合噪聲平均值為5.04 pm/μrad，最大值為15.50 pm/μrad，滿足空間引力波探測對TTL 耦合噪聲的要求，具備工程實現(xiàn)性。研究成果為空間引力波探測望遠(yuǎn)鏡光學(xué)系統(tǒng)的設(shè)計制造提供了一種有效的方法參考與借鑒。