均質(zhì)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的幾種算法

高彩云

（山西大同大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院，山西大同 037009）

慣性是物體的一種固有屬性，它表現(xiàn)為物體對(duì)其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化的一種阻抗程度。當(dāng)物體受力為零時(shí)，慣性表現(xiàn)為物體保持其原有的靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；當(dāng)物體受力不為零時(shí)，慣性表現(xiàn)為外力改變其原有運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的難易程度。物體的運(yùn)動(dòng)分為平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，物體平動(dòng)時(shí)表現(xiàn)出的慣性大小用物體的質(zhì)量來(lái)量度，質(zhì)量越大，平動(dòng)慣性越大；物體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)表現(xiàn)出的慣性大小用物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量來(lái)量度，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越大，轉(zhuǎn)動(dòng)慣性越大。[1-3]

任何物體在受外力作用時(shí)都會(huì)發(fā)生形變，但如果形變的程度相對(duì)于物體本身線度來(lái)說(shuō)極為微小，或者物體的形變不影響所研究的問(wèn)題時(shí)，就可將形變忽略不計(jì)，把物體視為剛體。剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)特性的一個(gè)重要的物理量，它的大小取決于物體的形狀、質(zhì)量分布及轉(zhuǎn)軸的位置，而與其繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度無(wú)關(guān)。剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算一直備受關(guān)注，目前已有不少文獻(xiàn)對(duì)其進(jìn)行了研究。對(duì)于形狀不規(guī)則或非均質(zhì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，一般采用實(shí)驗(yàn)的方法進(jìn)行測(cè)定，而對(duì)于形狀規(guī)則的均質(zhì)剛體，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可直接利用公式計(jì)算。在大學(xué)物理教材中是通過(guò)微積分的方法，結(jié)合平行軸定理和垂直軸定理進(jìn)行計(jì)算的。此外，還有質(zhì)量投影法、量綱法、縮減法、等邊n 角形極限法等。[4-10]本研究以幾種常見(jiàn)的均質(zhì)剛體為例，用不同的方法進(jìn)行計(jì)算分析，有利于拓寬學(xué)生計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的思路，并深刻理解剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的物理意義。

1 微元法

1.1 算法

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性大小的量度，其定義式為：

式中，Δmi是剛體中某一質(zhì)元的質(zhì)量，ri是該質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的垂直距離，這里剛體中的質(zhì)元是獨(dú)立分布的。

對(duì)于質(zhì)量連續(xù)分布的剛體，可以寫(xiě)成積分形式：

式中，dm是剛體中某一質(zhì)元的質(zhì)量，r是該質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的垂直距離，積分遍及整個(gè)剛體。在實(shí)際問(wèn)題中，均勻剛體的質(zhì)量可能是體分布（如均質(zhì)正方體、圓柱體）、面分布（如均質(zhì)圓盤(pán)）或線分布（如均質(zhì)細(xì)棒），故質(zhì)元的質(zhì)量dm=ρdV=σds=λdl，式中ρ、σ、λ分別表示剛體的體密度、面密度和線密度。

1.2 算例

1.2.1 均質(zhì)剛性桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

設(shè)質(zhì)量均勻分布的剛性桿質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l，繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖1所示。

由圖1 知，剛性桿上的質(zhì)元是連續(xù)分布的，利用微元法計(jì)算時(shí)，可將剛性桿分割成無(wú)數(shù)個(gè)長(zhǎng)為dx的微元，質(zhì)量為dm，可視為質(zhì)點(diǎn),該微元到z軸的距離都為x，則該質(zhì)元繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為dI=x2dm，設(shè)剛性桿的線密度為λ，則dm=λdx，則剛性桿繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：

又知z′軸與z 軸的距離為，則由平行軸定理可得，剛性桿繞z′軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：

可見(jiàn)，當(dāng)剛體形狀和質(zhì)量分布不變時(shí)，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)，且過(guò)質(zhì)心軸線轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量最小。

1.2.2 均質(zhì)圓盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

設(shè)質(zhì)量均勻分布的圓盤(pán)質(zhì)量為m，半徑R，厚度不計(jì)，繞過(guò)圓心且垂直于盤(pán)面的o軸轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖2所示。

由圖2 知，均質(zhì)圓盤(pán)上的質(zhì)元是連續(xù)分布的，利用微元法計(jì)算時(shí)，可將圓盤(pán)分割為無(wú)數(shù)個(gè)半徑為r，寬為dr的薄圓環(huán)。設(shè)圓盤(pán)的面密度為σ，則dm=σ·2πrdr,圓環(huán)繞中心o軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量dI=r2dm=r2·σ·2πrdr，則圓盤(pán)繞中心o軸線轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：

這里也可以將圓盤(pán)分割成長(zhǎng)rdθ，寬為dr的小面元，積分將轉(zhuǎn)化為二重積分，計(jì)算較為復(fù)雜。故將圓盤(pán)分割成一系列的圓環(huán)，根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義，圓環(huán)上各點(diǎn)到中心軸的距離都相等，只需沿著半徑方向進(jìn)行一重積分。

2 質(zhì)量投影法

2.1 算法

由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義I=可知，若質(zhì)元到剛體轉(zhuǎn)軸的距離保持不變，則對(duì)該轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量就不變。由此可引入質(zhì)量投影法：將剛體上各質(zhì)元向垂直于轉(zhuǎn)軸的平面投影，保持總質(zhì)量不變，得到新的剛體，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不變。這樣，可將三維剛體轉(zhuǎn)化為與其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量相等的二維剛體，同理，將二維剛體轉(zhuǎn)化為與其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量相等的一維剛體。

2.2 算例

2.2.1 均質(zhì)矩形板的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

設(shè)質(zhì)量均勻分布的矩形板質(zhì)量為m，長(zhǎng)為a、長(zhǎng)為b，厚度不計(jì)，繞y軸轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖3所示。

根據(jù)質(zhì)量投影法，把矩形板投影到與y軸垂直的平面，總質(zhì)量保持不變，這樣將二維剛體（矩形板）轉(zhuǎn)化成一維剛體（剛性桿），它們繞y軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量相等，那么，只需要計(jì)算剛性桿繞y軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

依據(jù)上述微元法可得剛性桿繞y軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Iy=，故矩形板繞y軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也為Iy=，同理可得，矩形板繞x軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也為Ix=。此方法計(jì)算簡(jiǎn)便，但是需要已知均質(zhì)剛性桿繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

2.2.2 長(zhǎng)方體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

設(shè)質(zhì)量均勻分布的長(zhǎng)方體質(zhì)量為m，棱長(zhǎng)分別為a、b、c，繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖4所示。

根據(jù)質(zhì)量投影法，把長(zhǎng)方體投影到與z軸垂直的平面，總質(zhì)量保持不變，這樣將三維剛體（長(zhǎng)方體）轉(zhuǎn)化成二維剛體（矩形板），它們繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量相等，那么，只需要計(jì)算矩形板繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

由垂直軸定理，矩形板對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Iz=Ix+Iy=，則長(zhǎng)方體對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也為。顯然，此方法計(jì)算簡(jiǎn)便，但是需要已知均質(zhì)矩形板繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

2.2.3 均質(zhì)圓柱體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

設(shè)質(zhì)量均勻分布的圓柱體質(zhì)量為m，半徑為R，繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖5所示。

根據(jù)質(zhì)量投影法，把圓柱體投影到與z軸垂直的平面，總質(zhì)量保持不變，這樣將三維剛體（圓柱體）轉(zhuǎn)化成二維剛體（圓盤(pán)），它們繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量相等，那么，只需要計(jì)算矩形板繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

由微元法可知，圓盤(pán)繞z 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Iz=，則長(zhǎng)圓柱體對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也為。用此方法計(jì)算需要已知圓盤(pán)繞過(guò)中心且垂直于盤(pán)面軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

3 縮減法

3.1 算法

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的量綱是ML2,引入無(wú)量綱常數(shù)k，設(shè)m為物體的質(zhì)量，則一維物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可以表示為：

I=kmx2，

其中，x是物體的獨(dú)立長(zhǎng)度。

二維物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可表示為：

I=∑ikmxiy2-i，i∈R，

其中，x、y是物體的兩個(gè)獨(dú)立長(zhǎng)度。

三維物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可表示為：

I=∑i∑jkmxiyjz2-i-j，(i,j)∈R2，

其中，x、y、z是物體的3個(gè)獨(dú)立長(zhǎng)度。

3.2 算例

3.2.1 均質(zhì)等腰三角形的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

設(shè)質(zhì)量均勻分布的等腰三角形質(zhì)量為m，腰長(zhǎng)為a、底邊為b，繞垂直穿過(guò)其質(zhì)心的o軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖6所示。

等腰三角形是二維剛體，其慣量可寫(xiě)成I=∑ikmxiy2-i?，F(xiàn)將其分割為4個(gè)全等的小等腰三角形，其質(zhì)量、腰長(zhǎng)、底邊分別為。分割縮小后的4個(gè)小三角形腰長(zhǎng)和底邊都為原三角形的，縮放倍數(shù)n=,每個(gè)小三角形的o1軸與o軸的距離為，o2、o3軸與o軸的距離為，繞垂直穿過(guò)其新質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為。

原等腰三角形的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量應(yīng)為4個(gè)小等腰三角形相對(duì)于原轉(zhuǎn)動(dòng)o軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和，根據(jù)平行軸定理，得：

化簡(jiǎn)得：I=。

可知，等腰三角形繞質(zhì)心o軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與其質(zhì)量、底邊和腰長(zhǎng)有關(guān)。若三角形為等邊三角形，則a=b，I=。

3.2.2 均質(zhì)矩形板的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

設(shè)質(zhì)量均勻分布的矩形板質(zhì)量為m，長(zhǎng)為a、長(zhǎng)為b，厚度不計(jì)，繞垂直穿過(guò)其質(zhì)心的o 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖7所示。

圖7 等腰三角形繞質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)

矩形板是二維剛體，其慣量可寫(xiě)成I=∑ikmxiy2-i?，F(xiàn)將其分割為4個(gè)全等的小矩形，其質(zhì)量、長(zhǎng)、寬分別為。分割縮小后的4個(gè)小矩形的長(zhǎng)和寬都為原矩形板的，縮放倍數(shù)n=,每個(gè)小矩形的新質(zhì)心軸o1、o2、o3、o4與原質(zhì)心o軸的距離為，o2、o3軸與o軸的距離為，繞垂直穿過(guò)其新質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為。

原矩形繞質(zhì)心o軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量應(yīng)為4個(gè)小矩形繞o軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和，根據(jù)平行軸定理，得：

化簡(jiǎn)得I=。若是正方形，則a=b,I=。

3.2.3 長(zhǎng)方體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

設(shè)質(zhì)量均勻分布的長(zhǎng)方體質(zhì)量為m，棱長(zhǎng)分別為a、b、c，繞oo′軸轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖8所示。

圖8 長(zhǎng)方體繞質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)

長(zhǎng)方體是三維剛體，其慣量可寫(xiě)成I=∑i∑jkmxiyjz2-i-j?，F(xiàn)將其分割為8 個(gè)相同的小長(zhǎng)方體，其質(zhì)量和棱長(zhǎng)分別為。分割縮小后的8 個(gè)小長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)都為原長(zhǎng)方體的，縮放倍數(shù)n=，小長(zhǎng)方體的新質(zhì)心軸o1o1′與原質(zhì)心軸oo′的距離為，繞垂直穿過(guò)其新質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為。

原長(zhǎng)方體繞質(zhì)心軸oo′的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量應(yīng)為8 個(gè)小長(zhǎng)方體繞oo′軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和，根據(jù)平行軸定理，得：

化簡(jiǎn)得I=。若是正方形，則a=b,I=。

4 結(jié)語(yǔ)

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度，其大小與剛體質(zhì)量分布及軸的位置有關(guān)，質(zhì)元的質(zhì)量越大，質(zhì)元到軸的距離越大，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量就越大。從剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義出發(fā)，分別采用微元法、質(zhì)量投影法和縮減法計(jì)算了剛性桿、圓盤(pán)、三角形、長(zhǎng)方形、長(zhǎng)方體和圓柱體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。通過(guò)計(jì)算可得，微元法積分法易于理解，但只能計(jì)算形狀規(guī)則的均質(zhì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，對(duì)于形狀不規(guī)則、質(zhì)量分布不均勻的剛體，涉及到復(fù)雜的積分運(yùn)算，故運(yùn)用較少；質(zhì)量投影法是根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義推導(dǎo)而得，已于理解，可將問(wèn)題化簡(jiǎn)，但是需要已知投影之后剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；縮減法是將剛體按比例放大或縮小，引入無(wú)量綱常數(shù)，計(jì)算時(shí)需要結(jié)合平行軸定理，對(duì)于簡(jiǎn)單的問(wèn)題不能簡(jiǎn)便，但可以拓展思路。