隨機(jī)和認(rèn)知不確定性框架下的CFD模型確認(rèn)度量綜述

夏侯唐凡，陳江濤，邵志棟，吳曉軍，劉宇, 3,*

1. 電子科技大學(xué) 機(jī)械與電氣工程學(xué)院，成都 611731 2. 中國(guó)空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心 計(jì)算空氣動(dòng)力研究所，綿陽 621000 3. 電子科技大學(xué) 系統(tǒng)可靠性與安全性研究中心，成都 611731

計(jì)算流體力學(xué) (Computational Fluid Dynamics, CFD) 是用數(shù)值方法對(duì)流體流動(dòng)進(jìn)行模擬和分析的學(xué)科，是計(jì)算力學(xué)的一個(gè)重要分支。近年來，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)迅猛發(fā)展，計(jì)算流體力學(xué)數(shù)值模擬技術(shù)已經(jīng)大規(guī)模地應(yīng)用于航空航天、船舶、風(fēng)力、水利等領(lǐng)域的復(fù)雜流體分析、設(shè)備性能參數(shù)評(píng)估、新產(chǎn)品氣動(dòng)設(shè)計(jì)與優(yōu)化中。由于CFD技術(shù)成本低、周期短、能提供真實(shí)試驗(yàn)無法模擬的條件等優(yōu)勢(shì)，為復(fù)雜產(chǎn)品如：飛行器、風(fēng)力機(jī)、透平機(jī)械等的氣動(dòng)設(shè)計(jì)帶來一場(chǎng)新的革命。例如，美國(guó)Boeing公司在波音787客機(jī)研制中廣泛地采用了CFD數(shù)值模擬技術(shù)，包括：高速機(jī)翼設(shè)計(jì)、發(fā)動(dòng)機(jī)短艙設(shè)計(jì)、翼尖小翼設(shè)計(jì)等，其所用風(fēng)洞試驗(yàn)時(shí)間相比波音777和波音767分別減少了30%和55%，大幅減少了風(fēng)洞試驗(yàn)成本。

理論上，CFD模擬結(jié)果應(yīng)與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，對(duì)模擬結(jié)果加以確認(rèn)，即：模型確認(rèn) (Model Validation)，才能增加設(shè)計(jì)人員對(duì)CFD模擬結(jié)果的認(rèn)可度。然而，一方面，真實(shí)試驗(yàn)由于試驗(yàn)條件、幾何尺寸、邊界條件等不同，導(dǎo)致試驗(yàn)結(jié)果存在一定波動(dòng)性與隨機(jī)性；另一方面，CFD模擬中也存在著大量的不確定性，包括：模型參數(shù)、數(shù)值離散、模型形式和模型預(yù)測(cè)偏差等不確定性，這些不確定性嚴(yán)重影響了CFD模擬結(jié)果的可信度。傳統(tǒng)的CFD模擬技術(shù)都是在確定性的數(shù)學(xué)模型、物理參數(shù)、邊界條件下進(jìn)行數(shù)值模擬的。顯然，用確定性模擬結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比是不合理的。采用確定性CFD模擬結(jié)果對(duì)的產(chǎn)品開展研制將造成潛在的失效風(fēng)險(xiǎn)。例如，NASA在超高速飛行器X43.A的試驗(yàn)失敗后進(jìn)行了氣動(dòng)方面的分析，得出的結(jié)論是由于氣動(dòng)設(shè)計(jì)對(duì)不確定性因素模擬不足使得設(shè)計(jì)的魯棒性不足，導(dǎo)致控制系統(tǒng)過高估計(jì)了設(shè)計(jì)冗余，進(jìn)而引發(fā)了試驗(yàn)失敗。因此，CFD模擬技術(shù)的模型確認(rèn)中必須全面考慮模擬過程所面臨的各種不確定性以及這些不確定性對(duì)系統(tǒng)輸出響應(yīng)的影響。

一般而言，根據(jù)不確定性的屬性不同，可以將不確定性分為隨機(jī)不確定性 (也稱固有不確定性或客觀不確定性) (Aleatory Uncertainty)和認(rèn)知不確定性 (Epistemic Uncertainty)。前者表示物理現(xiàn)象中存在的固有隨機(jī)性，它無法通過增加樣本控制或減小這類隨機(jī)性；后者則是由于人們主觀認(rèn)識(shí)不足、知識(shí)與數(shù)據(jù)的缺乏而導(dǎo)致無法精確地構(gòu)建物理模型，或是不能對(duì)某些因素/參數(shù)的不確定度用精確的概率分布進(jìn)行準(zhǔn)確描述。通常情況下，隨機(jī)不確定性可用概率分布或隨機(jī)場(chǎng)表征，而認(rèn)知不確定性可用概率方法 (如：貝葉斯理論) 或非概率方法 (如：區(qū)間理論、D-S證據(jù)理論、概率盒(Probability-Box, P-Box) 理論、凸集模型、模糊理論等) 表征。當(dāng)隨機(jī)和認(rèn)知這2類不確定性共存時(shí)，被稱為混合不確定性。CFD模擬技術(shù)中，既存在模型參數(shù)或邊界條件的固有不確定性，也存在由于真實(shí)流體與物理模型不同、模型參數(shù)估計(jì)不準(zhǔn)確、模型數(shù)值離散精度不夠等帶來的認(rèn)知不確定性。

不確定性下的CFD模擬除了量化和分析所面臨的各種不確定性外，還要闡明各種不確定性如何影響系統(tǒng)的輸出響應(yīng)，即不確定性傳播問題。以往的不確定性下的CFD模擬都是在隨機(jī)不確定性下通過隨機(jī)采樣或微擾動(dòng)技術(shù)等方法與確定性的CFD模擬相結(jié)合實(shí)現(xiàn)的。近年來，基于譜分析的CFD模擬大量應(yīng)用在隨機(jī)不確定性下的CFD模擬中。其中，基于多項(xiàng)式混沌方法(Polynomial Chaos Expansion)的CFD模擬被廣泛研究。Xiu和Karniadakis提出廣義多項(xiàng)式混沌方法，并將此方法應(yīng)用于隨機(jī)不可壓槽道流動(dòng)與方柱繞流問題。Knio和Maitre用嵌入式多項(xiàng)式混沌法(Intrusive Polynomial Chaos Expansion)研究了翼型的不可壓縮繞流問題。王曉東和康順介紹了多項(xiàng)式混沌展開式與流體力學(xué)方程的耦合過程，并采用此方法研究頂蓋驅(qū)動(dòng)的層流方腔流動(dòng)。然而，認(rèn)知不確定性下的CFD模擬卻鮮有研究，其主要難點(diǎn)有：① 認(rèn)知不確定性和隨機(jī)不確定性不同，無法用蒙特卡洛采樣的方式處理；② 認(rèn)知不確定性傳播方式與隨機(jī)不確定性傳播方式有著本質(zhì)區(qū)別，一般需要采用優(yōu)化方式得到系統(tǒng)響應(yīng)輸出的邊界。

模型確認(rèn)度量(Model Validation Metric)是模型確認(rèn)過程中對(duì)模型可信度定量評(píng)價(jià)的方法。模型確認(rèn)度量方法在CFD模型確認(rèn)過程中的作用如圖1所示。利用試驗(yàn)數(shù)據(jù)修正后的CFD模型的模擬結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比并用模型確認(rèn)度量方法進(jìn)行評(píng)價(jià)。當(dāng)不滿足應(yīng)用要求時(shí)，對(duì)CFD模型進(jìn)行改進(jìn)或重選，直到模型滿足要求為止。

圖1 CFD模型確認(rèn)框架Fig.1 Model validation framework of CFD

根據(jù)系統(tǒng)響應(yīng)輸出的分散性特征，模型確認(rèn)度量分為：確定性下模型確認(rèn)度量方法和不確定性下的模型確認(rèn)度量方法。傳統(tǒng)的確定性模型確認(rèn)度量方法忽略了數(shù)值模型和真實(shí)試驗(yàn)數(shù)據(jù)中潛在的各種不確定性，如：模型參數(shù)不確定性、試驗(yàn)測(cè)量不確定性、觀測(cè)數(shù)據(jù)不足以及模型輸入?yún)?shù)與試驗(yàn)值不一一對(duì)應(yīng)的現(xiàn)象。不確定性下的模型確認(rèn)度量方法則是需要全面考慮模型和真實(shí)試驗(yàn)數(shù)據(jù)中可能存在的不確定性，進(jìn)而對(duì)比模型結(jié)果的統(tǒng)計(jì)分布與真實(shí)試驗(yàn)數(shù)據(jù)結(jié)果分布的一致程度。

不確定性下的模型確認(rèn)度量方法主要包括隨機(jī)不確定性框架下的模型確認(rèn)度量方法和認(rèn)知不確定性框架下的模型確認(rèn)度量方法。本文以飛行器翼型繞流的CFD數(shù)值模擬為研究背景，主要介紹CFD模擬中面臨的各種不確定性因素，探討傳統(tǒng)的隨機(jī)不確定性下模型確認(rèn)度量方法在CFD技術(shù)中的應(yīng)用條件和適用范圍。著重介紹在認(rèn)知不確定性下的模型確認(rèn)度量方法，包括幾類重要的區(qū)間、概率盒下模型確認(rèn)度量方法。最后，通過NACA0012翼型繞流問題說明CFD技術(shù)中考隨機(jī)和認(rèn)知不確定性下的模型確認(rèn)度量方法的有效性。

1 CFD數(shù)值模擬中的不確定性

在飛行器翼型繞流問題中，CFD數(shù)值模擬的可信度很大程度上取決于數(shù)值仿真模型能否準(zhǔn)確地反映真實(shí)的流體運(yùn)動(dòng)過程。然而，由于真實(shí)物理過程的復(fù)雜性以及人們的認(rèn)知偏差，CFD數(shù)值仿真模型不可避免地存在隨機(jī)和認(rèn)知不確定性，主要有以下3方面來源：

1) 模型形式不確定性：這類不確定性屬于認(rèn)知不確定性，產(chǎn)生于認(rèn)識(shí)不充分或知識(shí)不完備情況下構(gòu)建的不準(zhǔn)確的物理模型，主要集中在針對(duì)湍流流場(chǎng)的求解上。湍流是一種高度復(fù)雜的三維非穩(wěn)態(tài)、有旋的不規(guī)則運(yùn)動(dòng)，其包含的物理參數(shù)隨時(shí)間與空間發(fā)生隨機(jī)變化。CFD求解湍流的方法之一就是引入湍流模型，然而，現(xiàn)實(shí)中存在十余種不同形式的湍流模型，多個(gè)湍流模型的選擇就不可避免地引入模型形式的不確定性。一般而言，湍流模型包括了基于Boussinesq假設(shè)的渦黏性模型和基于雷諾應(yīng)力輸運(yùn)方程的二階矩封閉模型。前者包括Spalart-Allmaras、-、-、SST等湍流模型，但這些模型均忽略了湍流場(chǎng)應(yīng)變的歷史效應(yīng)，且模型性能與具體翼型相關(guān)。后者將Navier-Stokes (N-S)方程右端項(xiàng)(生成項(xiàng)、擴(kuò)散項(xiàng)、耗散項(xiàng))用平均流動(dòng)的物理量和湍流的特征尺度表示，人為引入了各向同性等假設(shè)。CFD使用的湍流模型都引入了假設(shè)項(xiàng)，因此沒有任何一個(gè)模型能完全精確地模擬真實(shí)流體的運(yùn)動(dòng)。湍流模型各種假設(shè)項(xiàng)也從另一方面產(chǎn)生了模型形式的不確定性。然而，研究模型形式的不確定性計(jì)算量較大、處理方式復(fù)雜，相關(guān)的研究進(jìn)展還非常緩慢。現(xiàn)有處理模型形式不確定性的方法均考慮不同雷諾數(shù)來流，利用各種湍流模型展開研究，從而進(jìn)行模型選擇。

2) 模型參數(shù)的不確定性：這類不確定性既包含邊界條件、幾何尺寸等參數(shù)的隨機(jī)不確定性也包含數(shù)值模型，如：湍流模型、參數(shù)的認(rèn)知不確定性。首先，作為模型輸入?yún)?shù)的邊界條件，如：壓力、速度、流量、體積分?jǐn)?shù)、雷諾數(shù)、攻角等物理量時(shí)常因?yàn)闂l件限制而無法測(cè)量或測(cè)量誤差而造成隨機(jī)不確定性。另外，由于制造誤差、工藝波動(dòng)、翼型結(jié)冰等因素，無法用確定幾何描述真實(shí)翼型尺寸，從而出現(xiàn)幾何尺寸參數(shù)的隨機(jī)不確定性。另一方面，在數(shù)值模型中，模型參數(shù)存在著由于經(jīng)驗(yàn)不足造成的認(rèn)知不確定性。以湍流模型為例，Spalart-Allmaras模型中卡門常數(shù)的設(shè)定、-和SST模型中壁面普朗特?cái)?shù)的設(shè)定等均存在主觀性。不同的流動(dòng)特性影響著湍流模型參數(shù)的選取，不同的專家在設(shè)置這些參數(shù)時(shí)也是根據(jù)自身經(jīng)驗(yàn)設(shè)定，因此很難給出一個(gè)確切的參數(shù)取值。已有文獻(xiàn)集中于研究模型參數(shù)不確定性如何影響CFD模擬輸出的結(jié)果。例如，陳江濤等同時(shí)考慮了Spalart-Allmaras模型中的9個(gè)模型參數(shù)，通過Sobol指標(biāo)量化每個(gè)參數(shù)的不確定度對(duì)輸出不確定度的影響。王曉東和康順研究了流體黏性系數(shù)的不確定性對(duì)流場(chǎng)速度分布的影響，表明流體黏性系數(shù)對(duì)不確定性傳播具有阻滯作用。錢煒祺等研究了Spalart-Allmaras模型參數(shù)在不同工況下對(duì)某戰(zhàn)斗機(jī)升力系數(shù)和阻力系數(shù)的影響，結(jié)果表明不同工況下，湍流模型參數(shù)對(duì)CFD計(jì)算結(jié)果的影響規(guī)律不同。Erb和Hosder討論了3種常用的湍流模型，通過靈敏度分析研究了存在激波的情況下各個(gè)模型參數(shù)的不確定性對(duì)升力系數(shù)等響應(yīng)量的影響，并將結(jié)果與低速和跨聲速情況下的結(jié)果進(jìn)行了比較。

3) 模型數(shù)值離散不確定性：這類不確定性屬于認(rèn)知不確定性，產(chǎn)生于對(duì)控制方程及邊界條件的離散化。CFD數(shù)值求解分為2種方式：瞬態(tài)求解和穩(wěn)態(tài)求解。對(duì)于瞬態(tài)求解，時(shí)間離散的有限精度將導(dǎo)致數(shù)值解與仿真精確解之間的誤差。為了能夠準(zhǔn)確地捕捉流動(dòng)的各個(gè)尺度，采用的網(wǎng)格尺度必須與最小的Kolmogorov耗散尺度相當(dāng)，且計(jì)算域應(yīng)大于最大的含能渦尺度。事實(shí)上，通過該方法得到的三維總網(wǎng)格數(shù)太大、不現(xiàn)實(shí)，而當(dāng)網(wǎng)格密度不滿足條件時(shí)，就不可避免地帶來數(shù)值解與精確解之間的誤差，從而造成數(shù)值離散的不確定性。數(shù)值離散不確定性進(jìn)一步可以分為：截?cái)嗾`差和迭代誤差。所謂迭代誤差是指在同一套網(wǎng)格上迭代終止時(shí)數(shù)值計(jì)算所得出的解與離散方程解的偏差。截?cái)嗾`差則是指不同精細(xì)的網(wǎng)格所計(jì)算的數(shù)值解與真實(shí)解之間的誤差?，F(xiàn)有的處理和分析模型數(shù)值離散不確定性方法主要是Richardson外推法。Richardson外推法旨在利用數(shù)值解關(guān)于精確解的泰勒展開冪級(jí)數(shù)，得到網(wǎng)格收斂指數(shù)(Grid Convergence Index, GCI)，并利用GCI估計(jì)網(wǎng)格離散誤差的不確定度。趙訓(xùn)友等使用基于Richardson外推的GCI方法，研究了低雷諾數(shù)二維非對(duì)稱圓管繞流模型的升力系數(shù)和阻力系數(shù)，并給出它們的數(shù)值離散誤差。Xing和Stern比較了不同的GCI方法，提出了新的安全系數(shù)法，并將其應(yīng)用于船舶水動(dòng)力學(xué)。Eca和Hoekstra基于最小二乘估計(jì)改進(jìn)了原有的GCI方法，并用4個(gè)不同領(lǐng)域的工程案例驗(yàn)證了所提方法的優(yōu)良性能。

通常情況下，邊界條件、幾何尺寸等參數(shù)的隨機(jī)不確定性可用概率分布表征，而模型參數(shù)的認(rèn)知不確定性可用主觀概率方法 (如：貝葉斯理論) 或非概率方法 (如：區(qū)間理論、D-S證據(jù)理論、概率盒理論、模糊理論等) 表征。通過不確定性傳播方法，可以計(jì)算CFD系統(tǒng)輸出響應(yīng)的不確定性。由于CFD數(shù)值模擬的系統(tǒng)輸出帶有隨機(jī)和認(rèn)知不確定性，必須擴(kuò)展現(xiàn)有的模型確認(rèn)度量方法以適用于各種不確定性下的CFD模擬模型確認(rèn)問題。對(duì)于翼型氣動(dòng)CFD仿真問題，由于試驗(yàn)環(huán)境的變化，來流參數(shù)迎角、馬赫數(shù)等會(huì)發(fā)生隨機(jī)波動(dòng)而具有隨機(jī)不確定性。因此，使用隨機(jī)不確定性下的模型確認(rèn)度量方法進(jìn)行模型確認(rèn)更為合理。若進(jìn)一步需要考慮由于測(cè)量?jī)x器的精度問題帶來的來流參數(shù)的認(rèn)知不確定性，此時(shí)應(yīng)使用混合不確定性下的模型確認(rèn)度量方法進(jìn)行模型確認(rèn)。

2 隨機(jī)不確定性下的模型確認(rèn)度量方法

在CFD數(shù)值模擬中，模型確認(rèn)度量是模型選擇和模型可信度評(píng)估的重要依據(jù)，能為數(shù)值仿真的模擬結(jié)果與真實(shí)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的一致性提供定量評(píng)判指標(biāo)。僅當(dāng)模型確認(rèn)度量結(jié)果滿足應(yīng)用要求的CFD模型才能用于分析和設(shè)計(jì)；不滿足要求的模型則需要進(jìn)一步修正，甚至要對(duì)建模方法做較大改進(jìn)或重新選擇其他模型。模型確認(rèn)度量方法分為確定性模型確認(rèn)度量方法與不確定性模型確認(rèn)度量方法2類。傳統(tǒng)的確定性模型確認(rèn)度量方法使用和均方根誤差 (Root Mean Squared Error, RMSE)，忽略了數(shù)值仿真模型和真實(shí)觀測(cè)數(shù)據(jù)中潛在的各種不確定性，如：模型參數(shù)不確定性、試驗(yàn)測(cè)量不確定性、觀測(cè)數(shù)據(jù)不足等)以及模型輸入?yún)?shù)與試驗(yàn)值不一一對(duì)應(yīng)的現(xiàn)象。不確定性下的模型確認(rèn)度量方法則是需要全面考慮模型和真實(shí)試驗(yàn)數(shù)據(jù)中可能存在的不確定性，進(jìn)而對(duì)比模型結(jié)果的統(tǒng)計(jì)分布與真實(shí)試驗(yàn)數(shù)據(jù)結(jié)果分布的一致程度。以下將首先介紹不確定性下模型確認(rèn)度量方法應(yīng)具備的6個(gè)基本性質(zhì)。其次，介紹4種主流的不確定性模型確認(rèn)度量方法及其應(yīng)用條件和適用范圍。

模型確認(rèn)度量是對(duì)模型輸出響應(yīng)與試驗(yàn)觀測(cè)數(shù)據(jù)之間一致性的定量度量。Liu等提出模型確認(rèn)度量方法應(yīng)該具備以下6個(gè)基本性質(zhì)：

1) 模型確認(rèn)度量方法應(yīng)該是定量的方法且具有客觀性。對(duì)于給定的模型輸出響應(yīng)與試驗(yàn)觀測(cè)數(shù)據(jù)集，不同決策者應(yīng)該給出相同的模型確認(rèn)結(jié)果，與決策者主觀偏好無關(guān)。

2) 確定是否接受某模型的標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)該與模型確認(rèn)度量結(jié)果相獨(dú)立。

3) 模型確認(rèn)度量方法需要盡可能考慮各種不確定性源。

4) 模型確認(rèn)度量方法能夠提供與試驗(yàn)數(shù)據(jù)量相關(guān)的置信度。

5) 模型確認(rèn)度量方法應(yīng)能區(qū)分不確定性大小不同的模型；換句話說，如果模型中引入過多的不確定性，模型確認(rèn)度量結(jié)果不應(yīng)認(rèn)為該模型更好。

6) 確認(rèn)度量不僅能夠?qū)δＰ晚憫?yīng)和試驗(yàn)觀測(cè)進(jìn)行“單點(diǎn)”比較，也能將“多點(diǎn)”試驗(yàn)數(shù)據(jù)集成起來對(duì)模型的全局預(yù)測(cè)能力進(jìn)行評(píng)估。

這6個(gè)性質(zhì)已成為模型確認(rèn)度量方法優(yōu)劣判斷的基本準(zhǔn)則。一個(gè)模型確認(rèn)度量方法滿足上述性質(zhì)越多則越優(yōu)。下面將主要介紹4類主流的模型確認(rèn)度量方法。

在隨機(jī)不確定性框架下，模型確認(rèn)度量方法主要分為4種：① 經(jīng)典的假設(shè)檢驗(yàn)(Classical Hypothesis Testing)；② 貝葉斯因子(Bayes Factor)；③ 頻率度量(Frequentist’s Metric)；④ 面積度量(Area Metric)。前兩者屬于假設(shè)檢驗(yàn)的方法，能給出模型與真實(shí)試驗(yàn)數(shù)據(jù)是否一致的結(jié)論以及置信度，但不可避免第一類錯(cuò)誤(即“棄真”錯(cuò)誤)和第二類錯(cuò)誤(即“納偽”錯(cuò)誤)；后兩者是基于距離的方法，能在統(tǒng)計(jì)意義上給出仿真模型與真實(shí)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的偏離程度，而并非直接判斷仿真模型與真實(shí)試驗(yàn)數(shù)據(jù)是否一致。

經(jīng)典假設(shè)檢驗(yàn)方法利用試驗(yàn)數(shù)據(jù)構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，能夠以一定的置信度拒絕模型。它的特點(diǎn)是隨著試驗(yàn)數(shù)據(jù)量的增加，對(duì)于預(yù)測(cè)與試驗(yàn)結(jié)果偏離較大的模型，拒絕率會(huì)增加；而對(duì)于預(yù)測(cè)與試驗(yàn)結(jié)果吻合的模型，拒絕率幾乎不變，因此經(jīng)典的假設(shè)檢驗(yàn)有更高的機(jī)率拒絕偏差較大的模型，這對(duì)于試驗(yàn)數(shù)據(jù)量較多的工程問題(如：管道的應(yīng)力和應(yīng)變?cè)囼?yàn)等)比較適用。然而，當(dāng)可獲得的試驗(yàn)數(shù)據(jù)僅有一個(gè)(如：高超聲速飛行器試驗(yàn)等)，該方法不能分辨模型的優(yōu)劣，因?yàn)閱蝹€(gè)試驗(yàn)數(shù)據(jù)無法計(jì)算樣本方差，此時(shí)基于單個(gè)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的模型確認(rèn)結(jié)果可能不會(huì)拒絕預(yù)測(cè)結(jié)果偏差較大的模型。

與經(jīng)典的假設(shè)檢驗(yàn)相反，貝葉斯因子方法給出接受模型的置信度，其計(jì)算公式為

(1)

式中：(,)是備擇假設(shè)下均值和方差的先驗(yàn)概率密度函數(shù)，(,|data)是給定物理觀測(cè)值data的情況下均值和方差的后驗(yàn)概率密度函數(shù)。使用貝葉斯因子方法需要知道關(guān)于試驗(yàn)數(shù)據(jù)均值和方差的先驗(yàn)信息，因此該方法非常適用于含有大量歷史試驗(yàn)數(shù)據(jù)的工程應(yīng)用；若無先驗(yàn)信息可用，則人為設(shè)置無信息先驗(yàn)。貝葉斯因子方法的取值范圍為∈[0,+∞)。當(dāng)>1時(shí)，可以接受模型(反之則拒絕)。隨著試驗(yàn)數(shù)據(jù)量的增加，對(duì)于預(yù)測(cè)與試驗(yàn)結(jié)果吻合的模型，接受率會(huì)增加；對(duì)于預(yù)測(cè)與試驗(yàn)結(jié)果偏離較大的模型，接受率會(huì)降低。即使只有一個(gè)試驗(yàn)數(shù)據(jù)，貝葉斯因子方法也能分辨模型的優(yōu)劣，但當(dāng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)量很少時(shí)，貝葉斯因子方法對(duì)備擇假設(shè)的先驗(yàn)分布十分敏感，因此該方法對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)量較多的工程問題也是非常適用。

頻率度量方法通過測(cè)量模擬中響應(yīng)的平均值與試驗(yàn)的平均值之間的距離，量化模擬與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的一致性。頻率度量距離的范圍是[0,+∞)，距離越小，表明數(shù)值模擬與真實(shí)物理過程的一致程度越高。當(dāng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)缺乏時(shí)，該距離具有不確定性，可以通過置信區(qū)間來量化，置信區(qū)間可以表示為

(2)

面積度量使用響應(yīng)的累積分布函數(shù)(CDF)與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)之間的面積來量化模擬與真實(shí)物理試驗(yàn)的一致性，如圖2所示。2個(gè)分布之間的面積可以表示為

(3)

式中：()為響應(yīng)的累積分布函數(shù)，()為試驗(yàn)數(shù)據(jù)的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)。面積度量取值范圍是[0,+∞)，面積度量值越小，表明數(shù)值模擬

圖2 面積度量方法示意圖Fig.2 Illustration of the area metric

與真實(shí)物理過程的一致程度越高。隨著試驗(yàn)數(shù)據(jù)量的增加，面積度量的結(jié)果趨向于真實(shí)的面積值。當(dāng)模型參數(shù)不確定性增大時(shí)，面積度量的結(jié)果也會(huì)相應(yīng)增大。因此，面積度量能夠區(qū)分含有不同不確定度的模型。面積度量在模型確認(rèn)中的一個(gè)顯著優(yōu)勢(shì)是它能夠在多個(gè)確認(rèn)點(diǎn)整合稀疏的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，以評(píng)估模型在特定目標(biāo)區(qū)域的整體預(yù)測(cè)能力，因此，該方法適用于多個(gè)邊界條件下存在試驗(yàn)數(shù)據(jù)的工程問題(如：渦輪機(jī)葉片翼型的風(fēng)洞試驗(yàn)等)。然而在試驗(yàn)數(shù)據(jù)缺乏時(shí)，試驗(yàn)數(shù)據(jù)的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)與其真實(shí)分布存在差異，將導(dǎo)致面積度量的結(jié)果不準(zhǔn)確。

4類主流模型確認(rèn)度量方法的優(yōu)劣對(duì)比如表1所示。從表中可以看出，面積度量方法較其他3種方法滿足更多的基本特征，且由于其能區(qū)分不同不確定度的模型和全局評(píng)估能力，近年來受到了廣泛關(guān)注。現(xiàn)有的認(rèn)知不確定性下模型確認(rèn)度量方法也都是在面積度量方法上做出擴(kuò)展。

表1 4類主流模型確認(rèn)度量方法的優(yōu)劣對(duì)比

傳統(tǒng)的面積度量方法僅適用于一維或多維獨(dú)立的模型。工程中的模型往往是多維相關(guān)的，此時(shí)上述面積度量方法就不再適用了。所以，在面積度量方法的基礎(chǔ)上，Li等提出了基于概率積分轉(zhuǎn)換(Probability Integral Transformation, PIT)的指標(biāo)法用于解決相關(guān)多輸出情況下的模型確認(rèn)度量問題。趙亮和楊戰(zhàn)平通過構(gòu)造與試驗(yàn)觀測(cè)數(shù)據(jù)相關(guān)的協(xié)方差矩陣，提出一種基于面積度量的多響應(yīng)確認(rèn)度量方法，能夠量化各響應(yīng)數(shù)據(jù)間的相關(guān)性，并用熱傳導(dǎo)模型確認(rèn)挑戰(zhàn)問題驗(yàn)證了所提方法的有效性。趙錄峰等基于隨機(jī)變量的數(shù)字特征，構(gòu)建了由多輸出數(shù)學(xué)期望列陣與協(xié)方差矩陣組成的多輸出模型確認(rèn)混合矩指標(biāo)。PIT方法的優(yōu)點(diǎn)是在模型確認(rèn)時(shí)考慮了多個(gè)輸出的相關(guān)性，但PIT指標(biāo)法需要求解模型輸出的聯(lián)合累積分布函數(shù)，這在輸出維度很高時(shí)是很難準(zhǔn)確求得的。為了避免求解高維聯(lián)合累積分布函數(shù)的問題，胡嘉蕊和呂震宙將該主成分分析與面積度量相結(jié)合，構(gòu)造了一種易于計(jì)算、穩(wěn)定性高的模型確認(rèn)指標(biāo)，克服了傳統(tǒng)多輸出模型確認(rèn)度量方法中求解聯(lián)合累積分布函數(shù)的困難。張保強(qiáng)等引入馬氏距離對(duì)多響應(yīng)模型確認(rèn)問題進(jìn)行降維，將多響應(yīng)量的聯(lián)合累積分布函數(shù)轉(zhuǎn)化為單維的馬氏距離累積分布函數(shù)，大大降低了計(jì)算成本。Mahadevan和Rebba基于假設(shè)檢驗(yàn)對(duì)多響應(yīng)模型進(jìn)行確認(rèn)，提出了一種Box-Cox轉(zhuǎn)換方法簡(jiǎn)化了多維概率密度函數(shù)的計(jì)算與構(gòu)造。

3 認(rèn)知不確定性下的模型確認(rèn)度量方法

本節(jié)將介紹考慮數(shù)值模擬或試驗(yàn)數(shù)據(jù)存在認(rèn)知不確定性時(shí)，傳統(tǒng)面積度量方法的擴(kuò)展，包括區(qū)間和概率盒下的模型確認(rèn)度量方法。

3.1 區(qū)間變量下的面積度量方法

實(shí)際工程中，由于試驗(yàn)數(shù)據(jù)稀疏或不精確，往往難以獲得某個(gè)模型參數(shù)完整的統(tǒng)計(jì)信息，用區(qū)間變量描述模型參數(shù)的不確定性更為合理。肖釗等將區(qū)間變量轉(zhuǎn)化為均勻分布，利用均勻分布的累積分布函數(shù)量化了試驗(yàn)區(qū)間響應(yīng)與模擬區(qū)間響應(yīng)，并用2條累積分布函數(shù)之間的面積作為模型確認(rèn)度量，如圖3所示。模擬區(qū)間響應(yīng)可以通過求解如下優(yōu)化問題獲得：

(4)

式中：表示模型不確定性參數(shù)矢量，區(qū)間變量

圖3 基于區(qū)間變量的面積度量Fig.3 Interval-based area metric

的不確定傳播問題成為在輸入變量空間為情況下，求模擬響應(yīng)的區(qū)間值[,]的問題。試驗(yàn)區(qū)間響應(yīng)可以通過以下公式計(jì)算：

(5)

其中：min()和max()分別表示試驗(yàn)數(shù)據(jù)得最小值和最大值，為試驗(yàn)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，試驗(yàn)區(qū)間響應(yīng)表示為[,]。

由此，文獻(xiàn)[46]中的面積度量計(jì)算公式為

(6)

式中：()和()分別為模擬區(qū)間響應(yīng)、試驗(yàn)區(qū)間響應(yīng)的均勻分布累積分布函數(shù)。面積度量的取值范圍是[0,+∞]，越小表明數(shù)值模擬的結(jié)果越精確，如果數(shù)值模擬能夠完全反映真實(shí)的物理過程，則理論上為0。

3.2 考慮試驗(yàn)數(shù)據(jù)量的區(qū)間面積度量方法

(7)

(8)

圖4 3種情況下的面積度量Fig.4 Three typical situations of area metric

(9)

3.3 概率盒的面積度量方法1

當(dāng)同時(shí)存在隨機(jī)和認(rèn)知不確定性時(shí)，不確定性量通?？梢员硎緸楦怕屎校墨I(xiàn)[24]提出了一種用于比較概率盒的面積度量方法，如圖5深色陰影部分所示。該方法計(jì)算相同概率水平下試驗(yàn)樣本數(shù)據(jù)概率盒的不確定性區(qū)間與數(shù)值模擬結(jié)果概率盒的不確定性區(qū)間的差值的絕對(duì)值的最小值，并在概率空間上對(duì)該最小值進(jìn)行積分，即可得到數(shù)值模擬結(jié)果與真實(shí)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的偏離程度。當(dāng)面積度量=0時(shí)，不能得出模型形式不確定性為零的結(jié)論，只能說明沒有證據(jù)證明試驗(yàn)數(shù)據(jù)與模擬響應(yīng)的不一致。因此，單一的面積度量嚴(yán)重低估了模型形式不確定性。文獻(xiàn)[24]克服了這一缺點(diǎn)，將概率盒的面積度量由單一值擴(kuò)展到區(qū)間值。面積度量區(qū)間值的上下界定義為

(10)

圖5 概率盒的面積度量1Fig.5 First type of area metric under P-Box

(11)

式(11)表示當(dāng)為區(qū)間中任意值、為區(qū)間中任意值時(shí)，|-|的最小值和最大值。

3.4 概率盒的面積度量方法2

趙錄峰等提出了一種新的概率盒面積度量方法，如圖6所示。該方法首先計(jì)算模擬響應(yīng)與試驗(yàn)數(shù)據(jù)概率盒的上邊界之間的面積，再計(jì)算模擬響應(yīng)與試驗(yàn)數(shù)據(jù)概率盒的下邊界之間的面積，2個(gè)面積之和為概率盒的面積度量。面積度量的計(jì)算公式為

(12)

由圖6和式(12)可以推斷當(dāng)數(shù)值模型和真實(shí)物理模型完全一致時(shí)，模擬響應(yīng)概率盒的上、下邊界曲線將與試驗(yàn)數(shù)據(jù)概率盒的上、下邊界曲線重合，即面積度量值趨于零。如果數(shù)值模型和真實(shí)物理模型不一致且差異程度越大，那么模擬響應(yīng)概率盒的上、下邊界曲線將與試驗(yàn)數(shù)據(jù)概率盒的上、下邊界曲線差異越大，面積度量值也越大，反之亦然。因此，該度量方法可以客觀地評(píng)估數(shù)值模型描述真實(shí)物理模型的準(zhǔn)確程度。

圖6 概率盒的面積度量2Fig.6 Second type of area metric under the P-Box

3.5 概率盒的面積度量方法3

McKeand等提出了一種平均曲線法，極大簡(jiǎn)化了概率盒的面積度量計(jì)算，如圖7所示。該方法將數(shù)值模擬響應(yīng)的概率盒轉(zhuǎn)換為單個(gè)累積分布函數(shù)(即平均曲線)，然后比較數(shù)值模擬響應(yīng)的平均曲線與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)。面積度量定義為

(13)

求取概率盒的平均曲線的方法有很多，這里文獻(xiàn)[54]提出的2層嵌套式傳播算法，首先獲得概率盒的上、下邊界數(shù)據(jù)和，然后平均曲線的數(shù)據(jù)可以由式(14)獲得：

=05×(+)

(14)

圖7 概率盒的面積度量3Fig.7 Third type of area metric under P-Box

4 工程算例

4.1 NACA0012翼型繞流的模型確認(rèn)問題

將上述的模型確認(rèn)度量方法應(yīng)用于典型機(jī)翼空氣動(dòng)力學(xué)問題，可有效地評(píng)估這些方法的性能。本文研究的是二維可壓縮流動(dòng)下的NACA0012翼型繞流問題(如圖8所示)，模型邊界條件是迎角和馬赫數(shù)，模型輸出是升力系數(shù)。NACA0012翼型繞流問題的數(shù)值仿真模型使用ANSYS/FLUENT19.0進(jìn)行構(gòu)建。由于求解一次數(shù)值解的時(shí)間長(zhǎng)，不利于進(jìn)行不確定性的量化與傳播，故使用高斯過程(Gaussian Process, GP)模型代替FLUENT構(gòu)建的數(shù)值模型。

圖8 NACA0012翼型繞流網(wǎng)格劃分示意圖Fig.8 Illustration of flow meshing of NACA0012 airfoil

4.2 確定性模型確認(rèn)度量方法的結(jié)果

為研究確定性模型確認(rèn)度量方法的模型確認(rèn)錯(cuò)誤率，假設(shè)NACA0012翼型升力系數(shù)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)由式(15)獲得：

(15)

表2 確定性條件下預(yù)測(cè)模型的數(shù)學(xué)公式

在確定性度量的背景下，CFD數(shù)值模擬中不存在任何不確定性，因此模型1和模型2的迎角設(shè)為定值5°，模型1和模型2相應(yīng)的升力系數(shù)分別為0.620 9和0.571 1。使用確定性度量指標(biāo)RMSE進(jìn)行模型確認(rèn)。由于RMSE屬于確定性模型確認(rèn)度量，未考慮CFD仿真中的各種不確定性，因此模型確認(rèn)結(jié)果可能出錯(cuò)(即模型確認(rèn)結(jié)果表明模型2優(yōu)于模型1)。該算例使用式(15)生成1 000個(gè)試驗(yàn)數(shù)據(jù)，使用每個(gè)試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)模型1和模型2進(jìn)行模型確認(rèn)，計(jì)算得模型確認(rèn)的錯(cuò)誤率為35%。該算例表明使用確定性模型確認(rèn)度量方法對(duì)CFD模型進(jìn)行模型確認(rèn)將有35%的概率選擇錯(cuò)誤的模型。

4.3 隨機(jī)不確定性下模型確認(rèn)度量方法的結(jié)果

為了分析隨機(jī)不確定下模型確定度量的性質(zhì)，假設(shè)NACA0012翼型的試驗(yàn)數(shù)據(jù)通過式(15)獲得。其中，～(5,05)表示迎角服從正態(tài)分布，=05表示馬赫數(shù)真實(shí)值為0.5。此外，設(shè)計(jì)了2個(gè)預(yù)測(cè)模型，如表3所示。模型1與試驗(yàn)?zāi)Ｐ屯耆恢?，可認(rèn)為是正確的預(yù)測(cè)模型；模型2的馬赫數(shù)為0.3，代表錯(cuò)誤的預(yù)測(cè)模型。

表3 隨機(jī)不確定性下預(yù)測(cè)模型的數(shù)學(xué)公式

為了分析經(jīng)典假設(shè)檢驗(yàn)方法的性質(zhì)，我們?cè)谥眯哦葹?5%進(jìn)行1 000次假設(shè)檢驗(yàn)，以獲得模型的拒絕率。表4結(jié)果表明隨著試驗(yàn)數(shù)目的增加，模型1的拒絕率在7%上下波動(dòng)，而模型2的拒絕率顯著提高，這表明增加試驗(yàn)數(shù)據(jù)，有更大的幾率拒絕錯(cuò)誤的模型。當(dāng)試驗(yàn)數(shù)目為20時(shí)，模型2的拒絕率高達(dá)99.7%，表明接受錯(cuò)誤預(yù)測(cè)模型的概率僅為0.3%，且與確定性模型確認(rèn)度量RMSE的結(jié)果相比，錯(cuò)誤率顯著降低。此外，在相同的試驗(yàn)數(shù)目下，模型2比模型1的拒絕率更高，這表明經(jīng)典的假設(shè)檢驗(yàn)可以辨別模型的優(yōu)劣。

表4 模型拒絕率隨試驗(yàn)數(shù)目的變化

為了研究貝葉斯因子的性質(zhì)，假設(shè)升力系數(shù)均值的先驗(yàn)分布服從區(qū)間為[-,+]的均勻分布，標(biāo)準(zhǔn)差的先驗(yàn)分布服從區(qū)間為[05,2]的均勻分布，和分別表示預(yù)測(cè)模型升力系數(shù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。在相同的試驗(yàn)數(shù)目下計(jì)算1 000次貝葉斯因子的值，統(tǒng)計(jì)>1的次數(shù)，/1 000為模型的接受率。表5展示了隨著試驗(yàn)數(shù)目的增加，模型1的接受率增加，模型2的接受率降低，并且相同的試驗(yàn)數(shù)目下，模型1比模型2的接受率更高。這表明增加試驗(yàn)數(shù)據(jù)，有更大的幾率接受正確的模型，并且貝葉斯因子能夠辨別模型的優(yōu)劣。

表5 模型接受率隨試驗(yàn)數(shù)目的變化

為了研究頻率度量的性質(zhì)，在相同的試驗(yàn)數(shù)目下計(jì)算1 000次預(yù)測(cè)模型均值與試驗(yàn)?zāi)Ｐ途抵g估計(jì)誤差的95%置信區(qū)間，區(qū)間上下界為1 000次 的平均值。并研究隨著試驗(yàn)數(shù)目的增加，估計(jì)誤差的置信區(qū)間如何逼近真實(shí)誤差。模型1的模型形式與試驗(yàn)?zāi)Ｐ屯耆恢?，所以它們均值之間的真實(shí)誤差為0；模型2與試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷鸟R赫數(shù)不同，它們均值之間的真實(shí)誤差為0.06。圖9給出了估計(jì)誤差的95%置信區(qū)間隨著試驗(yàn)數(shù)目的變化趨勢(shì)，可以看出，隨著試驗(yàn)數(shù)目的增加，模型1和模型2的區(qū)間寬度變窄，并始終包絡(luò)各自的真實(shí)誤差。此外，模型2的估計(jì)誤差的區(qū)間始終在模型1之上，這表明頻率度量也能區(qū)分模型的好壞。

圖9 估計(jì)誤差的95%置信區(qū)間隨試驗(yàn)數(shù)目的變化Fig.9 95% confidence intervals of estimation error with the number of experimental data

為了研究面積度量的性質(zhì)，在相同試驗(yàn)數(shù)目下計(jì)算了1 000次面積度量值，并繪制了面積度量值的概率密度函數(shù)，如圖10所示。模型1和模型2的真實(shí)的面積度量值分別是0和0.06。隨著試驗(yàn)數(shù)目的增加，模型1的面積度量值的分布逐漸靠近其真實(shí)值0，但始終比0大(高估了模型偏差)。這是因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)分布函數(shù)與累積分布函數(shù)之間的面積始終大于0。隨著試驗(yàn)數(shù)目的增加，模型2的面積度量值的分布變窄并包絡(luò)其真實(shí)值0.06。此外，比較相同試驗(yàn)數(shù)目下模型1與模型2的面積度量值的分布，模型2面積度量值的分布位于模型1的右側(cè)，這表明面積度量能夠區(qū)分模型的好壞。

圖10 面積度量值的分布Fig.10 Distributions of area metrics

4.4 基于區(qū)間變量的面積度量結(jié)果

為了研究基于區(qū)間變量的面積度量的有效性，假設(shè)NACA0012翼型升力系數(shù)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)由式(15)獲得。迎角∈[3°,6°]為一區(qū)間變量，=05表示馬赫數(shù)的真實(shí)值為0.5。此外，設(shè)計(jì)了與該物理試驗(yàn)對(duì)應(yīng)的2個(gè)預(yù)測(cè)模型(即生成模擬響應(yīng)的模型)，如表6所示。

由表6可知，模型1與試驗(yàn)?zāi)Ｐ屯耆恢拢碚_的預(yù)測(cè)模型，因此模型1確認(rèn)結(jié)果的真實(shí)值為0；模型2的馬赫數(shù)為0.3，與試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷鸟R赫數(shù)不一致，代表不準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)模型，模型2確認(rèn)結(jié)果的真實(shí)值為0.044 4。模型1的確認(rèn)結(jié)果應(yīng)比模型2的確認(rèn)結(jié)果好。

表6 認(rèn)知不確定性下預(yù)測(cè)模型的數(shù)學(xué)公式

表7 基于區(qū)間變量的面積度量結(jié)果均值Table 7 Average area metric results by interval variables

4.5 考慮試驗(yàn)數(shù)據(jù)量的區(qū)間面積度量結(jié)果

假設(shè)NACA0012翼型升力系數(shù)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)由式(15)獲得，其中迎角～(5,05)具有隨機(jī)不確定性，=05表示馬赫數(shù)的真實(shí)值為0.5。生成2個(gè)預(yù)測(cè)模型，如表3所示。模型1與試驗(yàn)?zāi)Ｐ屯耆恢?，代表正確的預(yù)測(cè)模型，模型1確認(rèn)結(jié)果的真實(shí)值為0；模型2與試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷鸟R赫數(shù)不一致，模型2確認(rèn)結(jié)果的真實(shí)值為0.06。

如表8所示，相同試驗(yàn)數(shù)目下，模型1的確認(rèn)結(jié)果比模型2的確認(rèn)結(jié)果好，這表明區(qū)間面積度量能夠判斷模型的優(yōu)劣。如圖12和圖13所示，大多數(shù)傳統(tǒng)面積度量值落在相應(yīng)的區(qū)間面積度量所形成區(qū)間內(nèi)，這表明區(qū)間面積度量是對(duì)傳統(tǒng)面積度量的區(qū)間估計(jì)。對(duì)于模型1，區(qū)間面積度量的下界隨著試驗(yàn)數(shù)目的增加趨近與真實(shí)值0，但始終大于0，這是因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)分布函數(shù)與累積分布函數(shù)之間的面積始終大于0，這一結(jié)論與Liu等的結(jié)論一致。因此，區(qū)間面積度量在確認(rèn)正確的模型時(shí)會(huì)高估真實(shí)的模型偏差。對(duì)于模型2，真實(shí)的面積度量值0.06都落在相應(yīng)的區(qū)間面積度量所形成區(qū)間內(nèi)，這一結(jié)論能夠很好地應(yīng)用于工程中。因?yàn)樵诠こ虒?shí)際中，仿真模型總存在模型不足，用試驗(yàn)數(shù)據(jù)來確認(rèn)仿真模型的情形類似于這里介紹的確認(rèn)模型2(錯(cuò)誤的預(yù)測(cè)模型)的情形。因此，在工程中進(jìn)行隨機(jī)不確定性下的模型確認(rèn)時(shí)，建議采用區(qū)間面積度量方法，它能給出真實(shí)模型偏差的區(qū)間估計(jì)。值得說明的是，區(qū)間面積度量方法是對(duì)傳統(tǒng)面積度量的改進(jìn)，其認(rèn)識(shí)不確定性是由于對(duì)比的試驗(yàn)數(shù)據(jù)不足所造成的，而并非來源于仿真模型的參數(shù)。

表8 區(qū)間面積度量的模型確認(rèn)結(jié)果均值

圖11 Ne= 5時(shí)模型1的模型確認(rèn)Fig.11 Model validation of model 1 when Ne= 5

圖12 Ne= 5時(shí)區(qū)間面積度量與傳統(tǒng)面積度量的比較Fig.12 Comparison of interval-valued area metric and traditional area metric when Ne= 5

圖13 Ne= 20時(shí)區(qū)間面積度量與傳統(tǒng)面積度量的比較Fig.13 Comparison of interval-valued area metric and traditional area metric when Ne= 20

4.6 概率盒下面積度量結(jié)果

假設(shè)NACA0012翼型的試驗(yàn)數(shù)據(jù)由式(15)獲得，其中=05表示馬赫數(shù)的真實(shí)值為0.5， 迎角～([3,6],05)表示迎角服從標(biāo)準(zhǔn)差為0.5的正態(tài)分布，其均值未知，但在區(qū)間[3°,6°]內(nèi)，這是一個(gè)典型的概率盒變量。升力系數(shù)的概率盒可通過外層隨機(jī)內(nèi)層認(rèn)知的2層嵌套式傳播算法獲得。同時(shí)設(shè)置2個(gè)與試驗(yàn)?zāi)Ｐ蛯?duì)照的預(yù)測(cè)模型，如表9所示。模型1與試驗(yàn)?zāi)Ｐ屯耆恢拢碚_的預(yù)測(cè)模型，模型2與試驗(yàn)?zāi)Ｐ婉R赫數(shù)不同，代表錯(cuò)誤的預(yù)測(cè)模型。

表9 概率盒框架下預(yù)測(cè)模型的數(shù)學(xué)公式

概率盒的面積度量方法1給出試驗(yàn)概率盒與預(yù)測(cè)模型概率盒的區(qū)間面積度量，如果試驗(yàn)數(shù)目足夠多，如圖14所示，則模型1與試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷母怕屎型耆睾希鶕?jù)式(10)，其真實(shí)的區(qū)間為[0,0.36]；如圖15所示，模型2與試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷母怕屎胁糠种睾?，根?jù)式(10)，其真實(shí)區(qū)間為[0,0.40]。 概率盒的面積度量方法2計(jì)算的是試驗(yàn)與預(yù)測(cè)概率盒上界之間的面積與下界之間的面積之和，由圖14和圖15所示，模型1確認(rèn)結(jié)果的真實(shí)值為0，模型2確認(rèn)結(jié)果的真實(shí)值為0.99。概率盒的面積度量方法3以試驗(yàn)與預(yù)測(cè)概率盒平均曲線之間的面積作為度量，模型1與模型2確認(rèn)結(jié)果的真實(shí)值分別為0和0.05。在相同的試驗(yàn)數(shù)目下使用相同的概率盒的面積度量方法進(jìn)行1 000次 模型確認(rèn)，取其均值記錄于表10。

圖14 模型1與試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷母怕屎?試驗(yàn)數(shù)目足夠多)Fig.14 P-Boxes of model 1 and experiential model with enough experiential data

圖15 模型2與試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷母怕屎?試驗(yàn)數(shù)目足夠多)Fig.15 P-Boxes of model 2 and experiential model with enough experiential data

表10展示了3種概率盒的面積度量隨試驗(yàn)數(shù)目增加的變化結(jié)果。可以看出，對(duì)于同一方法、同種模型，隨著試驗(yàn)數(shù)目增加，概率盒的面積度量趨于真實(shí)值；對(duì)于同一方法、同一試驗(yàn)數(shù)，模型1的確認(rèn)結(jié)果均小于模型2的確認(rèn)結(jié)果，這表明3種概率盒的面積度量方法均能夠判斷模型的優(yōu)劣。再看同一模型、同一試驗(yàn)數(shù)下的3種不同的度量方法，可以看出方法3的度量值偏小，方法2的度量值偏大，而方法1的區(qū)間面積度量包含方法2與方法3的度量值，這表明概率盒的面積度量方法1能給出模型偏差的保守估計(jì)。因此，在工程中進(jìn)行混合不確定性下的模型確認(rèn)時(shí)，建議使用概率盒的面積度量方法1，因?yàn)樗芙o出模型偏差的保守估計(jì)。

表10 3種概率盒的面積度量結(jié)果Table 10 Validation results of three different P-Box area metrics

5 結(jié) 論

1) 分析了CFD數(shù)值模擬技術(shù)中存在的模型形式、模型參數(shù)和數(shù)值離散不確定性以及各種不確定性的屬性與表征方式。

2) 總結(jié)了單系統(tǒng)響應(yīng)和多相關(guān)系統(tǒng)響應(yīng)下主流的模型確認(rèn)度量方法，給出了隨機(jī)不確定性框架下模型確認(rèn)度量方法的應(yīng)用條件和適用范圍。

3) 總結(jié)了認(rèn)知不確定性框架下模型確認(rèn)度量方法，主要包括區(qū)間和概率盒下的模型確認(rèn)度量方法，并以NACA0012翼型繞流問題闡明了認(rèn)知不確定性框架下模型確認(rèn)度量方法的有效性。