“多邊形的內(nèi)角和”教學(xué)設(shè)計

張 璇

（上海市民辦新華初級中學(xué)）

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1.內(nèi)容

本節(jié)課選自滬教版《九年義務(wù)教育課本·數(shù)學(xué)》八年級第二學(xué)期第22章“四邊形”第1節(jié)第1課時“多邊形的內(nèi)角和”，主要內(nèi)容為多邊形概念及探究多邊形內(nèi)角和定理.

2.內(nèi)容解析

在此之前，學(xué)生已經(jīng)掌握三角形概念及三角形內(nèi)角和等知識.多邊形是三角形的推廣與延伸.三角形是最簡單的多邊形，是研究多邊形的基礎(chǔ).一方面，研究多邊形可以借助研究三角形的基本思路；另一方面，可以將多邊形分割成三角形，借助三角形的性質(zhì)研究多邊形，將多邊形的學(xué)習(xí)與三角形的學(xué)習(xí)有機(jī)結(jié)合.

本節(jié)課是“四邊形”這一章的起始課.多邊形及其相關(guān)概念是基礎(chǔ)知識，多邊形的內(nèi)角和反映了內(nèi)角之間的數(shù)量關(guān)系，它屬于“圖形與幾何”領(lǐng)域中“圖形的性質(zhì)”部分的重要內(nèi)容之一.多邊形內(nèi)角和定理是三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、推廣和深化，是培養(yǎng)學(xué)生空間觀念、運(yùn)算能力、推理能力、歸納能力、幾何直觀和符號意識等數(shù)學(xué)素養(yǎng)的良好素材.本節(jié)課內(nèi)容的學(xué)習(xí)為后續(xù)探究平行四邊形、梯形、正多邊形與圓的關(guān)系等內(nèi)容提供了方法和條件.

本節(jié)課的探究是從“三角形的內(nèi)角和為180°”“矩形、正方形的內(nèi)角和為360°”等學(xué)生已有的知識經(jīng)驗出發(fā)，逐步提出一般的問題，進(jìn)而獲得一般的結(jié)論.探究過程是從具體的四邊形內(nèi)角和入手，類比推導(dǎo)得出n邊形的內(nèi)角和，并引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)分割成的三角形個數(shù)與多邊形的邊數(shù)之間的關(guān)系，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)多邊形內(nèi)角和與其邊數(shù)之間的關(guān)系，并推導(dǎo)出多邊形內(nèi)角和定理.整個探究過程充分體現(xiàn)了從特殊到一般的研究問題的方法.

在多邊形內(nèi)角和定理的探索階段，將多邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題來解決的思路，充分體現(xiàn)了將復(fù)雜圖形轉(zhuǎn)化為簡單基本圖形的化歸思想.這不僅是探索多邊形內(nèi)角和定理的關(guān)鍵，也是學(xué)生今后學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)所必備的思想方法.通過探索多邊形內(nèi)角和定理，引導(dǎo)學(xué)生嘗試從不同角度尋求解決問題的方法，為學(xué)生充分體驗從簡單到復(fù)雜、從特殊到一般，以及化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法創(chuàng)設(shè)了有效的數(shù)學(xué)活動情境.在探究的過程中，合情推理和演繹推理兩種推理相輔相成，合情推理用于探索思路、發(fā)現(xiàn)結(jié)論，演繹推理用于證明結(jié)論.在觀察、實驗、猜測、計算、推理、證明等過程中，充分關(guān)注與發(fā)展學(xué)生的推理能力、運(yùn)算能力、數(shù)學(xué)抽象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為：多邊形內(nèi)角和定理及其推導(dǎo)過程的探索.

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

1.目標(biāo)

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)設(shè)置如下.

（1）理解多邊形的定義及其相關(guān)概念，會用多邊形內(nèi)角和定理解決簡單問題.

（2）經(jīng)歷多邊形概念的形成過程，能類比三角形的研究經(jīng)驗體會類比思想.

（3）經(jīng)歷多邊形內(nèi)角和定理的探索過程，進(jìn)一步體會從特殊到一般的研究問題的方法和化歸思想.

2.目標(biāo)解析

達(dá)成目標(biāo)（1）的標(biāo)志是：學(xué)生能基于三角形的概念形成多邊形的概念，會判斷一個幾何圖形是否是多邊形，并能指認(rèn)該多邊形的邊、內(nèi)角、對角線等相關(guān)概念.會用多邊形內(nèi)角和定理解決簡單問題，并能在多邊形相關(guān)的問題情境中，自發(fā)聯(lián)想運(yùn)用多邊形內(nèi)角和靈活解決相關(guān)問題.

達(dá)成目標(biāo)（2）的標(biāo)志是：引導(dǎo)學(xué)生再次經(jīng)歷研究幾何圖形的基本經(jīng)驗，整體建構(gòu)幾何圖形的一般研究思路與方法.

達(dá)成目標(biāo)（3）的標(biāo)志是：經(jīng)歷多邊形內(nèi)角和定理的探索過程，體驗將多邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題來解決的轉(zhuǎn)化思想和由特殊到一般的歸納方法.本節(jié)課的研究從具體的特殊四邊形內(nèi)角和出發(fā)，利用“三角形的內(nèi)角和是180°”，逐步探索四邊形、五邊形、六邊形、…、n邊形的內(nèi)角和，同時能夠利用多種不同分割方法，驗證多邊形內(nèi)角和定理，體會類比、化歸思想，體會從特殊到一般的研究問題的方法，感悟推廣方法的價值，體驗數(shù)學(xué)和諧美.

三、學(xué)生學(xué)情分析

學(xué)習(xí)本節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)掌握三角形及其相關(guān)內(nèi)容，對三角形的整體研究思路與方法有了一定的感性認(rèn)識，這為探索多邊形內(nèi)角和定理提供了認(rèn)知基礎(chǔ).同時，八年級學(xué)生具備一定的觀察、分析、推理能力，為本節(jié)課的深入探究提供了保障.學(xué)生能夠較好地表達(dá)自己的觀點(diǎn)，渴望應(yīng)用所學(xué)的知識解決問題，但是在探究新的數(shù)學(xué)問題時還是存在一定的困難.特別是研究什么、如何研究，以及怎么把新問題轉(zhuǎn)化為已知問題來解決，都是現(xiàn)階段學(xué)生學(xué)習(xí)路上的障礙.

本節(jié)課，學(xué)生在探索推導(dǎo)多邊形內(nèi)角和定理的過程中，對以下系列問題會感到有一定難度：如何獲得將多邊形分割成多個三角形來解決問題的思路？如何得到不同分割方式？不同的分割方式之間有什么聯(lián)系與區(qū)別？如何確定多邊形內(nèi)角和與邊數(shù)之間的關(guān)系？因此，在探索該定理的教學(xué)環(huán)節(jié)，通過組織學(xué)生經(jīng)歷觀察想象、交流合作、提出猜想、推理驗證等活動，讓學(xué)生親歷觀察、實驗、交流、猜想、計算的學(xué)習(xí)過程，明確將復(fù)雜的圖形轉(zhuǎn)化為簡單的基本圖形才是解決問題的關(guān)鍵.通過引導(dǎo)學(xué)生觀察相關(guān)要素在不同分割方法中的內(nèi)在聯(lián)系與區(qū)別，歸納得到點(diǎn)的位置選取決定了不同分割方法的本質(zhì).同時，為了讓規(guī)律更加直觀，在探究過程中借助表格等方式輔助教學(xué).

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是：將多邊形分割成三角形來解決問題的思路.

四、教學(xué)策略分析

教師是學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者、組織者、合作者.根據(jù)這一理念，本節(jié)課采用“引導(dǎo)探索法”組織教學(xué).結(jié)合學(xué)生已有的知識儲備和年齡特點(diǎn)，在學(xué)法上，力求體現(xiàn)操作實踐、探索發(fā)現(xiàn)、合作交流等方式，在師生的共同活動中，引領(lǐng)學(xué)生會探索、會發(fā)現(xiàn)、會分析、會總結(jié)規(guī)律.

根據(jù)上述分析，制訂了如下教學(xué)策略.

1.系統(tǒng)思考，學(xué)會數(shù)學(xué)思維

系統(tǒng)思考有助于學(xué)生更好地理解和掌握數(shù)學(xué)知識.數(shù)學(xué)思維指學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中形成的思維方式，能應(yīng)用于解決各種問題（不僅僅局限于數(shù)學(xué)問題）.例如，在推理與證明時，運(yùn)用類比、歸納和演繹思想；在闡述觀點(diǎn)時，運(yùn)用推理、觀察、實驗、比較、分析、猜想、綜合、抽象、概括和建模等思想方法；等等.

本節(jié)課中，以多邊形的相關(guān)內(nèi)容研究為載體，把數(shù)學(xué)思想方法融入其中，主要體現(xiàn)在以下三個方面.

一是類比三角形概念獲得多邊形概念，確定研究對象之間具有相似的性質(zhì)，可以將三角形的研究方法遷移到多邊形，引領(lǐng)學(xué)生深刻認(rèn)識新對象.

二是研究多邊形性質(zhì)時，思考注重運(yùn)用從定性到定量的方法，這種方法也常常適用于解決其他問題.

三是在探究多邊形內(nèi)角和時，從特殊情形入手，即從最簡單的四邊形開始，直到n邊形，這種從特殊到一般、從具體到抽象的研究方法具有普遍意義.

2.問題驅(qū)動，感悟數(shù)學(xué)思想

隨著數(shù)學(xué)知識的形成、發(fā)展和應(yīng)用，數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)含其中，它在更高層次上抽象和概括了數(shù)學(xué)知識和方法.因此，本節(jié)課的設(shè)計更多地關(guān)注數(shù)學(xué)思想在知識形成過程中的滲透，使學(xué)生在深刻理解概念、定理的本質(zhì)的同時，學(xué)會了如何發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題.

3.直觀遞進(jìn)，增進(jìn)數(shù)學(xué)理解

數(shù)學(xué)的抽象與學(xué)生思維的形象、直觀之間的矛盾是初中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個障礙點(diǎn)，而幾何直觀是化解這一矛盾的有效措施.在本節(jié)課的教學(xué)中，充分發(fā)掘數(shù)學(xué)學(xué)科中的直觀資源，運(yùn)用直觀化的手段，逐層遞進(jìn)地助推學(xué)生的數(shù)學(xué)理解.本節(jié)課可以分為以下三個階段.

第一個階段可以用“看、說、畫”三個字來概括，即通過觀察為神舟十二號航天員移送椅的圖片，以及學(xué)生美術(shù)課上為宇航員設(shè)計的杯墊，讓學(xué)生說出看到的幾何圖形，說一說它們的特征，逐步得到多邊形的定義.

第二個階段可以用“探、猜、證” 三個字來概括，即通過對四邊形、五邊形、六邊形內(nèi)角和的探索，猜測n邊形的內(nèi)角和，并對基于特殊情況歸納得到的猜想進(jìn)行邏輯論證.

第三個階段可以用“推、悟、用”三個字來概括，即從函數(shù)的視角對多邊形內(nèi)角和定理進(jìn)行再認(rèn)識，領(lǐng)悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)會運(yùn)用多邊形內(nèi)角和定理解決簡單的數(shù)學(xué)問題，并將其應(yīng)用在生活中.

五、教學(xué)過程設(shè)計

1.創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

（1）問題情境設(shè)置.

①展示神舟十二號載人飛船返回艙平安著陸，航天員順利出艙后，給航天員移送椅的圖片，座椅如圖1所示.

圖1

②圖2是學(xué)生按照美術(shù)老師要求完成的美術(shù)作業(yè).作業(yè)要求：利用邊長及內(nèi)角分別相等的三角形、四邊形、五邊形、六邊形和八邊形為航天員設(shè)計杯墊，拼出一個在某一頂點(diǎn)無縫隙且不重疊的平面圖形.

圖2

問題1：在以上這些圖片中，有哪些熟悉的平面圖形？

【設(shè)計意圖】數(shù)學(xué)教學(xué)需要從學(xué)生熟悉的生活情境和感興趣的事物出發(fā)，為他們提供觀察和操作的機(jī)會，使學(xué)生走進(jìn)生活學(xué)習(xí)數(shù)學(xué).從神舟十二號載人飛船成功返航的現(xiàn)實情境導(dǎo)入，有助于學(xué)生感受數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探究的熱情與民族自豪感.

問題2：在日常生活中，我們經(jīng)常會接觸到除三角形以外的邊數(shù)更多的平面圖形，如四邊形、五邊形、六邊形等，我們可以將這類平面圖形統(tǒng)稱為多邊形.你能嘗試給多邊形下個定義嗎？

多邊形的定義：由平面內(nèi)不在同一直線上的一些線段首尾順次連接所組成的封閉圖形叫做多邊形.

【設(shè)計意圖】三角形的三個頂點(diǎn)總是共面的，它一定是平面圖形.但邊數(shù)大于3的多邊形不是這樣的，它們的頂點(diǎn)存在不共面的情況.在這一環(huán)節(jié)設(shè)置認(rèn)知沖突，引發(fā)學(xué)生深度思考.通過實例，使學(xué)生進(jìn)一步理解多邊形的概念.

（2）多邊形在生活中的應(yīng)用舉例.

學(xué)生舉例說明現(xiàn)實生活中的多邊形及其應(yīng)用；教師利用課件展示現(xiàn)實世界中多邊形及其應(yīng)用（如圖3）.

圖3

【設(shè)計意圖】列舉和展示多邊形在各領(lǐng)域中的存在和應(yīng)用，使學(xué)生感悟數(shù)學(xué)來源于生活，體驗數(shù)學(xué)的和諧美.

2.師生互動，探索新知

（1）多邊形相關(guān)概念的認(rèn)識.

問題3：類比三角形，你能指出如圖4所示的多邊形的各組成部分的名稱嗎？

圖4

問題4：我們知道多邊形的邊可以看成連接兩個相鄰頂點(diǎn)的線段，那么，在多邊形中，還可以連接兩個不相鄰頂點(diǎn)的線段，這又是什么呢？

對角線：多邊形中連接不相鄰兩個頂點(diǎn)的線段叫做多邊形的對角線.

【設(shè)計意圖】除對角線以外，多邊形的其他相關(guān)要素與三角形完全相同，可以通過類比直接得出.根據(jù)多邊形的邊的概念引出對角線的概念，兩者進(jìn)行對比，逐步得出對角線的概念，使學(xué)生更容易理解知識內(nèi)在的聯(lián)系與區(qū)別.

問題5：如圖5所示的兩個五邊形有什么區(qū)別？

圖5

操作活動：畫一畫：雙向延長如圖5所示的兩個五邊形的每一條邊.

【設(shè)計意圖】通過讓學(xué)生動手操作引出凹多邊形，揭示凸多邊形的定義.

（2）多邊形內(nèi)角和定理的探索.

問題6：三角形是最簡單的多邊形，我們是從哪些方面研究三角形性質(zhì)的？

問題7：三角形的內(nèi)角和為180°，且不會隨著三角形的大小和形狀發(fā)生改變，它始終是一個定值.任意多邊形的內(nèi)角和是多少？它有什么規(guī)律？

追問1：多邊形有無數(shù)種，你打算怎么研究呢？

【設(shè)計意圖】類比三角形單元中研究三角形的方法，引導(dǎo)學(xué)生按照“定義—概念—性質(zhì)”的思路進(jìn)一步研究多邊形.通過類比三角形的研究脈絡(luò)，先確定研究多邊形的角的性質(zhì)（內(nèi)角和）.

探究活動1：探究任意四邊形的內(nèi)角和.

問題8：任意四邊形的內(nèi)角和是多少？為什么？

任務(wù)1：學(xué)生以小組為單位采用多種方法證明四邊形的內(nèi)角和.

預(yù)設(shè)：學(xué)生可用如圖6所示的幾種方法證明.

圖6

追問2：這些方法有什么相同之處和不同之處？

【設(shè)計意圖】從簡單的四邊形開始探究，經(jīng)歷從猜測到論證的過程，引領(lǐng)學(xué)生從多個角度進(jìn)行觀察和思考，建立四邊形與三角形之間的聯(lián)系，使學(xué)生體會類比思想，為探究n邊形的內(nèi)角和奠定基礎(chǔ).

探究活動2：探究任意n邊形的內(nèi)角和.

問題9：n邊形的內(nèi)角和是多少？為什么？

任務(wù)2：學(xué)生完成表1，并小組交流討論各自選用的方法.

表1 多邊形內(nèi)角和探究表

追問3：這些方法各自有什么特點(diǎn)？有什么共性？

學(xué)生可以得出多邊形內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)·180°.問題10：對于n邊形內(nèi)角和公式，你有哪些思考和發(fā)現(xiàn)？

【設(shè)計意圖】借助已有的四邊形內(nèi)角和的研究經(jīng)驗，引導(dǎo)學(xué)生自主建構(gòu)多邊形內(nèi)角和的研究方法，自發(fā)探索五邊形、六邊形、…、n邊形內(nèi)角和，感悟從特殊到一般的研究方法.將研究方法進(jìn)行遷移，體會將多邊形分割成幾個三角形的化歸過程.為了便于學(xué)生總結(jié)規(guī)律，借助表格幫助學(xué)生分析問題，使得規(guī)律更加直觀，躍然于紙上.利用精心設(shè)計的填表活動，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了類比、思考、討論、概括的機(jī)會，使學(xué)生感受邊數(shù)、分割的三角形個數(shù)和內(nèi)角和之間的關(guān)系，有利于學(xué)生更好地探究多邊形的內(nèi)角和，從而達(dá)到分解本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)的目的.將直觀操作、合情推理與邏輯推理有機(jī)地結(jié)合在一起，使推理論證自然地成為學(xué)生觀察、實驗、探究得出結(jié)論的延續(xù)，使學(xué)生體會從特殊到一般、從具體到抽象的研究問題的方法，感悟化歸思想.得到多邊形內(nèi)角和定理后，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步深入思考，從函數(shù)的視角對定理進(jìn)行再認(rèn)識，領(lǐng)悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法.

（3）有關(guān)多邊形內(nèi)角和數(shù)學(xué)史的了解.

介紹數(shù)學(xué)家泰勒斯，以及歐幾里得的數(shù)學(xué)著作《幾何原本》.

【設(shè)計意圖】利用數(shù)學(xué)史料，向?qū)W生介紹科學(xué)領(lǐng)域取得的巨大成就都依賴于一代代的數(shù)學(xué)大師付出的艱苦卓絕的努力，鼓勵學(xué)生像泰勒斯一樣多去發(fā)現(xiàn)問題、探索問題，從而潛移默化地喚起學(xué)生崇高的科學(xué)奉獻(xiàn)精神.

3.例題變式，內(nèi)化新知

例 利用邊長和內(nèi)角分別相等的三角形、四邊形、五邊形、六邊形和八邊形，能夠拼出如圖7所示的杯墊.求八邊形的內(nèi)角和.

圖7

變式1：能否在圖7中選取內(nèi)角和是1440°的多邊形？為什么？

變式2：能否在圖7中選取內(nèi)角和是2020°的多邊形？為什么？

【設(shè)計意圖】通過讓學(xué)生簡單應(yīng)用多邊形內(nèi)角和定理，促進(jìn)學(xué)生對多邊形內(nèi)角和定理的理解.變式旨在正用、逆用多邊形內(nèi)角和公式，解決與多邊形內(nèi)角和有關(guān)的簡單計算問題，發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力、推理能力等.

4.回歸引入，深化新知

對于美術(shù)老師布置的作業(yè)：利用邊長和內(nèi)角分別相等的三角形、四邊形、五邊形、六邊形和八邊形，能夠拼出一個在某一頂點(diǎn)無縫隙且不重疊的平面圖形.

（1）如果只選擇一種多邊形，你認(rèn)為應(yīng)該選擇哪一種，為什么？

追問：為什么三角形、四邊形和六邊形可以拼出符合要求的平面圖形？五邊形、八邊形不可以？

（2）如果選擇兩種多邊形來拼出符合要求的平面圖形，你有哪些方案？（課后思考.）

【設(shè)計意圖】進(jìn)一步強(qiáng)化對多邊形內(nèi)角和公式的應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生主動獲取數(shù)學(xué)知識，不斷豐富數(shù)學(xué)探索的經(jīng)驗，學(xué)會學(xué)習(xí)，感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣；在學(xué)習(xí)知識和方法的應(yīng)用過程中深化新知，增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，體會數(shù)學(xué)的價值.

5.反思總結(jié)，升華新知

（1）本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些主要內(nèi)容？

（2）在探究多邊形內(nèi)角和公式的過程中，你覺得有哪些重要的方法？

（3）你還有什么收獲和問題？

【設(shè)計意圖】在此環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生從知識內(nèi)容和學(xué)習(xí)過程兩個方面總結(jié)自己的收獲，通過建立知識之間的聯(lián)系，凸顯將復(fù)雜圖形轉(zhuǎn)化為簡單的基本圖形的化歸思想，鞏固從特殊到一般的研究問題的方法.通過小結(jié)鍛煉學(xué)生的語言表達(dá)能力，關(guān)注不同層次的學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容的理解和掌握.同時，教師幫助學(xué)生歸納零散的知識，形成體系，使學(xué)生內(nèi)化所學(xué)知識.

6.課后作業(yè)，強(qiáng)化新知

基礎(chǔ)題：配套練習(xí)冊中本節(jié)內(nèi)容的習(xí)題.

思考題：（1）為了美化同學(xué)們設(shè)計的杯墊，有同學(xué)將材料中的八邊形的每個內(nèi)角畫上了半徑為1的彩色扇形（如圖8），求這些扇形的面積和.

圖8

（2）將一個多邊形剪去一個角后形成的多邊形內(nèi)角和為1980°，你能求出原多邊形的邊數(shù)嗎？

【設(shè)計意圖】分層設(shè)計作業(yè)旨在關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)差異，使不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展.學(xué)生在分層作業(yè)的彈性空間充分展示自己的學(xué)習(xí)能力，體驗數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣，進(jìn)一步增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，進(jìn)而提高數(shù)學(xué)教學(xué)效果.

六、教學(xué)目標(biāo)檢測

檢測作業(yè)1：在學(xué)習(xí)完本節(jié)課后，進(jìn)一步查找資料，圍繞關(guān)于多邊形內(nèi)角和的證明方法寫一篇數(shù)學(xué)小論文，并與班級同學(xué)交流、分享.

評價建議：（1）能給出一種多邊形內(nèi)角和的證明方法，可評價為合格；（2）能給出三種以上多邊形內(nèi)角和的證明方法，可評價為良好；（3）不僅能給出多種多邊形內(nèi)角和的證明方法，而且能對這些方法進(jìn)行剖析與梳理，可評價為優(yōu)秀.

檢測作業(yè)2：在探究活動2的基礎(chǔ)上，結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)提出一個新的問題，并給出該問題的解答方案.

建議：（1）小組合作完成；（2）從特例起步，類比探究活動2中的問題及其解答方案；（3）記錄問題研究過程，說明研究結(jié)果或疑惑.

評價建議：（1）通過小組合作，模仿探究活動2中的問題提出一個類似的問題，且提出一種解決該問題的方案，可評價為合格；（2）在探究過程中，提出了一個較有新意的問題，且提供了至少一種解決方案，可評價為良好；（3）在探究過程中，提出了一個富有創(chuàng)意的問題，且提供了多種解決方案，可評價為優(yōu)秀.

七、教學(xué)反思

1.值得肯定的方面

本節(jié)課以問題為驅(qū)動，引導(dǎo)學(xué)生積極主動、有向有序地經(jīng)歷完整的學(xué)習(xí)過程.通過問題串，幫助學(xué)生建立多邊形與三角形之間的聯(lián)系，啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用類比思想，獲得多邊形的整體研究思路.在多邊形內(nèi)角和定理的探索階段，設(shè)計兩個探究活動，點(diǎn)燃學(xué)生的探究熱情，促使學(xué)生主動獲取數(shù)學(xué)知識，豐富探索經(jīng)驗，感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣.在討論、交流、展示的過程中，使學(xué)生進(jìn)一步感受合情推理與演繹推理的辯證統(tǒng)一，體會從特殊到一般的研究方法，感悟化歸、類比等數(shù)學(xué)思想，從而達(dá)成了本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo).

2.需要改進(jìn)的方面

在問題的設(shè)計上，本節(jié)課的教學(xué)還有如下幾個方面需要改進(jìn).

（1）設(shè)計宏觀問題，構(gòu)建整體研究思路.

學(xué)生在得到多邊形相關(guān)概念之后，可以設(shè)計問題“我們學(xué)過了三角形及其相關(guān)內(nèi)容，它是怎么研究的？”幫助學(xué)生回顧研究三角形的基本思路，即“定義—性質(zhì)—應(yīng)用”，構(gòu)建幾何圖形研究的一般思路，引導(dǎo)學(xué)生自主生成研究多邊形性質(zhì)的想法.

在研究多邊形性質(zhì)時，可設(shè)計問題“多邊形有哪些重要的性質(zhì)？”引導(dǎo)學(xué)生自主類比三角形的性質(zhì)進(jìn)行研究，明確研究方向.

（2）加強(qiáng)追問，引導(dǎo)反思，揭示思維過程.

有學(xué)生對于問題“多邊形有無數(shù)種，你打算怎樣探究？”，提出“矩形、正方形的內(nèi)角和是360°”，此時教師可以追問“同學(xué)們有什么疑問嗎？”引導(dǎo)學(xué)生自主提出“任意四邊形的內(nèi)角和是多少？”的問題.

在探究活動1中，學(xué)生交流任意四邊形內(nèi)角和的證明方法時，可以追問學(xué)生“你是如何想到的？”以揭示學(xué)生的思維過程，挖掘方法背后的思維價值.

在探究活動1中，學(xué)生總結(jié)多種證明方法的相同之處時，都是將多邊形內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為三角形內(nèi)角和，此時可以追問學(xué)生“這些三角形有什么共同特征？”以培養(yǎng)學(xué)生的歸納、總結(jié)能力，幫助學(xué)生更好地理解方法之間的聯(lián)系與區(qū)別.

在探究活動2中，學(xué)生利用多種方法得到多邊形內(nèi)角和公式后，可以追問學(xué)生“能否對這幾種方法進(jìn)行梳理和總結(jié)？”以引導(dǎo)學(xué)生類比探究活動1中的研究經(jīng)驗，自發(fā)探究方法之間的聯(lián)系與區(qū)別，積累研究經(jīng)驗.