• <tr id="yyy80"></tr>
  • <sup id="yyy80"></sup>
  • <tfoot id="yyy80"><noscript id="yyy80"></noscript></tfoot>
  • 99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

    用高觀點(diǎn)揭示一類導(dǎo)數(shù)壓軸題的本質(zhì)

    2022-08-30 06:37:36范明輝
    數(shù)理化解題研究 2022年22期
    關(guān)鍵詞:構(gòu)造方法原函數(shù)結(jié)構(gòu)式

    范明輝

    (湖北省荊門市龍泉中學(xué) 448000)

    1 問(wèn)題的提出

    例1(2015年全國(guó)高考Ⅱ卷第12題)設(shè)函數(shù)f′(x)是奇函數(shù)f(x)(x∈R)的導(dǎo)函數(shù),f(-1)=0,當(dāng)x>0時(shí),xf′(x)-f(x)>0,則使得函數(shù)f(x)>0成立的x取值范圍是( ).

    A.(-1,0)∪(1,+∞) B.(-∞,-1)∪(0,1)

    C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-1,0)∪(0,1)

    上例中出現(xiàn)了“xf′(x)-f(x)>0”的結(jié)構(gòu)式,解決此類問(wèn)題需要構(gòu)造輔助函數(shù).對(duì)于此類題目,有一些常見(jiàn)結(jié)構(gòu)式的輔助函數(shù)構(gòu)造方法:

    (1)若f(x)+xf′(x)>0(或<0),可構(gòu)造輔助函數(shù)g(x)=xf(x);

    (3)若nf(x)+xf′(x)>0(或<0),可構(gòu)造輔助函數(shù)g(x)=xnf(x);

    (5)若f(x)+f′(x)>0(或<0),可構(gòu)造輔助函數(shù)g(x)=exf(x);

    在日常教學(xué)中,教師一般會(huì)要求學(xué)生熟記以上常見(jiàn)結(jié)構(gòu)式的輔助函數(shù),然后再加以訓(xùn)練來(lái)鞏固記憶,然而,此類題目往往只有少數(shù)學(xué)生能夠成功解決.問(wèn)題的關(guān)鍵在于,如何去構(gòu)造這樣的輔助函數(shù)?構(gòu)造方法是怎樣的?有沒(méi)有一般的步驟呢?

    2 “輔助函數(shù)”的構(gòu)造原理(基于不定積分原理)

    對(duì)于結(jié)構(gòu)為y′+P(x)y=Q(x)的方程,結(jié)合求導(dǎo)法則[u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)+u′(x)v(x),將方程兩端同乘以一個(gè)非零因子r(x),得

    r(x)y′+r(x)P(x)y=r(x)Q(x).

    對(duì)比求導(dǎo)法則(yr)′=y′r+yr′,得

    r′(x)=r(x)P(x).

    對(duì)上式兩邊同時(shí)積分,得

    將②式代入①式,得

    2.1 結(jié)構(gòu)為y′+P(x)y=0的形式

    此時(shí)函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)中包含方程的左邊部分P(x)y+y′,而在高中相關(guān)類型導(dǎo)數(shù)題中往往給出了這部分與零之間的不等關(guān)系,從而可以判斷出函數(shù)g(x)的單調(diào)性,進(jìn)而結(jié)合函數(shù)知識(shí)求解.

    2.2 結(jié)構(gòu)為y′+P(x)y=Q(x)的形式

    若Q(x)≠0,則y′+P(x)y=Q(x).

    可變形為y′+P(x)y-Q(x)=0.

    結(jié)合求導(dǎo)法則[u(x)-v(x)]′=u′(x)-v′(x),可將⑤式進(jìn)一步變形為

    因此,可構(gòu)造“輔助函數(shù)”

    此時(shí)函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)中包含④式的左邊部分y′+P(x)y-Q(x),而在高中相關(guān)類型導(dǎo)數(shù)題中往往給出了這部分與零之間的不等關(guān)系,從而可以判斷出函數(shù)g(x)的單調(diào)性,進(jìn)而結(jié)合函數(shù)知識(shí)求解.

    此類結(jié)構(gòu)的構(gòu)造原理,基于不定積分的相關(guān)方法,讀者可以深入了解,也可略過(guò).

    3 結(jié)構(gòu)為P(x)f(x)+f ′(x)的類型

    例1解析當(dāng)x>0時(shí),xf′(x)-f(x)>0,

    因此可構(gòu)造輔助函數(shù)g(x)=e-lnx·f(x).

    當(dāng)x>0時(shí),g′(x)>0,

    所以g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

    由于函數(shù)f(x)為奇函數(shù)且f(-1)=0,所以g(x)為偶函數(shù),且g(-1)=g(1)=0.

    因此,g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,在(-∞,0)上單調(diào)遞減.要求函數(shù)f(x)>0成立的x取值范圍,則xg(x)>0,易知x∈(-1,0)∪(1,+∞),故選A.

    下面對(duì)結(jié)構(gòu)式為P(x)f(x)+f′(x)類型的算法步驟進(jìn)行總結(jié):

    (1)將題設(shè)條件中的結(jié)構(gòu)式化歸為P(x)f(x)+f′(x),即讓“f′(x)”的系數(shù)變?yōu)?;(2)找到P(x),并借助導(dǎo)數(shù)公式尋找其一個(gè)原函數(shù)φ(x);(3)構(gòu)造輔助函數(shù)g(x)=eφ(x)·f(x).

    按照上述步驟,我們?cè)賮?lái)看一看常見(jiàn)結(jié)構(gòu)的構(gòu)造方法:

    (5)若f(x)+f′(x)>0(或<0),則P(x)=1,其一個(gè)原函數(shù)為y=x,因此可構(gòu)造輔助函數(shù)g(x)=exf(x);

    4 結(jié)構(gòu)為f ′(x)+P(x)f(x)-Q(x)的類型

    例2(2009年天津文科高考題)設(shè)函數(shù)f(x)在R上的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),且2f(x)+xf′(x)>x2,下面的不等式在R上恒成立的是( ).

    A.f(x)>0 B.f(x)<0

    C.f(x)>xD.f(x)

    解析因?yàn)?f(x)+xf′(x)>x2,

    所以2f(x)+xf′(x)-x2>0.

    求導(dǎo),得g′(x)=2xf(x)+x2f′(x)-x3.

    即g′(x)=x[2f(x)+xf′(x)-x2].

    綜上,f(x)>0,故選A.

    下面對(duì)結(jié)構(gòu)式為f′(x)+P(x)f(x)-Q(x)類型的算法步驟進(jìn)行總結(jié):

    (1)將題設(shè)條件中的結(jié)構(gòu)式化歸為f′(x)+P(x)f(x)-Q(x),即讓“f′(x)”的系數(shù)變?yōu)?;(2)找到P(x),并借助導(dǎo)數(shù)公式尋找其一個(gè)原函數(shù)φ(x);(3)利用求導(dǎo)公式尋找eφ(x)Q(x)的一個(gè)原函數(shù)ψ(x);(4)構(gòu)造輔助函數(shù)g(x)=eφ(x)·f(x)-ψ(x).

    此類問(wèn)題一般出現(xiàn)在選擇題或填空題的壓軸題位置,難度較高,其難點(diǎn)在于構(gòu)造出“輔助函數(shù)”.經(jīng)過(guò)本文的探究,找到了構(gòu)造相應(yīng)“輔助函數(shù)”的一般步驟,將難點(diǎn)轉(zhuǎn)化為“逆用導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)公式,尋找導(dǎo)數(shù)的原函數(shù)”.

    猜你喜歡
    構(gòu)造方法原函數(shù)結(jié)構(gòu)式
    DC-DC變換器分層級(jí)構(gòu)造方法
    幾類間斷點(diǎn)與原函數(shù)存在性的關(guān)系辨析
    卷宗(2020年34期)2021-01-29 05:36:24
    結(jié)構(gòu)式摘要撰寫(xiě)要求
    結(jié)構(gòu)式摘要撰寫(xiě)要求
    三角函數(shù)最值的求解類型及策略
    原函數(shù)是非初等函數(shù)的定積分的計(jì)算方法
    有機(jī)物分子式、結(jié)構(gòu)式的確定
    《夢(mèng)溪筆談》“甲子納音”構(gòu)造方法的數(shù)學(xué)分析
    一個(gè)包含Smarandache原函數(shù)與六邊形數(shù)的方程
    幾乎最佳屏蔽二進(jìn)序列偶構(gòu)造方法
    房产| 达孜县| 江口县| 汽车| 沙田区| 浦江县| 松原市| 哈巴河县| 乌什县| 衡阳县| 凭祥市| 礼泉县| 宁都县| 安龙县| 莱州市| 玉屏| 额敏县| 砚山县| 东宁县| 通辽市| 襄樊市| 娱乐| 丰宁| 同德县| 博罗县| 武陟县| 沧州市| 玉溪市| 建瓯市| 香港 | 游戏| 铁岭县| 延长县| 龙山县| 苗栗市| 溆浦县| 青河县| 屯门区| 中卫市| 博野县| 大姚县|