自由演化量子態(tài)的一種在線估計(jì)算法

黃 吉，叢 爽，張 坤

(中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué) 信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院，安徽 合肥 230026)

0 引言

量子狀態(tài)估計(jì)(Quantum State Estimation，QSE)是獲取和處理用于重構(gòu)量子狀態(tài)的量子測(cè)量值的過程，狀態(tài)估計(jì)問題可以轉(zhuǎn)化為優(yōu)化問題，并通過數(shù)值方法解決[1]。QSE是量子態(tài)閉環(huán)反饋控制的基礎(chǔ)，旨在實(shí)現(xiàn)高精度的量子狀態(tài)控制。一個(gè)n量子位系統(tǒng)可以通過密度矩陣ρ∈Cd×d(d=2n)來完全描述，它是一個(gè)半正定且矩陣跡為1的厄米矩陣[2]。QSE最常用的方法是基于強(qiáng)測(cè)量(投影測(cè)量)[3]，但這會(huì)導(dǎo)致要估計(jì)的量子系統(tǒng)坍塌[4]，因此強(qiáng)測(cè)量被認(rèn)為不適合實(shí)時(shí)地進(jìn)行QSE。

弱測(cè)量為量子狀態(tài)估計(jì)提供了另一種選擇。當(dāng)測(cè)量對(duì)被測(cè)系統(tǒng)影響不大時(shí)，這種測(cè)量被稱為弱測(cè)量，連續(xù)弱測(cè)量(Continuous Weak Measurements，CWM)最早由Silberfarb等人提出[5]。與QSE需要指數(shù)級(jí)數(shù)量的同一密度矩陣ρ的全同復(fù)本不同，由于弱測(cè)量具有的不完全破壞特性[6]，CWM可以應(yīng)用于自由演化中的量子系統(tǒng)。因此，使用CWM在線測(cè)量不斷演化中的量子系統(tǒng)更加方便。

傳統(tǒng)的優(yōu)化算法是離線的，它們需要在每次迭代時(shí)遍歷整個(gè)數(shù)據(jù)集，因而不適合實(shí)時(shí)大量的數(shù)據(jù)處理。為此開發(fā)出了隨機(jī)優(yōu)化技術(shù)，每次迭代只需處理一小部分可用數(shù)據(jù)[7-8]。這些方法可以應(yīng)用于在線學(xué)習(xí)，例如跟蹤動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)。這也正是本文中采取的方法。

在線量子狀態(tài)估計(jì)方面，已有研究有用于估計(jì)不變量子系統(tǒng)的在線學(xué)習(xí)算法[9-10]，單量子比特系統(tǒng)的在線狀態(tài)估計(jì)方法[11]等，其中后者是通過CVX(即MATLAB的凸優(yōu)化工具箱)[12]來解決對(duì)于每一個(gè)弱測(cè)量的優(yōu)化問題。但是，CVX本質(zhì)上是一種離線優(yōu)化工具包，它通常僅限于中小型數(shù)據(jù)量的優(yōu)化。

本文旨在解決從連續(xù)弱測(cè)量中在線估計(jì)不斷演化的量子系統(tǒng)狀態(tài)問題。通過結(jié)合交替方向乘子法(Alternating Direction Method of Multipliers，ADMM)和在線鄰近梯度法(Online Proximal Gradient，OPG)，針對(duì)量子約束下演化中的量子狀態(tài)估計(jì)的優(yōu)化問題，提出一種新型在線量子態(tài)估計(jì)算法。ADMM是處理可分離目標(biāo)函數(shù)和結(jié)構(gòu)化正則項(xiàng)問題的有效工具，可以解決分布式和并行數(shù)值優(yōu)化問題[13]；OPG是一種典型的基于鄰近梯度法的在線優(yōu)化算法[14]，文獻(xiàn)[15]中介紹了結(jié)合這兩類方法的一種在線學(xué)習(xí)算法。本文提出的算法應(yīng)用于估計(jì)演化中量子系統(tǒng)的密度矩陣，并在1、2、3和4量子位系統(tǒng)中進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)。

1 開放量子系統(tǒng)連續(xù)弱測(cè)量模型

量子系統(tǒng)的在線估計(jì)過程如圖1所示，它由兩個(gè)步驟組成(符號(hào)q-1表示單位延遲運(yùn)算符)。第一步為連續(xù)弱測(cè)量過程，其包括：(1)在探測(cè)系統(tǒng)P和目標(biāo)系統(tǒng)S之間引入耦合關(guān)系，以形成一個(gè)耦合系統(tǒng)；(2)使用測(cè)量算符M在每個(gè)采樣時(shí)間進(jìn)行弱測(cè)量，從而獲得具有隨機(jī)噪聲的測(cè)量值y，其中包含真實(shí)密度矩陣ρ的信息。在線估計(jì)的第二步為在每個(gè)瞬間k同時(shí)重建量子態(tài)和測(cè)量噪聲，同時(shí)使用先前估計(jì)的值，從而形成跟蹤狀態(tài)演變的自適應(yīng)濾波器。本文提出的估計(jì)器的目標(biāo)是有效地在線估計(jì)動(dòng)態(tài)量子系統(tǒng)的狀態(tài)。

圖1 在線量子態(tài)估計(jì)過程

下面描述開放量子系統(tǒng)的演化模型。假設(shè)探測(cè)器P的初始狀態(tài)為，目標(biāo)系統(tǒng)S的初始狀態(tài)為，因此，對(duì)于耦合系統(tǒng)S?P，n量子 位開 放 系 統(tǒng) 的 演 化 耦 合 態(tài)可 以 表 示 為：其中?代表張量積；Δt是 較 短 的 作 用 時(shí) 間 間 隔；U(Δt)=exp(-iξΔt H/?)是 聯(lián)合演化算子，ξ表示系統(tǒng)S和P之間的相互作用強(qiáng)度，是普朗克常數(shù)(設(shè)置為等于1，對(duì)應(yīng)于時(shí)間標(biāo)度[16])，H=H0+uxHx代表系統(tǒng)的總哈密頓量(H0是自由哈密頓量，Hx是受控哈密頓量，ux是外部調(diào)節(jié)值)。通過推導(dǎo)弱測(cè)量前后系統(tǒng)S狀態(tài)之間的關(guān)系[17]，可以得到間接作用于二級(jí)量子系統(tǒng)的弱測(cè)量算子為：其中L?表示L的共軛轉(zhuǎn)置，L=ξσ是Lindblad相互作用算 子，σ表 示 泡 利 矩 陣，可 以 選 擇 為{σx，σy，σz，I}之一，并且是2×2的單位陣。弱測(cè)量算子m0(Δt)包含系統(tǒng)的總哈密頓量，因此弱測(cè)量過程捕捉了系統(tǒng)的演變。所以，基于m0(Δt)和m1(Δt)，對(duì)n量子位開放系統(tǒng)S，其演化算子Ai(Δt)∈Cd×d(i=1，2，…，2n)可以構(gòu)造為[18]：

由此得到n量子位開放系統(tǒng)S的離散演化方程：

其中k=1，2，…，N表示采樣時(shí)間。 方程(2)是量子系統(tǒng)連續(xù)微分方程[18]的一階近似形式其中符號(hào)∑代表量子系統(tǒng)與外部環(huán)境之間所有相互作用的總和。

通過觀察演化方程(2)，可以得到測(cè)量算子的離散演變方程如下[18]：

其中，對(duì)每個(gè)采樣時(shí)間k都有Mk∈Cd×d。

實(shí)際系統(tǒng)中的測(cè)量值是通過估計(jì)作用于量子態(tài)ρ的算子M獲得的，即y=tr(M?ρ)。為了直接估計(jì)最新的量子態(tài)ρk(文獻(xiàn)[5]中，要估計(jì)的狀態(tài)始終是初始狀態(tài)ρ0，而ρk是間接獲得的)，構(gòu)造了與實(shí)際系統(tǒng)輸出一致的測(cè)量關(guān)系[17]，可得到其測(cè)量序列如下：

其中，vec(X)表示將矩陣X按列向量排列，ei表示隨機(jī)測(cè)量噪聲，k-l+1是當(dāng)k≥1時(shí)測(cè)量窗口的起點(diǎn)，l為滑動(dòng)窗口的大小，tr(·)表示矩陣的跡，它是矩陣對(duì)角線數(shù)值的總和。

在實(shí)時(shí)系統(tǒng)操作期間，整個(gè)數(shù)據(jù)集不是預(yù)先可用的，而是以流方式獲取測(cè)量。本文提出的在線估計(jì)算法使用第k個(gè)測(cè)量yk以及先前的估計(jì)值來獲得，可以將其視為狀態(tài)演化ρk的在線跟蹤濾波器。

2 基于OPG-ADMM的量子態(tài)演化在線估計(jì)算法

2.1 OPG-ADMM

具有線性約束的可分離目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化問題為：

其中x∈Rn和z∈Rm是優(yōu)化變量，A∈Rp×n，B∈Rp×m，c∈Rp，f(x)和g(z)均是凸函數(shù)，χ和■都是閉合的凸集。

出于在線估計(jì)的目的，本文利用OPG-ADMM計(jì)算框架來解決文獻(xiàn)[15]中提出的問題(5)。該算法包括兩個(gè)步驟：

(1)對(duì)式(5)引入增廣拉格朗日函數(shù)：

其中λ∈Rp是拉格朗日乘子，α＞0是懲罰參數(shù)，懲罰項(xiàng)用來松弛收斂條件，并且使用完全平方來獲得增廣拉格朗日函數(shù)的完備形式。這樣，原始的優(yōu)化問題就被分成兩個(gè)關(guān)于f(x)和g(z)的單獨(dú)子優(yōu)化問題。

(2)利用OPG方法作為f(x)和g(z)優(yōu)化問題的更新規(guī)則，即對(duì)兩個(gè)子函數(shù)分別進(jìn)行線性化迭代并執(zhí)行鄰近梯度更新。

在第k個(gè)時(shí)刻，OPG-ADMM分別求解關(guān)于x和z上的兩個(gè)單獨(dú)子問題，然后更新拉格朗日乘子λ。迭代公式如下：

2.2 在線量子態(tài)估計(jì)

為了減輕在線處理的計(jì)算負(fù)擔(dān)，同時(shí)充分利用弱測(cè)量值，從而達(dá)到更高的估計(jì)精度，采用了包含多個(gè)測(cè)量值的滑動(dòng)窗口。需要注意的是，測(cè)量值的滑動(dòng)窗口是動(dòng)態(tài)的，并且包含最新的測(cè)量值：

其中，參數(shù)l是滑動(dòng)窗口的大小。當(dāng)獲得的測(cè)量值小于l時(shí)，窗口的大小等于系統(tǒng)演變的瞬時(shí)數(shù)，否則，窗口的大小將固定為l?；瑒?dòng)窗口的更新策略是先進(jìn)先出(FIFO），它允許將在線測(cè)量流合并到模型中，同時(shí)逐步刪除舊的測(cè)量值。當(dāng)滑動(dòng)窗口測(cè)量值飽和(即具有長(zhǎng)度l)時(shí)，該算法有望達(dá)到高估計(jì)精度，并隨后繼續(xù)跟蹤狀態(tài)演變。從測(cè)量序列式(4)可以直接看出，在給定窗口中測(cè)量值可以寫為bk=Akvec(ρk)+ek，其中：

在此設(shè)置中，bk用于估計(jì)ρk，特別地，當(dāng)獲得的測(cè)量值數(shù)大于或等于l時(shí)，Ak保持不變。

在線量子態(tài)估計(jì)問題可以表述為一系列凸優(yōu)化問題：

通過調(diào)用OPG-ADMM作為問題(13)的數(shù)值求解器，在線量子態(tài)估計(jì)問題可以分為兩個(gè)子問題。也就是，使用采樣矩陣Ak、測(cè)量值bk以及先前獲得的與估計(jì)時(shí)間k-1相關(guān)的估計(jì)值，估計(jì)出時(shí)間k處的密度矩陣和對(duì)應(yīng)于第k個(gè)測(cè)量窗口的噪聲。和的子問題分別按順序執(zhí)行，然后更新拉格朗日乘子參數(shù)。其中，參數(shù)k表示連續(xù)測(cè)量和算法估計(jì)更新的采樣時(shí)間，通過對(duì)式(13)執(zhí)行OPG-ADMM的單次迭代，來設(shè)計(jì)適合實(shí)現(xiàn)的在線迭代算法。對(duì)于采樣時(shí)刻k，算法的單次迭代如下：

其中ηk＞0是步長(zhǎng)參數(shù)，Pk0是鄰近參數(shù)。

在下文中，明確提供了解決兩個(gè)優(yōu)化問題的有效方法，用于更新(14a)、(14b)中的原始變量和，而λk的更新只需要按照(14c)，不再贅述。

其中，λmax是Ak的最大特征值，c是一個(gè)大于0的常數(shù)，本文實(shí)驗(yàn)中選取c=0.1。

根據(jù)式(9)來看，當(dāng)k≥l時(shí)，Ak≡(vec(Ml)，…，vec(M1))?是一個(gè)固定矩陣，因此，用于ηk的最大特征值只需要計(jì)算l次，l為滑動(dòng)窗口的大小。由于Pk使得(14a)中二次項(xiàng)抵消后，剩余的鄰近端項(xiàng)表示為觀 察 此 鄰 近 項(xiàng) 可 以 看 出，它要求新的估計(jì)值“接近”前一個(gè)估計(jì)值，使得本算法具有動(dòng)態(tài)跟蹤效果，滿足了實(shí)時(shí)在線估計(jì)的能力。

定義中間變量：

可以得到簡(jiǎn)化形式：

約束問題(18)是一個(gè)半正定規(guī)劃，可以使用內(nèi)點(diǎn)法解決，通過特征值分解，可以設(shè)計(jì)一個(gè)直接求解方法[19]。對(duì)厄米矩陣酉矩對(duì)角化其中U∈Cd×d是一個(gè)酉矩陣，是一個(gè)對(duì)角矩陣，其包含的所有特征值。此 時(shí)，問 題(18)的 最 優(yōu) 解其 中從 下式獲得[19]：

由于問題(19)的最優(yōu)解是對(duì)角矩陣，因此問題可以歸結(jié)為單純形約束的投影問題，可以在有限步長(zhǎng)（最多d=2n個(gè)步長(zhǎng)）內(nèi)有效計(jì)算。

在線量子態(tài)估計(jì)(OSEQ)的優(yōu)化算法總結(jié)如下(其中α、γ和τ是三個(gè)正常數(shù)，并由它們負(fù)責(zé)算法的參數(shù)調(diào)節(jié))：

① For k=0：N Do；

② Ak=Ak-1，ηk=ηk-1；

綜上所述，在方鉛礦磨礦浮選流程中，必須選擇合適的磨礦條件，確保適宜的礦漿電位，使礦物表面生成盡可能多的疏水性元素硫，同時(shí)，減少親水性物質(zhì)的生成，這樣才能保證較高的浮選回收率。

⑧ 由式(14c)更新λk；

3 仿真實(shí)驗(yàn)

本節(jié)通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證所提出算法的在線量子態(tài)估計(jì)性能。第一個(gè)實(shí)驗(yàn)探討了狀態(tài)演化參數(shù)對(duì)在線算法的影響，第二個(gè)實(shí)驗(yàn)評(píng)估了在線OSEQ算法在估計(jì)精度和計(jì)算效率方面的性能。

保真度用于衡量估計(jì)精度，定義如下：

3.1 系統(tǒng)參數(shù)對(duì)在線OSEQ算法的影響

在本實(shí)驗(yàn)中，測(cè)試了在線OSEQ算法在不同系統(tǒng)參數(shù)下的準(zhǔn)確性。對(duì)于單比特量子系統(tǒng)，其演化軌跡可以在Bloch球上畫出。

單比特系統(tǒng)的密度矩陣為ρk=[a11，a12；a21，a22]，其三維坐標(biāo)變換公式為xk=2×real(a21)，yk=2×imag(a21)，zk=real(2×a11-1)，其 中real(·)和imag(·)分 別 代 表 虛數(shù)的實(shí)部和虛部。對(duì)于在線估計(jì)，自由演化的次數(shù)設(shè)置為N=100，測(cè)量噪聲的信噪比設(shè)置為60 dB，在線OSEQ算法的參數(shù)設(shè)置為α=2，γ=0.1，τ=10，c=0.1，滑動(dòng)窗口的大小設(shè)置為l=13，這足以重構(gòu)1量子位系統(tǒng)的密度矩陣。正如第1節(jié)所述，開放量子系統(tǒng)的參數(shù)包含：(1)L，Lindblad算符；(2)ξ，系統(tǒng)相互作用的強(qiáng)度；(3)ux，外部控制輸入。

圖2描繪了演化量子態(tài)和狀態(tài)估計(jì)的軌跡，Bloch球體中的實(shí)線和虛線分別是真實(shí)的量子態(tài)軌跡和在線OSEQ估計(jì)的狀態(tài)軌跡，圈圈和星星分別代表真實(shí)狀態(tài)和估計(jì)狀態(tài)的初始值，可以分為三種情況討論：

(1)當(dāng)ξ設(shè)置為0，此時(shí)L=0，目標(biāo)系統(tǒng)S是理想的沒有能量耗散的封閉量子系統(tǒng)，在這種情況下，系統(tǒng)S的演化軌跡是Bloch球表面上的一個(gè)圓，在線OSEQ算法僅僅經(jīng)過三次迭代，估計(jì)精度就超過了95%，如圖2(a)所示。當(dāng)L≠0時(shí)，自由演化的量子態(tài)逐漸耗散到最大混合態(tài)，即Bloch球的球心，此時(shí)密度矩陣為[0.5，0；0，0.5]。

圖2 不同系統(tǒng)參數(shù)下量子態(tài)的在線估計(jì)

(2)固定ux=2和L=ξσz，當(dāng)系統(tǒng)的相互作用強(qiáng)度ξ分別為0.5和0.7時(shí)，系統(tǒng)的演化軌跡分別如圖2(b)和圖2(c)所示?？梢宰⒁獾?，系統(tǒng)演化速度隨著相互作用強(qiáng)度的增加而增加，然而，對(duì)于這兩個(gè)相互作用強(qiáng)度，在線OSEQ算法在僅僅6次迭代之后就達(dá)到了99%以上的估計(jì)精度。

(3)對(duì)于ξ=0.5和L=ξσz，存在和不存在外部控制輸入的在線估計(jì)結(jié)果分別如圖2(b)和圖2(d)所示，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)ux=0時(shí)無法實(shí)現(xiàn)在線估計(jì)，因?yàn)樵谶@種情況下不可能獲得有效的測(cè)量值。

3.2 多比特演化量子系統(tǒng)的在線狀態(tài)估計(jì)

在本實(shí)驗(yàn)中，通過在線量子態(tài)估計(jì)的精度和速度來驗(yàn)證在線OSEQ算法的有效性。將本文中提出的算法與文獻(xiàn)[11]中提出的CVX-OQSE算法(使用CVX獲得了優(yōu)化問題(12)的解決方案)進(jìn)行了比較。分別對(duì)1、2、3和4量子位系統(tǒng)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。

系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置為：ξ=0.7，ux=1，N=500，SNR=30 dB。在線OSEQ的參數(shù)選擇為：γ=0.1，τ=10，c=0.1。對(duì)于n=1，2，3，4，分別選擇α=2，10，12，15，并將滑動(dòng)窗口的大小設(shè)置為l=13，16，30，100(對(duì)于1、2、3和4量子位系統(tǒng)，決策變量的數(shù)量分別為4、16、64和256，因此需要增加窗口大小)。

圖3顯示了不同量子位系統(tǒng)中在線OSEQ和CVX-OQSE的保真度f(wàn)idelity(k)隨采樣時(shí)間的變化(由于CVX-OQSE無法在測(cè)量噪聲下估計(jì)4量子位系統(tǒng)的密度矩陣，因此在圖3(b)中沒有4量子位保真度曲線)，其中實(shí)線、長(zhǎng)虛線、點(diǎn)虛線和短虛線分別代表1、2、3和4量子位系統(tǒng)的保真度時(shí)間序列。表1列出了在線OSEQ和CVX-OQSE所需的精度和時(shí)間，其中精度指的是最終的保真度。

圖3 不同比特量子系統(tǒng)中的量子態(tài)在線估計(jì)

表1 在線OSEQ和CVX-OQSE所需估計(jì)時(shí)間和精度比較

從圖3和表1中可以得出結(jié)論：在線OSEQ可以有效且穩(wěn)定地在線估計(jì)量子態(tài)。在1、2、3和4量子位系統(tǒng)中，在線OSEQ的估計(jì)精度逐漸提高并趨于穩(wěn)定，穩(wěn)定的估計(jì)精度分別為100%、100%、99.99%和99.87%。CVX-OQSE只能在1量子位系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定地估計(jì)精度，而且需要高出三個(gè)數(shù)量級(jí)的運(yùn)行時(shí)間(這可能會(huì)限制實(shí)際應(yīng)用)。在線OSEQ在每個(gè)采樣時(shí)間僅采用一個(gè)更新步驟(對(duì)于原始變量和對(duì)偶變量)，而CVX-OQSE則通過內(nèi)點(diǎn)法來解決優(yōu)化問題，這需要更多的迭代次數(shù)，所以認(rèn)為在線OSEQ是一種很有前途的實(shí)時(shí)量子態(tài)估計(jì)方法。

表2分別記錄了在線OSEQ在1、2、3和4量子位系統(tǒng)的在線估計(jì)過程中達(dá)到95%以上估計(jì)精度所需的樣本數(shù)和估計(jì)時(shí)間。從該表可以明顯看出，達(dá)到95%以上估計(jì)精度所需的采樣次數(shù)(即實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定跟蹤的延遲)也會(huì)增加，這是可以預(yù)見的，因?yàn)榇烙?jì)的變量數(shù)量以指數(shù)4n形式增長(zhǎng)，因此需要采樣更多信息來準(zhǔn)確估計(jì)密度矩陣。

表2 在線OSEQ達(dá)到95%以上保真度所需的樣本數(shù)和估計(jì)時(shí)間

4 結(jié)論

本文設(shè)計(jì)了一種新的在線量子態(tài)估計(jì)方法，該方法可以利用在量子態(tài)演化同時(shí)獲得的含隨機(jī)噪聲的測(cè)量值，對(duì)量子態(tài)進(jìn)行在線估計(jì)。為了獲得精確跟蹤狀態(tài)演化的自適應(yīng)濾波器，本文中：(1)采用滑動(dòng)重疊窗口的方法以流形式處理數(shù)據(jù)；(2)將狀態(tài)估計(jì)轉(zhuǎn)換為半正定規(guī)劃問題；(3)基于OPG-ADMM設(shè)計(jì)了一種具有可調(diào)節(jié)性、跟蹤性的高效迭代解決方案。隨后大量仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法為多量子比特系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)提供了優(yōu)秀的解決方案，具有很大的研究?jī)r(jià)值與開發(fā)潛力。