一類定邊對定角問題的解法探究

?安徽合肥一六八陶沖湖中學(xué) 武前煒

1 引言

三角形中的有關(guān)線段計(jì)算是平面幾何?？荚囶}，常常利用勾股定理、相似性質(zhì)或三角函數(shù)來計(jì)算，不同的方法計(jì)算難易程度不一樣.

2 解法探究

下面通過兩個(gè)例題對定邊對定角問題進(jìn)行解法探究.

圖1

圖2

解法1：(一線三等角相似)如圖2，在y軸上分別取點(diǎn)M,N,使得∠AMO=60°,∠BNP=120°,由“一線三等角”可得△APM∽△PBN.分別過點(diǎn)A,B作y軸垂線，垂足為點(diǎn)E,F.

ME=NF=1,AM=BN=2.

解法2：(三角形面積)設(shè)點(diǎn)P(0,y)，y>0.

由距離公式可得，

根據(jù)三角形鉛錘公式面積計(jì)算,得

解法3：(輔助圓)先來看基本圖形，如圖3，△ABC中，定邊AB所對的∠C為定角α.

圖3

圖4

由圖形定邊對定角，考慮△ABC外接圓⊙O，如圖4，根據(jù)圓周角性質(zhì)可知∠AOB=2α，于是問題轉(zhuǎn)化為在等腰三角形AOB中來解決.特別地，一些題目中α取一些特殊角度，從而△AOB為特殊的等腰三角形，極大地方便后續(xù)計(jì)算.

圖5

根據(jù)反比例函數(shù)的對稱性可知，點(diǎn)O為線段AB的中點(diǎn)，從而

過點(diǎn)A作AN垂直于x軸，垂足為點(diǎn)N，過點(diǎn)E作EM垂直于y軸，垂足為點(diǎn)M.

在Rt△EMP中，由勾股定理得

解法4：(正切和角公式)站在高中視角下，本題無需構(gòu)造，直接列式建立等量關(guān)系計(jì)算.

如圖6，分別過點(diǎn)A,B向y軸作垂線，垂足分別為點(diǎn)E,F.

設(shè)∠BPO=α,∠APO=β,則α+β=60°.

圖6

圖7

拓展：初中生通過構(gòu)造三角形相似可以進(jìn)行正切和角公式的推導(dǎo).如圖7，在矩形ABCE中，點(diǎn)D在邊EC上，點(diǎn)F在邊AE上，且FD⊥BD,連接BF，∠FBD=α,∠DBC=β.

不妨設(shè)DE=1，則EF=tanβ.

評析：合理聯(lián)想與構(gòu)造是一種重要的數(shù)學(xué)解題能力，也是平面幾何魅力所在.解題后要善于總結(jié)歸納，而不應(yīng)停留在題目本身，多琢磨其結(jié)構(gòu)，多反思其用途與變化，使其成為今后解題的工具.

例2如圖8，在△ABC中,∠BAC=135°，AD⊥BC于點(diǎn)D.若BD=6,CD=20,則線段AD的長度為______.

圖8

圖9

解法1：(構(gòu)造45°等腰直角三角形)由∠BAC=135°可知其補(bǔ)角為45°，聯(lián)想構(gòu)造45°的等腰直角三角形.如圖9，過點(diǎn)C作AC的垂線交BA延長線于點(diǎn)E，再過點(diǎn)E作BC的垂線交BC于點(diǎn)F.則出現(xiàn)“一線三直角”的全等結(jié)構(gòu)△ADC≌△CFE(AAS)，從而可得AD=CF,EF=CD=20.

設(shè)AD=a，則CF=a.

由AD∥EF，知△BAD∽△BEF.

解得a=4(負(fù)值舍去).

即AD=4.

解法2：(對稱法)由∠BAC=135°，可知∠B+∠C=45°.如圖10，分別沿著AB,AC將△ABD,△ACD對稱至△ABE,△ACF,延長BE,CF交于點(diǎn)G.易知∠GBC+∠GCB=90°,即∠G=90°.

根據(jù)對稱性質(zhì),可得

BE=BD=6,CF=CD=20，

AE=AD=AF，

∠GEA=∠GFA=90°.

從而得出四邊形AEGF為正方形.

不妨設(shè)AD=a，則AE=AF=GE=GF=a.

在Rt△BCG中，由勾股定理得

GB2+GC2=BC2.

即(6+a)2+(a+20)2=262，得a=4(負(fù)值舍去).

所以AD=4.

圖10

圖11

過點(diǎn)O作OE⊥BC,E為垂足,則

過點(diǎn)O作AD的垂線交AD的延長線于點(diǎn)F，可得矩形OEDF，從而DF=OE=13,OF=DE=7.

在Rt△AOF中，由勾股定理得

AF2+OF2=OA2.

解得AD=4(負(fù)值舍去).

解法4：(正切和角公式)

由正切和角公式知

解得AD=4(負(fù)值舍去).

以上兩例的前三種解法都屬于構(gòu)造法，構(gòu)造后的圖形是平時(shí)常見的基本圖形.中考題中的一些“難”題有意識地考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力，這就要求學(xué)生在平時(shí)的解題訓(xùn)練中，注重反思積累，也需要教師有意識地選擇典型題目作為素材，挖掘圖形結(jié)構(gòu)，歸納總結(jié)通性通法.不僅要認(rèn)識基本圖形，了解其蘊(yùn)含的關(guān)系，更要熟悉基本圖形的結(jié)構(gòu)特征.往往一些考題將其一部分隱去，增加了思維難度，需要觀察后進(jìn)行合理聯(lián)想、嘗試，從而讓解法自然生成.對于幾何問題，“幾何直觀”是直達(dá)“學(xué)生最容易想到或者適合最近發(fā)展區(qū)的解法”的重要途徑.所以在分析問題的過程中，學(xué)生若能從幾何直觀出發(fā)挖掘出題目中的隱含條件，則問題“柳暗花明”.

3 結(jié)語

張景中先生認(rèn)為：“一種方法解很多題，要好過很多方法解一道題.”這里的“一種方法”絕不是技巧性強(qiáng)、靈機(jī)一動的妙法，而應(yīng)是最基本、最自然的通法.站在數(shù)學(xué)思維的角度，自然的解法才是最好的方法，因?yàn)樽匀坏慕夥ú攀菍W(xué)生能想到的方法.上述兩例的幾種構(gòu)造解法都很巧妙，其中作輔助圓屬于通法，由定邊定角聯(lián)想輔助圓，這應(yīng)該成為師生認(rèn)知共鳴的方法，只有這樣才能更好地培養(yǎng)學(xué)生思考問題和探究問題的能力.