如何走出用完全平方公式因式分解的誤區(qū)

?臨夏縣河西鄉(xiāng)大莊中心小學(xué) 劉自鵬

1 引言

每年的中考命題有這樣一個熱點，它將完全平方公式和因式分解結(jié)合起來，體現(xiàn)整式乘法與因式分解之間的互逆關(guān)系，用完全平方公式進(jìn)行因式分解[1].本來這個知識點非常簡單，因為無論是完全平方公式，還是因式分解都非?；A(chǔ)，然而學(xué)生在用完全平方公式進(jìn)行因式分解時極易出現(xiàn)錯誤，而且是層出不窮.基于此，筆者進(jìn)行這方面的避錯策略研究，希望能幫助學(xué)生有效緩解這一現(xiàn)象，幫助他們更好地掌握知識點.

2 用完全平方公式因式分解易出現(xiàn)的誤區(qū)

用完全平方公式進(jìn)行因式分解的基礎(chǔ)是完全平方公式，但是學(xué)生可能在這些基礎(chǔ)知識上存在掌握不牢固、解題不靈活等問題，導(dǎo)致他們在用完全平方公式進(jìn)行因式分解時經(jīng)常出錯.下面就是筆者在實際教學(xué)過程當(dāng)中發(fā)現(xiàn)學(xué)生用完全平方公式進(jìn)行因式分解的幾種誤區(qū).

2.1 公式不熟導(dǎo)致發(fā)現(xiàn)不了多項式具備的特點

例1把3ax2+12ay2+12axy分解因式.

錯解：原式=3a·x2+3a·4y2+3a·4xy

=3a(x2+4y2+4xy).

分析：在學(xué)習(xí)了提公因式法因式分解后，學(xué)生能馬上發(fā)現(xiàn)公因式是3a并將之提取.然而，在提取公因式之后，雖然小括號中的多項式書寫正確，但學(xué)生沒有發(fā)現(xiàn)x2+4y2+4xy可以利用完全平方公式因式分解.導(dǎo)致錯誤的原因主要是學(xué)生在書寫小括號中的多項式后，受慣性思維的影響，認(rèn)為完全完全平方公式的形式是a2+2ab+b2，而不是a2+b2+2ab.

正解：原式=3a·x2+3a·4y2+3a·4xy

=3a(x2+4y2+4xy)

=3a(x2+4xy+4y2)

=3a[x2+4xy+(2y)2]

=3a(x+2y)2.

2.2 沒有注意到中間的一次項必須是積的2倍

例2把9m2n2-3mn+4分解因式.

錯解：原式=(3mn-2)2.

分析：在學(xué)習(xí)整式的乘法時，很多學(xué)生認(rèn)為(a+b)2=a2+b2，這就導(dǎo)致他們極易忽略完全平方公式中的2ab這一項.完全平方公式的特點主要有三個：一是首項和尾項都可以寫成平方的形式；二是中間二次項是首項和尾項改寫成平方形式后兩個底數(shù)的乘積的2倍；三是完全平方式中間項的符號與多項式的一次項的符號相同.很明顯，本題解法中學(xué)生只記住了將首項和尾項改寫成平方形式，而沒有注意到中間二次項是首項和尾項改寫成平方形式后兩個底數(shù)的乘積的2倍.

本題不能進(jìn)行因式分解，若需利用完全平方公式進(jìn)行因式分解，則應(yīng)將-3mn改成-12mn，因為這樣才符合完全平方公式的三個特點.

2.3 沒有將因式分解進(jìn)行徹底

例3把3x3-12x2y+12xy2分解因式.

錯解：原式=3x(x2-4xy+4y2).

分析：本題的公因式提取正確，小括號里面的多項式書寫也正確.然而，學(xué)生沒有繼續(xù)往下分解.在因式分解過程中，如果還可以繼續(xù)分解因式，那么一定要分解到不能再分解為止[2].需說明的是，這里的不能再分解為止，僅僅局限于有理數(shù)范圍內(nèi)[3].x2-4xy+4y2可以繼續(xù)分解，所以應(yīng)繼續(xù)分解下去.

正解：原式=3x(x2-4xy+4y2)

=3x(x-2y)2.

2.4 首項有負(fù)號時變號出現(xiàn)錯誤

例4把-2xy-x2-y2分解因式.

錯解：原式=-(2xy+x2-y2).

分析：在因式分解的過程中，時常會遇到首項有負(fù)號的情況，這時提出負(fù)號后，原來的每一項都要變號.然而，學(xué)生在解該題時明顯沒有變號，這是很多學(xué)生因式分解時易犯的錯誤，應(yīng)高度重視.

正解：原式=-(2xy+x2+y2)

=-(x+y)2.

2.5 整體思想運用不夠靈活

例5把a2-2a(b+c)+(b+c)2分解因式.

錯解：原式=[a-2(b+c)]2.

分析：整體思想是因式分解中非常重要的思想方法.本題中應(yīng)將b+c視為一個整體，且在分解因式的過程中將之放入小括號里面.

正解：原式=[a-(b+c)]2

=(a-b-c)2.

2.6 一些非智力因素導(dǎo)致錯誤

以上羅列的幾種致錯原因可以歸類為智力因素，而非智力因素也會導(dǎo)致學(xué)生出現(xiàn)錯誤[4].常見的非智力因素有符號看錯、指數(shù)看錯、字母寫錯、少括號、缺少某一項等，如下面例6的錯解.

例6把-4a2+12ab-9b2分解因式.

錯解1：原式=-(4a2+12ab+9b2)

=-(2a+3b)2.

錯解2：原式=-(4a2+12ab-9b2)

=-(2a+3b)2.

錯解3：原式=(-2a-3b)2.

錯解4：原式=-(4a2-3ab+9b2)

=-[(2a)2-2×2a×3b+(3b)2]

=-(2a-3b)2

=(3b-2a)2.

正解：原式=-(4a2-12ab+9b2)

=-[(2a)2-2×2a×3b+(3b)2]

=-(2a-3b)2.

例7把x6-10x3+25分解因式.

錯解1：原式=(x4)2-10x3+52

=(x4+5)2.

錯解2：原式=(x3)2-10x3+52

=(x3+5)2.

錯解3：原式=(x3)2-10x3+52

=(x3+5)(x3-5).

正解：原式=(x3)2-10x3+52

=(x3-5)2.

其實，這些錯誤完全可以在檢查中被輕易發(fā)現(xiàn)，然而很多學(xué)生缺少檢查的習(xí)慣，在考試、演板之后沒有檢查便提交.

3 教學(xué)實踐中的避誤策略

首先，要讓學(xué)生養(yǎng)成認(rèn)真檢查的習(xí)慣.特別是代數(shù)類的計算，數(shù)字、字母、符號、指數(shù)特別多，極易在某個地方出錯.這時候，做完題后檢查顯得特別重要.

例如，學(xué)生在解完題之后，教師可以提醒學(xué)生檢查.演板時，要求學(xué)生做完后再檢查.筆者的方法是，在草稿紙上用大號字寫“要檢查”三個字，并在檢查完成后將“要檢查”三個字打勾，演板時也是如此.通過筆者的嘗試，發(fā)現(xiàn)這樣的方法能有效幫助學(xué)生養(yǎng)成檢查的習(xí)慣，繼而降低致錯幾率.

其次，對學(xué)生整體思想方法的培養(yǎng).關(guān)于整體思想方法的題目，在課本和練習(xí)冊中大量存在.教師可將之集中起來，專門開展一次以“整體思想方法”為主題的教學(xué)，讓學(xué)生在課堂上觀察、嘗試和總結(jié).

例如，對(x+y)2+6(x+y)+9這道題，教師可以引導(dǎo)學(xué)生觀察本題特點，然后嘗試“換元法”，讓學(xué)生認(rèn)識到整體思想的作用，促使學(xué)生將本題的結(jié)構(gòu)看得更清楚.如設(shè)x+y=m，則原式可轉(zhuǎn)化為m2+6m+9，通過觀察m2+6m+9發(fā)現(xiàn)可用完全平方公式，然后將m還原成x+y進(jìn)行因式分解.

4 結(jié)語

完全平方公式既是整式的乘法中非常重要的“工具”，也是因式分解中非常重要的公式方法.教師應(yīng)該在充分認(rèn)識學(xué)生易出錯的地方的前提下，為學(xué)生制定相應(yīng)的避誤方案，讓學(xué)生通過適當(dāng)訓(xùn)練以擺脫這些錯誤.當(dāng)然，習(xí)慣、方法等的培養(yǎng)需要更長的時間，所以教師需要更多的耐心指導(dǎo)學(xué)生糾正錯誤，幫助他們提高解決問題的能力.