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    例析離心率問題

    2022-08-30 06:38:54金鐵強(qiáng)
    數(shù)理化解題研究 2022年22期
    關(guān)鍵詞:雙曲線代數(shù)橢圓

    金鐵強(qiáng)

    (浙江省諸暨市草塔中學(xué) 311812)

    圓錐曲線離心率問題通常是指橢圓和雙曲線的離心率問題,一般包含兩類:一是求離心率值;二是求離心率的取值范圍.求解離心率,一般是構(gòu)造參數(shù)a,c或a,b等式或者不等式,找出它們的關(guān)系,從而計(jì)算.離心率問題難點(diǎn)不在求解,而在找等量關(guān)系或者不等量關(guān)系,也就是找出題目中的數(shù)學(xué)本源.如何能在最短的時(shí)間內(nèi),找到關(guān)系,最有效的辦法是從數(shù)學(xué)本源出發(fā),研究命題方向和結(jié)合的知識(shí)點(diǎn),發(fā)現(xiàn)規(guī)律,探究方法,形成一系列解題策略.

    1 特殊三角形與離心率

    這類題目通常利用特殊三角形的性質(zhì)來找參數(shù)關(guān)系,用到的性質(zhì)一般有邊角相等、三角形相似、面積公式、正余弦定理、角平分線性質(zhì)、高的性質(zhì)、中線的性質(zhì)等,解題方法可用代數(shù)法也可用幾何法,通常數(shù)形結(jié)合,用幾何法計(jì)算量較小,運(yùn)算相對(duì)簡(jiǎn)單.

    解析因?yàn)轫旤c(diǎn)A,B在雙曲線上,由雙曲線的定義,可得到含四個(gè)參量的兩個(gè)等式,結(jié)合等腰直角三角形這個(gè)條件,可以消掉兩個(gè)參量,再利用Rt△F1BF2解出BF1,BF2的值.

    如圖1,不妨設(shè)點(diǎn)B是Rt△F1AB的直角頂點(diǎn),則

    圖1

    又點(diǎn)A,B在雙曲線上,由雙曲線的定義,得AF1-AF2=2a,BF1-BF2=2a.

    在Rt△F1BF2中,由勾股定理,得

    2 平行四邊形與離心率

    與平行四邊形結(jié)合的離心率問題一般有兩類,一類是題目中存在四邊形;另一類是利用圓錐曲線的對(duì)稱性構(gòu)造四邊形.用到的性質(zhì)通常有:對(duì)邊平行相等;兩條對(duì)角線長(zhǎng)度的平方和等于兩倍的兩個(gè)鄰邊的平方和等.解題時(shí)可用代數(shù)法也可用幾何法.

    圖2

    解析因?yàn)閨PM|2+|PN|2是定值,而式子中的兩個(gè)線段長(zhǎng)度不好表示,所以可以利用平行四邊形的對(duì)稱性進(jìn)行轉(zhuǎn)化.點(diǎn)P在橢圓上,坐標(biāo)滿足橢圓方程,于是想到把定值轉(zhuǎn)化成與點(diǎn)P坐標(biāo)有關(guān)的量,代入橢圓方程,就找到了一個(gè)有關(guān)參數(shù)的等量關(guān)系.

    3 圓與離心率

    借助于圓的性質(zhì)求離心率問題的題目相對(duì)較多,考查點(diǎn)通常是圓的性質(zhì)和圓錐曲線性質(zhì)的結(jié)合,比如弦的中點(diǎn)與圓心的連線與弦垂直,直徑所對(duì)的圓周角是90°,半徑相等,圓與圓的位置關(guān)系等.

    圖3

    解析兩圓的半徑分別有參數(shù)a,c,找a,c的關(guān)系,只需找兩圓的關(guān)系即可.解題方法可以用代數(shù)法也可用幾何法,但幾何法要相對(duì)簡(jiǎn)單.

    由對(duì)稱性可知PQ⊥x軸,因?yàn)镺F是圓的直徑,且|PQ|=|OF|,所以PQ也是圓的直徑.

    所以△POM是直角三角形.

    于是有OP2=OM2+PM2.

    4 變量的范圍與離心率

    該類題目通常是先給出標(biāo)準(zhǔn)方程中某個(gè)參數(shù)的范圍,或者變量的范圍,再結(jié)合具體圖形的平行關(guān)系、共線關(guān)系、垂直關(guān)系等求離心率的取值范圍.通常用代數(shù)法來求解.

    圖4

    圖5

    因?yàn)镸(x0,y0)在第一象限,所以x0

    總之,對(duì)于比較復(fù)雜的離心率問題,找出等量關(guān)系或者不等關(guān)系是關(guān)鍵,通常會(huì)與很多知識(shí)結(jié)合起來,有時(shí)還涉及數(shù)形結(jié)合.對(duì)于一些常見公式,應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生自主觀察、獨(dú)立思考,把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題,找出數(shù)學(xué)本源,從而更有效、簡(jiǎn)潔地解決它,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

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