巧用初中所學知識，妙解高中數學問題

羅麗

高中數學知識是對初中數學的延伸、拓展，初高中數學知識之間存在著很多的聯系.在解答一些高中數學問題時，我們若能變換思考問題的方向，借助初中數學知識來求解，能達到化難為易的目的.下面就結合實例來談一談如何巧妙利用初中數學知識，解答與高中數學中的平面幾何、解三角形、圓有關的問題.

例1.（廣東省江門市2021屆普通高中高三12月調研測試數學試題，第16題）正方形的邊長為1，、分別為邊、上的點，△的周長為2，則∠=______.

分析：該題主要考查平面幾何中的動點問題，若采用高中知識求解，需通過解三角形、進行三角恒等變換、利用三角函數的性質，才能順利解出.而利用初中平面幾何知識：全等三角形、周長公式、四邊形的性質可以高效解題.

解：如圖1所示，延長至點，使得=，連接，由題意可得△≌△，則∠=∠，=，

由于△的周長為2，可得=2--=1-+1-=+=+=， ????????????????????????????圖1

又由于=，=CP，可得△≌△，則∠=∠，

在四邊形中，由于∠+∠=∠+∠=180o，

所以∠+∠=180o，而∠=90o，則有∠=90o，

所以∠==45o.

在利用初中平面幾何知識解答高中平面幾何問題時，要根據平面幾何圖形合理添加輔助線，以便構造全等三角形、平行四邊形、直角三角形等，利用全等三角形的性質、邊角的關系、平面四邊形的性質等建立關系式.

例2.（2020屆浙江省杭州四中高三上學期期中考試，第16題）在△中，∠為直角，點在線段上，滿足=2=2，記∠=，若對于給定的，這樣的△是唯一確定的，則=______.

分析：該題屬于解三角形中的動點問題，需靈活運用基本不等式、三角函數、解析幾何等等知識來處理.而利用初中階段圓的知識可以有效破解難題.

解：作△的外接圓，如圖2所示，

根據題目條件可知，對于給定的，這樣的△是唯一確定的，那么直線與△的外接圓的交點必須是唯一的，即直線與圓的相切，

結合圓的切割線定理，可得=·=2×3=6，

解得=.

我們通過構造三角形的外接圓，結合圖形進行分析，快速確定直線與圓的位置關系，利用圓的切割線定理便可快速解題.

例3.在△中，分別為角所對的邊，若=2，△的面積為1，則的最小值為_____.

分析：運用高中數學知識解答本題，需根據邊長所對應線段的比例關系以及面積的定值來確定第三邊的最值，要靈活運用解三角形中的余弦定理、三角形的面積公式、三角函數的性質、導數法等來處理.而利用初中相關公式則可以快速解題.我們根據三角形面積的海倫公式建立新的關系式，把解三角形問題轉化為方程問題，利用方程的判別式來建立相應的不等式，通過解不等式即可求得邊長的最值.

解：由三角形面積的海倫公式==1，其中=，

而=2，則16=（++）（-++）（-+）（+-）=-（++）+2（++）=-（++16）+2（+4+4），

則9-10++16=0，

而關于的一元二次方程的判別式△=（-10）-36（+16）=64-576≥0，

可得≥3，解得≥，即的最小值為.

總之，運用初中數學知識也能巧妙破解高中數學問題，特別是在遇到與高中數學中的平面幾何、解三角形、圓有關的問題時，運用初中的平面幾何、三角函數、函數、方程等知識，能快速、有效地破解難題.所以同學們要夯實基礎，將初高中數學知識融會貫通，這樣在解題時便能靈活運用基本知識，將問題加以巧妙轉化.

（作者單位：山東省聊城第三中學 ）