高考中平面向量問題的命題分析與變式研究

河南 石同民 徐慧霞

平面向量是一個(gè)好用的數(shù)學(xué)工具，把代數(shù)與幾何緊密地聯(lián)系在一起.應(yīng)用平面向量可以在代數(shù)計(jì)算與幾何圖形性質(zhì)之間靈活轉(zhuǎn)化，所以平面向量是高考的必考點(diǎn).

一、舊高考重知識(shí)

舊高考中平面向量一直作為簡單題出現(xiàn).導(dǎo)致各級(jí)各類考試命題對(duì)平面向量的研究不深入，平面向量試題千篇一律，缺少讓人眼前一亮的好題.

(2020·全國卷Ⅰ理·14)設(shè)a,b為單位向量，且|a+b|=1，則|a-b|=．

【命題分析】題目命制的中規(guī)中矩，主要考查向量的基本運(yùn)算，基本公式的應(yīng)用.結(jié)合方程與方程組思想分析問題，可以有明確的解題思路，思考量和計(jì)算量都不大，是簡單題.

(2021·全國乙卷理·14)已知向量a=(1,3),b=(3,4)，若(a-λb)⊥b，則λ=．

【命題分析】題目命制和2020年試題十分相似，主要考查平面向量坐標(biāo)的基本運(yùn)算，基本公式的應(yīng)用.結(jié)合方程與方程組思想分析問題，可以有明確的解題思路，思考量和計(jì)算量都不大，是簡單題.

【變式研究】比較高考試題可以看到，關(guān)于平面向量的問題結(jié)構(gòu)相同，考點(diǎn)相近，難度不大.可以預(yù)測此類試題仍然是近似的問題，考點(diǎn)可以輪換，可以考夾角公式，可以考平行，可以考平面向量基本定理，也可以考共線向量基本定理，不會(huì)有大的變化.基于此，給出以下兩道變式題：

變式1：(容易)已知向量a,b滿足|a|=2|b|=2，a·b=1，則a與b的夾角為.

變式2：(中等)已知向量a,b滿足a-b=(0，-3)，a+b=(2，λ)，若a⊥b，則λ=.

二、新高考重應(yīng)用

隨著新高考改革對(duì)應(yīng)用性和創(chuàng)新性考查的加強(qiáng)，平面向量的考查逐步向理解與應(yīng)用層次轉(zhuǎn)化.隨著考查要求的逐步提高，很多體現(xiàn)平面向量強(qiáng)大功能的題目開始出現(xiàn).命題以平面圖形為載體，結(jié)合平面圖形的性質(zhì)應(yīng)用向量的知識(shí)解決問題，重視數(shù)形結(jié)合能力的考查.

A．(-2,6) B．(-6,2) C．(-2,4) D．(-4,6)

【命題分析】題目命制的巧妙之處是在概念的結(jié)合點(diǎn)處命題，可以很好地考查學(xué)生分析問題，應(yīng)用知識(shí)的能力.體現(xiàn)了結(jié)合平面圖形的性質(zhì)應(yīng)用向量的知識(shí)解決問題的能力，重視數(shù)形結(jié)合能力的考查.能不能很好地分析問題的載體正六邊形，應(yīng)用正六邊形的結(jié)構(gòu)和數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵，因此要順利解決此問題不僅要掌握平面向量的有關(guān)知識(shí)，還要能夠在平面圖形中加以應(yīng)用，靈活應(yīng)用相關(guān)知識(shí).

(2021·新高考Ⅰ卷·10)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P1(cosα,sinα)，P2(cosβ,-sinβ)，P3(cos(α+β),sin(α+β))，A(1,0)，則( )

故C正確；

【命題分析】從兩種解題思路對(duì)比可以看出幾何角度解決問題更簡潔明了，所以命題人延續(xù)了2020年的命題思路，結(jié)合平面圖形的性質(zhì)應(yīng)用向量的知識(shí)解決問題，重視數(shù)形結(jié)合能力的考查.能不能發(fā)現(xiàn)問題的載體單位圓，應(yīng)用單位圓表示各個(gè)向量是解決問題的關(guān)鍵，因此要順利解決問題不僅要掌握平面向量的有關(guān)知識(shí)，還要能夠在平面圖形中加以應(yīng)用，題目對(duì)知識(shí)的靈活應(yīng)用要求更高.

【變式研究】比較新高考試題可以看到，試題結(jié)構(gòu)有變化，考點(diǎn)也有調(diào)整.主要是2021年試題比2020年的試題難度有所提高，位置更靠后，由單選題變成了多選題.但是也有明顯的相同點(diǎn)，結(jié)合平面圖形的性質(zhì)應(yīng)用向量的知識(shí)解決問題，重視數(shù)形結(jié)合能力的考查.可以發(fā)現(xiàn)平面向量考題大方向不會(huì)發(fā)生改變，還應(yīng)該是以平面幾何圖形為載體，考查平面向量的性質(zhì)與應(yīng)用.故給出三道變式題如下：

【解析】解法1：當(dāng)點(diǎn)D在AC上時(shí)，

變式3：(困難)(多選題)在△ABC中，點(diǎn)D,E分別是BC,AC的中點(diǎn)，點(diǎn)O為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，則下面結(jié)論成立的是( )

三、結(jié)束語